Absolute und relative Häufigkeiten

Einführung

Als statistische Daten werden solche bezeichnet die durch einen bestimmten Test oder eine Forschung erhoben werden.
Es wird zwischen absoluten und relativen Häufigkeiten unterschieden.

Absolute Häufigkeit

Beispiel:
Die Klasse 6a schreibt einen Mathetest, es werden folgende Noten geschrieben:

$2,3,3,2,2,1,5,1,4,5 \longrightarrow$ diese Reihe wird auch als Urreihe bezeichnet.

1. Schritt: Zahlen sortieren

$1,1,2,2,2,3,3,4,5,5$

2. Schritt: Übertrag in eine Tabelle

Noten	Absolute Häufigkeit
$1$	$2$
$2$	$3$
$3$	$2$
$4$	$1$
$5$	$2$
$6$	$0$

Du hast es bestimmt schon erkannt, die absolute Häufigkeit zeigt an, welche Note wie oft geschrieben wurde.

Relative Häufigkeit

Die relative Häufigkeit bildet sich aus seiner absoluten Häufigkeit durch die Gesamtzahl (Umfang der Beobachtung).

relative Häufigkeit $= \dfrac {\text{absolute Häufigkeit}} {\text{Gesamtzahl}}$

Darstellungsmöglichkeiten:

Bruchzahl
Prozentzahl

Um nun die relative Häufigkeiten der geschriebenen Noten zu berechnen, müssen wir überlegen wie hoch die Gesamtzahl der Erhebung ist. Dazu addieren wir die absoluten Häufigkeiten:
Gesamtzahl $= 2 + 3 + 2 + 1 + 2 = 10$

Note	Relative Häufigkeit
$1$	$\frac{2}{10} = 20\%$
$2$	$\frac{3}{10} = 30\%$
$3$	$\frac{2}{10} = 20\%$
$4$	$\frac{1}{10} = 10\%$
$5$	$\frac{2}{10} = 20\%$
$6$	$0$

Mit der relativen Häufigkeit können wir jetzt aussagen, dass $20\,\%$ der gesamten Klasse die Note $1$ geschrieben haben.

Beispiel 2: Blätter im Herbst.

$Farbe$	$Anzahl \;der \;Blätter$
$rot$	$90$
$grün$	$40$
$orange$	$65$
$gelb$	$55$

Berechne die Gesamtzahl und die relative Häufigkeit.

Gesamtzahl:

$\begin{array}[t]{rll} 90 + 40 + 65+ 55&=& 250 \\[5pt] \end{array}$

Farbe	Anzahl der Blätter
rot	$\frac {90} {250} = \frac {9}{25}= \frac {36}{100}= 36 \,\%$
grün	$\frac {40} {250} = \frac {4}{25}= \frac {16}{100}= 16 \,\%$
orange	$\frac {65} {250} = \frac {13}{50}= \frac {26}{100}= 26 \,\%$
gelb	$\frac {55} {250} = \frac {11}{50}= \frac {22}{100}= 22 \,\%$

Um das Kreisdiagramm zu malen, müssen die Winkel in dem Kreis berechnet werden, damit die Teile der Farben die richtige Größe besitzen.

Farbe: rot

$:50$	$\begin{array}{rrcll} &100 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&360 ^{\circ}\\[5pt] &2\,\% &\mathrel{\widehat{=}}&7,2 ^{\circ}\\[5pt] &36 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&129,6^{\circ}& \end{array}$	$:50$
$\cdot 18$		$\cdot 18$

Farbe: grün

$:50$	$\begin{array}{rrcll} &100 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&360 ^{\circ}\\[5pt] &2\,\% &\mathrel{\widehat{=}}&7,2 ^{\circ}\\[5pt] &16 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&57,6^{\circ}& \end{array}$	$:50$
$\cdot 8$		$\cdot 8$

Farbe: orange

$:50$	$\begin{array}{rrcll} &100 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&360 ^{\circ}\\[5pt] &2\,\% &\mathrel{\widehat{=}}&7,2 ^{\circ}\\[5pt] &26 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&93,6^{\circ}& \end{array}$	$:50$
$\cdot 13$		$\cdot 13$

