Einführung der rationalen Zahlen

Zum darstellen von rationalen Zahlen musst du den Zahlenstrahl erweitern. Man führt zusätzlich negative Zahlen ein.

Abb. 1: Zahlenstrahl

Die Zahlen, die mit dem Vorzeichen $+$ versehen sind nennt man positiv und Zahlen, die mit dem Vorzeichen $-$ versehen sind nennt man negativ. Die Zahl Null ist weder positiv noch negativ. Bei positiven Zahlen lässt man das Vorzeichen oft weg.

Die natürlichen Zahlen und Bruchzahlen sind besondere positive rationale Zahlen.

Betrag und Gegenzahl

Die Gegenzahl einer Zahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl der Zahl Null ist Null. Beispielsweise ist die Gegenzahl der Zahl $1,4$ entsprechend $-1,4$ und die Gegenzahl der Zahl $3,1$ lautet $-3,1.$

Der Betrag einer Zahl gibt den Absand einer Zahl zur Null an. Der Betrag einer rationalen Zahl $q$ wird mit $|q|$ bezeichnet. Hierbei gilt $|0|=0$ . Außerdem gilt beispielsweise $|-2,1|=2,1$ und $|+3,9|=3,9.$

Zahlenmengen

Die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet $\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, \dotsc \}.$

Die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei auch negative Zahlen enthalten sind. Das bedeutet $\mathbb{Z}=\{\dotsc, -2, -1, 0, 1, 2, \dotsc \}.$

Die Zahlenmenge $\mathbb{Q}$ bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. Somit sind alle Bruchzahlen in der Menge enthalten, wobei auch negative Zahlen enthalten sind.

Somit gehört beispielsweise die Zahl $-5,1$ zu der Menge der rationalen Zahlen. Man sagt, dass $-5,1$ ein Element der Menge der rationalen Zahlen ist. Man schreibt $-5,1 \in \mathbb{Q}.$

Einführungsaufgabe

In der Antarktis haben Forscher mit einem Satelliten den kältesten Ort der Welt entdeckt. Es wurde dort eine Temperatur von bis zu $-89,2^{\circ} \,\text{C}$ gemessen.

Die höchste jemals gemessene Temperatur auf der Erde waren $+56,7^{\circ}\,\text{C}$ und wurde im Death Valley in der USA gemessen.

Blick auf eine weite Landschaft mit Bergen und einem ausgetrockneten Tal im Vordergrund.

Abb. 1: Death Valley

Berechne den Betrag der Temperaturen.

Bestimme den Temperaturunterschied und gib diesen als Betrag an.

Aufgabe 1

Markiere die folgenden rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

$-3,2$ ; $+2,1$ ; $+3,9$ , $-0,9$

Abb. 2: Zahlenstrahl

$-0,85$ ; $+0,04$ ; $-0,48$ , $-0,69$

Skala mit Werten von -0,9 bis 0,1, dargestellt als horizontale Linie.

Abb. 3: Zahlenstrahl

Aufgabe 2

Bestimme den Betrag und die Gegenzahl der folgenden Zahlen.

$-7,91$

$+8,881$

$+0,651$

$-31,1$

$-77,012$

$0$

Aufgabe 3

Ordne die Zahlen aus der Ellipse den Zahlenmengen $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$ zu. Gib alle Zahlen an, die in der jeweiligen Zahlenmenge enthalten sind.

Zahlen in einer elliptischen Anordnung, darunter negative und positive Werte sowie Brüche.

Abb. 4: Zahlen

Zahlen in einem ovalen Bereich, darunter negative und positive Werte sowie Brüche.

Abb. 5: Zahlen

Aufgabe 4

Lies die Zahlen vom Zahlenstrahl ab.

Skala mit Zahlen von -8 bis 1 und Buchstaben A bis F für mathematische oder statistische Zwecke.

Abb. 6: Zahlenstrahl

Skala mit Werten von -0,5 bis 0,5 und Buchstaben A bis F.

Abb. 7: Zahlenstrahl

Bildnachweise [nach oben]

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Public Domain.

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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Betrag bestimmen

Bestimme den Betrag der angegebenen Temperaturen. Die niedrigste jemals gemessene Temperatur betrug $-89,2^{\circ}\,\text{C}$ . Der Betrag gibt nun den Abstand einer Zahl von Null an. Somit folgt für den gesuchten Betrag:

$\begin{array}[t]{rll} \left| -89,2 \right|&=& 89,2 \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt der Betrag der angegebenen Temperatur $89,2^{\circ}\,\text{C}.$

Entsprechend folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| +56,7 \right|&=& 56,7 \\[5pt] \end{array}$

Damit beträgt der Betrag der angegebenen Temperatur $56,7^{\circ}\,\text{C}.$

$\blacktriangleright$ Temperaturunterschied bestimmen

Hierbei ist eine negative Temperatur und eine positive Temperatur gegeben und dazu sollst du den Temperaturunterschied berechnen. Der Temperaturunterschied gibt den Abstand zwischen den jeweiligen Temperaturen an. Hierfür weißt du, da eine Temperatur negativ ist, dass diese Temperatur auf dem Zahlenstrahl links von der Null liegt und die positive Temperatur entsprechend rechts von der Null.

