Beschreibe, wie der Graph von aus dem Graphen von erzeugt werden kann. Gib die Wertemenge von an.

Berechne die Größe des Winkels, in dem der Graph von die Gerade mit der Gleichung schneidet.

Zeige, dass die Graphen von und in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.

Der Graph der Funktion schließt mit der -Achse und der Geraden eine Fläche ein, von der ein Teil unterhalb der -Achse liegt. Berechne den Flächeninhalt.

Gib die geometrische Bedeutung der Gleichung an und bestimme den Wert von

Berechne den Abstand der beiden Extrempunkte des Graphen von Bestimme die Art dieser Extrempunkte.

Es gibt genau eine Tangente an den Graphen von die durch den Ursprung verläuft. Bestimme die Gleichung dieser Tangente und erläutere deine Rechnung.

Der Graph von wird entlang der -Achse um Einheiten so verschoben, dass der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten des verschobenen Graphen auf der -Achse liegt.
Bestimme den Wert des Parameters

Gib den Wert des Terms sowie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

Bestimme mithilfe der Abbildung die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.

Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Beschreibe unter Verwendung geeigneter Flächen die graphische Bedeutung der folgenden Aussage:
Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa

Die Tangente an den Graphen von im Punkt wird durch die Gleichung dargestellt. Interpretiere die folgende Aussage im Sachzusammenhang:
Für alle Werte von mit gilt

An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei. Berechne die dafür infrage kommenden Zeiträume.

---

Der Graph von kann aus dem Graphen von durch eine Spiegelung an der -Achse erzeugt werden. Die Wertemenge ist somit als gegeben.

Im Schnittpunkt gilt somit gilt dort also Mit der Formel für den Steigungswinkel folgt: Die Größe des Schnittwinkels beträgt somit ca.

1. Schritt: Koordinaten des gemeinsamen Punktes ermitteln und gleichsetzen: Mit dem CAS ergibt sich als Lösung der Gleichung, womit die Koordinaten des gemeinsamen Punktes mit folgen. 2. Schritt: Nachweis der gemeinsamen Tangente Damit die beiden Graphen an dieser Stelle eine gemeinsame Tangente haben, muss ebenfalls die Steigung übereinstimmen. Die Ableitungsfunktionen lauten: Mit und liegt in eine gemeinsame Tangente vor. 3. Schritt: Gleichung der gemeinsamen Tangente angeben Für die Steigung der Tangente gilt Da auf der -Achse liegt, folgt Die Gleichung der Tangente lautet somit mit

1. Schritt: Nullstellen von berechnen wird mit dem CAS gelöst: 2. Schritt: Inhalt des Flächenstücks berechnen Beim Graphen von handelt es sich um eine Parabel, deren Tiefpunkt unterhalb der -Achse liegt. Somit ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt mittels CAS:

Geometrische Bedeutung angeben Die Fläche, die die Graphen von und und die Gerade mit der Gleichung einschließen, hat den Inhalt Wert von bestimmen Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt:

Zweimaliges Ableiten von im CAS liefert: Abstand der Extrempunkte berechnen Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden: Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS ergeben sich und (Auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen wird verzichtet, da die Aufgabenstellung fordert, dass es sich um Extrempunkte handelt.) Einsetzen in liefert die -Koordinaten der Extrempunkte: Für den Abstand beider Extrempunkte folgt somit: Art der Extrempunkte bestimmen Der Graph der Funktion hat somit einen Tiefpunkt mit den Koordinaten und einen Hochpunkt mit den Koordinaten

Die Tangente soll erfüllen, somit folgt die Tangentengleichung mit Für die Steigung gilt: Im Berührpunkt der Tangente an den Graphen von gilt das heißt: Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt: Einsetzen in ergibt: Die Gleichung der gesuchten Tangente ist somit durch gegeben.

Ablesen aus Abbildung 2: Es ist Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass sich die momentane Durchflussrate langfristig einem Wert von annähert.

Die stärkste Abnahme liegt an derjenigen Wendestelle des Graphen von vor, für die gilt. Der Wendepunkt im betrachteten Zeitraum, wird aus der Abbildung abgelsen und hat circa die Koordinaten Damit beträgt die momentane Durchflussrate zum betrachteten Zeitpunkt etwa .

Das Flächenstück, das der Graph von zwischen mit der -Achse einschließt, hat etwa den gleichen Inhalt wie das Flächenstück, welches die Gerade mit der Gleichung und die -Achse für einschließen.

Für den angegebenen Zeitraum beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate mit einer relativen Abweichung von weniger als

Bestimmung der Stammfunktion von mit Hilfe des CAS liefert zusammen mit dem solve-Befehl: Damit kommen die beiden Zeiträume mit einer Dauer von drei Sekunden infrage, die ca. bzw. ca. nach Beobachtungsbeginn beginnen.