Farbe: gelb

$:50$	$\begin{array}{rrcll} &100 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&360 ^{\circ}\\[5pt] &2\,\%&\mathrel{\widehat{=}}&7,2 ^{\circ}\\[5pt] &22 \,\%&\mathrel{\widehat{=}}&79,2^{\circ}& \end{array}$	$:50$
$\cdot 18$		$\cdot 18$

Kreisdiagramm mit vier Segmenten in verschiedenen Farben und Prozentangaben für jede Farbe.

Abb. Tortendiagramm

Aufgabe 1

In einer 6. Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler. Es wird ein Klassensprecher gewählt. Jeder Schüler hat genau eine Stimme, und muss sich für eine Person aus drei Kandidaten entscheiden. Hier ist das Ergebnis der ersten Runde:

Kandidat/in	Anzahl der Stimmen
Julia	$6$
Max	$10$
Jasmin	$14$

a) Wie viel Prozent der Stimmen hat jeder der drei Kandidaten erhalten? Runde auf ganze Zahlen.
b) In einer zweiten Runde treten die beiden Kandidaten mit den meisten Stimmen an. Max erhält nun 12 Stimmen, Jasmin 18. Wie viel Prozent der Klasse haben Jasmin in der zweiten Runde gewählt?

Aufgabe 2

24 Schülerinnen und Schülern werden gefragt, was sie am liebsten in ihrer Freizeit machen.

Aktivität	Absolute Häufigkeit
Fußballspielen	$6$
Fernsehen	$15$
Schwimmen	$3$

Schreibe die relativen Häufigkeiten als Brüche auf.

Berechne die relativen Häufigkeiten in Prozent. Kontrolliere mit der Summenprobe.

Aufgabe 3

London‘s Eye hatte vorheriges Jahr 3000 Besucher.
Sie hatten die Besucher gefragt, woher sie kommen. 1000 kamen aud England, 500 aus Deutschland, 700 aus China und 800 aus der USA.
Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Nationalitäten un d gib ihre Prozentzahl an.

Aufgabe 4

Früher konnten Kinder nur mit 8 Farben malen und davon gab es nur einen Blauton.
Heutzutage gibt es 25 Farben, davon 3 Blautöne.
Vergleiche welche relative Häufigkeit in Prozent höher liegt.

Nach den Winterferien fragt eine Lehrerin ihre Schüler, wo sie Ski gefahren sind. Lese die Daten aus der Tabelle und berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Länder. Vergleiche diese untereinander.

Länder	Schüler
Schweiz	$14$
Österreich	$12$
Italien	$4$

Eine zweite Klasse wird auch gefragt, wo sie Skifahren waren.
Berechne die relative Häufigkeit und vergleiche diese mit den jeweilig passenden Ländern aus Klasse 1 (Aufgabe 4b).

Länder	Schüler
Schweiz	$8$
Österreich	$5$
Italien	$3$

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Lösung 1

$\blacktriangleright$ Absolute in relative Häufigkeiten umrechnen

Julia: $\frac{6}{30}$ = $0,2$
Prozentanteil Julia = $0,2$ * $100\,\%$ = $20\,\%$

Max: $\frac{10}{30}$ = $0,3333...$
Prozentanteil Max= $0,3333...$ * $100\,\%$ = $33,33...\,\%$ ~ $33\,\%$

Jasmin: $\frac{14}{30}$ = $0,4666...$
Prozentanteil Jasmin= $0,4666...$ * $100\,\%$ = $46,66...\,\%$ ~ $47\,\%$

Nach der ersten Runde hat Julia $20\,\%$ , Max circa $33\,\%$ und Jasmin circa $47\,\%$ der Stimmen erhalten.