Somit kannst du den Temperaturunterschied bestimmen, indem du die zuvor bestimmten Beträge der Temperaturen addierst.

$\begin{array}[t]{rll} 89,2^{\circ}\,\text{C} +56,7^{\circ}\,\text{C} &=& 145,9\,\text{C} \\[5pt] \end{array}$

Damit beträgt der Betrag des Temperaturunterschiedes $145,9^{\circ}\,\text{C}.$

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Zahlen im Zahlenstrahl markieren

Du sollst die angegebenen Zahlen auf dem Zahlenstrahl markieren. Hierbei musst du beachten, dass für die negativen Zahlen gilt, dass der Betrag der Zahlen größer wird, umso weiter du auf dem Zahlenstrahl nach links gehst.

Skala mit Zahlen von -5 bis +5, Markierungen in grün.

Abb. 1: Zahlenstrahl

$\blacktriangleright$ Zahlen im Zahlenstrahl markieren

Ein Diagramm mit einer Skala von -0,9 bis +0,1, das verschiedene Werte anzeigt.

Abb. 2: Zahlenstrahl

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Betrag und Gegenzahl bestimmen

Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl $-7,91$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| -7,91 \right|&=& 7,91 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag der Zahl $-7,91$ lautet $7,91.$

Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl $-7,91$ lautet somit $+7,91.$

$\blacktriangleright$ Betrag und Gegenzahl bestimmen

Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl $+8,881$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| +8,881 \right|&=& 8,881 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag der Zahl $+7,91$ lautet $8,881.$

Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl $+8,881$ lautet somit $-8,881.$

$\blacktriangleright$ Betrag und Gegenzahl bestimmen

Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl $+0,651$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| +0,651 \right|&=& 0,651 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag der Zahl $+0,651$ lautet $0,651.$

Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl $+0,651$ lautet somit $-0,651.$

$\blacktriangleright$ Betrag und Gegenzahl bestimmen

Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl $-31,1$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| -31,1 \right|&=& 31,1 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag der Zahl $-31,1$ lautet $31,1.$

Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl $-31,1$ lautet somit $+31,1.$

$\blacktriangleright$ Betrag und Gegenzahl bestimmen

Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl $-77,012$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| -77,012 \right|&=& 77,012 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag der Zahl $-77,012$ lautet $77,012.$

Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl $-77,012$ lautet somit $+77,012.$

$\blacktriangleright$ Betrag und Gegenzahl bestimmen

Der Betrag entspricht dem Abstand einer Zahl zur Null. Für den Betrag der Zahl $0$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \left| 0 \right|&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Der Betrag der Zahl $0$ lautet $0.$

Die Gegenzahl entspricht der ursprünglichen Zahl mit geändertem Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Zahl $0$ lautet $0.$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Zahlen zuordnen

Die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet $\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dotsc \}.$ Somit gehören $8$ und $4$ zu der Menge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass $8$ und $4$ Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sind. Man schreibt $8 \in \mathbb{N}$ und $4 \in \mathbb{N}.$

Die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei die natürlichen Zahlen auch negativ sein können. Das bedeutet $\mathbb{Z}=\{\dotsc, -2, -1, 0, 1, 2, \dotsc \}.$ Somit sind $4$ , $8$ und $-7$ Elemente der Menge der ganzen Zahlen.

Die Zahlenmenge $\mathbb{Q}$ bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen. Somit sind alle Bruchzahlen in der Menge enthalten, wobei die Bruchzahlen auch negativ sein können. Damit folgt, dass alle angegebenen Zahlen Elemente der rationalen Zahlen sind.

$\blacktriangleright$ Zahlen zuordnen

Die Zahlenmenge $\mathbb{N}$ gibt die Menge der natürlichen Zahlen an. Das bedeutet $\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dotsc \}.$ Somit gehört $0$ zu der Menge der natürlichen Zahlen. Man sagt, dass $0$ ein Element der Menge der natürlichen Zahlen ist. Man schreibt $0 \in \mathbb{N}.$

Die Zahlenmenge $\mathbb{Z}$ bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, wobei die natürlichen Zahlen auch negativ sein können. Das bedeutet $\mathbb{Z}=\{\dotsc ,-2, -1, 0, 1, 2, \dotsc \}.$ Somit sind $0$ , $-101$ und $-9$ Elemente der Menge der ganzen Zahlen.