Multiplizieren und Dividieren von Bruchzahlen

Einführung

Lena trinkt aus einer dreiviertel Liter großen Apfelsaftflasche. An einem Schultag trinkt sie davon die Hälfte und rechnet:

$\dfrac{3}{4} : 2 =\dfrac{3}{8}$

Sie könnte aber auch rechnen: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}$

Multiplizieren von Bruchzahlen

Du multiplizierst zwei Brüche indem du Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler rechnest.

$\dfrac{Zähler \cdot Zähler}{Nenner \cdot Nenner}$

So hat Lena es auch gemacht : $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5}{3} =\dfrac{1 \cdot 5}{4 \cdot 3} = \dfrac{5}{12}$

Kürzen

Suche immer nach Zahlen, z.B im anderen Bruch, mit denen du deine Brüche vor dem Rechnen kürzen kannst, damit du möglichst kleine Zahlen miteinander multiplizierst.

$\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{25} =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{1\cdot 1}{2 \cdot 5} =\dfrac{1}{10}$

Kürze "quer". Das heißt die 8 mit der 4 und die 5 mit der 25.

Gemischte Bruchzahlen

Beim Multiplizieren gelten die gleichen Regeln wie beim Vervielfachen von Bruchzahlen, die wir im Kapitel Vervielfachen und Teilen von Bruchzahlen kennengelernt haben.

Lass uns ein Beispiel zusammen durchrechnen:
$3\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{25}$

1.Schritt: Bruch umformen

$3\dfrac{2}{6} = \dfrac{3\cdot 6 +2}{6} =\dfrac{20}{6}$

2.Schritt: Kürzen

$\dfrac{20}{6} \cdot \dfrac{2}{25} =\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{5}$

3.Schritt: Multiplikation

$\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{4 \cdot 1}{3 \cdot 5} =\dfrac{4}{15}$

Schreibe so auf:

$3\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{25} = \dfrac{3\cdot 6 +2}{6}\cdot \dfrac{2}{25} =\dfrac{20}{6} \cdot \dfrac{2}{25}=\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{15}$

Dividieren von Bruchzahlen

Du dividierst einen Bruch durch einen anderen, indem du mit dem Kehrwert des letzten Bruchs multiplizierst. Beim Multiplizieren gelten die Regeln oben.

Beispiel

$\dfrac{6}{27} :\dfrac{2}{9}$

Bilde den Kehrwert des hinteren Bruchs

Den Kehrwert bildest du, indem du Zähler und Nenner tauscht:
Der Kehrwert von $\dfrac{2}{9}$ ist $\dfrac{9}{2}$ .

Multipliziere mit dem Kehrwert

$\dfrac{6}{27} :\dfrac{2}{9} =\dfrac{6}{27} \cdot \dfrac{9}{2}=\dfrac{3\cdot1}{3\cdot 1}=\dfrac{3}{3}=1$

Abschluss

Warum kam Lena mit beiden Rechnungen $\dfrac{3}{4} : 2 =\dfrac{3}{8}$ und $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} =\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \dfrac{3}{8}$ auf das gleiche Ergebnis?

$2$ ist das Gleiche wie $\dfrac{2}{1}$ .
Durch die Division muss sie mit dem Kehrwert $\dfrac{1}{2}$ multiplizieren.

Lösung 1

$\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{6} =\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{10}{5}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{2}{7} \cdot 2\dfrac{5}{6}=\dfrac{2\cdot (12+5)}{7 \cdot 6}=\dfrac{17}{7\cdot 3}= \dfrac{17}{21}$

$\dfrac{64}{27} \cdot \dfrac{18}{20} = \dfrac{32}{15}$

Lösung 2

$\dfrac{15}{6} :\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{6} \cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{3\cdot1}{3\cdot 1}=\dfrac{1}{1} =1$

$\dfrac{3}{27} :\dfrac{6}{9}=\dfrac{3}{27} \cdot \dfrac{9}{6}=\dfrac{1}{6}$

$3\dfrac{1}{8} :\dfrac{5}{4}=\dfrac{25}{8}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{5\cdot1}{2\cdot1}=\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{2}{65} : \dfrac{5}{88}= \dfrac{2}{65} \cdot\dfrac{88}{5}=\dfrac{176}{325}$

Lösung 3

$\dfrac{12}{70} \cdot \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{35}$

Kürze $\dfrac{12}{70} = \dfrac{6}{35}$ . Nun kannst du die 6 aus dem Zähler mit der 30 aus dem Nenner des anderen Bruchs kürzen. Im anderen Bruch bleibt die 5 als Nenner übrig und der erste Bruch wird zu $\dfrac{1}{35}$ . Überlege nun wie der zweite Bruch sich auflöst um auf das passende Ergebnis zu kommen.

$\dfrac{7}{5} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{28}{5}$

Die 4 im Nenner berechnest du, indem du dir überlegst, wie du auf die 28 im Zähler im Ergebnis kommst. Durch die Division multiplizierst du mit dem Kehrwert. $7 \cdot 4 =28$ und durch $5 \cdot 1 =5$ berechnest du den Nenner des ersten Bruchs.

$\dfrac{56}{32} : \dfrac{2}{4} = \dfrac{7}{2}$

Du dividierst, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst. Dann kannst du Kürzen.

$\dfrac{80}{350} \cdot 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{7}$

$\dfrac{8}{35} \cdot \dfrac{2 \cdot2 +?}{2} = \dfrac{4 }{35} \cdot \dfrac{4 +?}{1}$ . Die 4 im Zähler passt schon. Überlege nun mit was die 35 aus dem Nenner gekürzt werden muss, dass die 4 im Zähler bleibt. 35:5=1. 5=4+1.

Lösung 4

Für einen Schokoladenkuchen für 4 Personen benötigst du 200 g Mehl, zwei EL Kakaopulver (ein EL entspricht 20 g), 250g Zucker, ein halbes kg Butter und einen TL Backpulver (ein TL entspricht 5g).