$\blacktriangleright$ Absolute in relative Häufigkeit umrechnen

2. Runde Jasmin: $\frac{18}{30}$ = $0,6$
Prozentanteil Jasmin = $0,6$ * $100\,\%$ = $60\,\%$

Jasmin wurde mit $60\,\%$ der Stimmen zur Klassensprecherin gewählt.

Lösung 2

Relative Häufigkeiten als Bruch schreiben

relative Häufigkeit = $\frac{absolute\; Häufigkeit}{Gesamtanzahl}$

Fußballspielen: $\frac{6}{24}$ = $0,25$
Fernsehen: $\frac{15}{24}$ = $0,625$
Schwimmen: $\frac{3}{24}$ = $0,125$

Relative Häufigkeiten als Prozentangaben schreiben

Fußballspielen: $\begin{array}[t]{rll} 0,25 \cdot 100&=& 25 \,\% & \\[5pt] \end{array}$

Fernsehen: $\begin{array}[t]{rll} 0,625 \cdot 100&=& 62,5 \,\% & \\[5pt] \end{array}$

Schwimmen: $\begin{array}[t]{rll} 0,125 \cdot 100&=& 12,5 \,\% & \\[5pt] \end{array}$

Summenprobe durchführen

$25\,\%$ + $62,5\,\%$ + $12,5\,\%$ = $100\,\%$

Lösung 3

England
relative Häufigkeit $= \dfrac{1000}{3000} = \dfrac {1}{3}$

Prozent:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac {1}{3} \cdot 100&=& 33,\overline{3}\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Deutschland
relative Häufigkeit $= \dfrac{500}{3000} = \dfrac {1}{6}$

Prozent:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac {1}{6} \cdot 100&=& 16,\overline{6}\,\% & \\[5pt] \end{array}$

China
relative Häufigkeit $= \dfrac{700}{3000} = \dfrac {7}{30}$

Prozent:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac {7}{30} \cdot 100&=& 23,\overline{3}\,\% & \\[5pt] \end{array}$

USA
relative Häufigkeit $= \dfrac{800}{3000} = \dfrac {4}{15}$

Prozent:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac {4}{15} \cdot 100&=& 26,\overline{6}\,\% & \\[5pt] \end{array}$

Lösung 4

Früher
realtive Häufigkeit = $\dfrac{1}{8}$

Prozentrechnung $\dfrac{1}{8} \cdot 100= 12,5\,\%$

Heute
realtive Häufigkeit = $\dfrac{3}{25}$

Prozentrechnung $\dfrac{3}{25} \cdot 100= 12\,\%$

Antwortsatz:
Früher lag die relative Häufigkeit höher, als heutzutage.

Schweiz
realtive Häufigkeit = $\dfrac{14}{25}$

Prozentrechnung $\dfrac{14}{25} \cdot 100= 46,\overline 6\,\%$

Österreich
realtive Häufigkeit = $\dfrac{12}{30}$

Prozentrechnung $\dfrac{12}{30} \cdot 100= 40\,\%$

Italien
realtive Häufigkeit = $\dfrac{4}{30}$

Prozentrechnung $\dfrac{4}{30} \cdot 100= 13, \overline 3\,\%$

Antwortsatz:
Am häufigsten wurde die Schweiz besucht, darauf folgend Österreich und am wenigsten Italien.

Schweiz
realtive Häufigkeit = $\dfrac{8}{16}$

Prozentrechnung $\dfrac{8}{16} \cdot 100= 50\,\%$

Österreich
realtive Häufigkeit = $\dfrac{5}{16}$

Prozentrechnung $\dfrac{5}{16} \cdot 100= 31,25\,\%$

Italien
realtive Häufigkeit = $\dfrac{3}{16}$

Prozentrechnung $\dfrac{3}{16} \cdot 100= 18,75\,\%$

Antwortsatz:
Im Vergleich zeigt die relative Häufigkeit, dass in Klasse 2 die Häufigkeit größer war in die Schweiz und Italien zu fahren als bei Klasse 1. Nur bei dem Ulaubsland Österreich hatKlasse 1 die bessere Häufigkeit als Klasse 2.

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