Analysis 2.2 - Radfahrer

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{3}{1000} \cdot x^4-\frac{8}{100} \cdot x^3+\frac{6}{10} \cdot x^2.$ Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ sowie den Punkt $P\left(0 \left\lvert\,-\frac{5}{8}\right.\right).$

Abb. 1

Der Graph von $f$ besitzt den Tiefpunkt $(0 \mid 0).$ Zeige rechnerisch, dass der Graph von $f$ keine weiteren Extrempunkte besitzt.

(3 BE)

Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q\left(\left.-\frac{1}{4} \right\rvert\,-1\right)$ wird mit $t$ bezeichnet.

Ermittle eine Gleichung von $t$ und weise rechnerisch nach, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(5 \mid f(5))$ ist.

(zur Kontrolle: Gleichung von $t:\; y=\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}$ )

(4 BE)

Der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schließen eine Fläche ein, die aus zwei Flächenstücken besteht. Berechne den Inhalt dieser Fläche.

(5 BE)

Skizziere in Abbildung 1 zwei von $t$ verschiedene Tangenten an den Graphen von $f,$ die die $y$ -Achse im Punkt $P$ schneiden und deren Steigungen unterschiedliche Vorzeichen haben.

(3 BE)

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ kann aus dem Graphen von $f$ erzeugt werden. Der Punkt $(12\mid12)$ des Graphen von $g$ wird dabei aus dem Punkt $(10\mid10)$ des Graphen von $f$ erzeugt und für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x)=a \cdot f(b \cdot x)$ mit $a, b \in \mathbb{R}^{+}.$
Gib in diesem Zusammenhang die Bedeutung von $a$ und $b$ an und berechne die Werte von $a$ und $b$ .

(4 BE)

Zwei Radfahrer starten gleichzeitig nebeneinander auf einer geradlinigen Bahn aus einer Ruheposition. Radfahrer $A$ beschleunigt 10 Sekunden lang und fährt danach mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Radfahrer $B$ beschleunigt 12 Sekunden lang und fährt dann mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeitsverläufe der beiden Radfahrer in den ersten 15 Sekunden nach dem Start dar. Dabei wird der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $A$ in den ersten 10 Sekunden nach dem Start durch die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 beschrieben. Der Geschwindigkeitsverlauf von Radfahrer $B$ wird in den ersten 12 Sekunden nach dem Start durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x)=\frac{1}{576} \cdot x^4-\frac{1}{18} \cdot x^3+\frac{1}{2} \cdot x^2$ beschrieben.

Abb. 2

Dabei ist $x$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden und $f(x)$ bzw. $h(x)$ die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde.

Berechne die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ drei Sekunden nach dem Start sowie den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von 8 Meter pro Sekunde erreicht.

(3 BE)

Ermittle die konstante Geschwindigkeit, mit der sich Radfahrer $B$ ab dem Zeitpunkt 12 Sekunden nach dem Start bewegt.
Zeige durch Rechnung, dass der zum Radfahrer $B$ gehörende Graph in Abbildung 2 an der Stelle 12 keinen Knick aufweist.

(3 BE)

Nach dem Start gibt es genau einen Zeitpunkt, zu dem die Geschwindigkeiten beider Radfahrer gleich groß sind. Im Modell wird dieser Zeitpunkt mit $x_s$ bezeichnet.

Bestimme rechnerisch $x_s.$

(2 BE)

Im Folgenden ist ein Lösungsweg für eine Aufgabe im gegebenen Sachzusammenhang dargestellt. Gib die Bedeutung von $d(x)$ für $0\lt x\lt x_s$ im Sachzusammenhang an und interpretiere das Ergebnis $0,37.$

$\;$

$d(x)=f(x)-h(x)$

$\;$

$\(d$ hat für $0\lt x\lt x_s$ nur die Lösung $x_1 \approx 3,64.$

$\;$

$\(d$

$\;$

$d\left(x_1\right) \approx 0,37$

(4 BE)

Es gibt genau einen Zeitpunkt in den ersten 10 Sekunden nach dem Start, zu dem einer der beiden Radfahrer den anderen überholt. Berechne, um wieviel Prozent die Geschwindigkeit des schnelleren Radfahrers die Geschwindigkeit des langsameren Radfahrers zum Zeitpunkt des Überholens übersteigt.

(4 BE)

(35 BE)

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Für die erste Ableitung von $f$ folgt mit dem CAS:

$\(f$ $-\dfrac{24}{100} \cdot x^2+\dfrac{12}{10} \cdot x$

Die notwendingen Bedingung für Extremstellen $\(f$ liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&10 \end{array}$

Einsetzen von Werten um $x_2=10$ herum in $\(f$ liefert weiter, dass sich das Vorzeichen an dieser Stelle nicht ändert. Somit besitzt der Graph von $f$ dort keinen Extrempunkt, das heißt nach der notwendingen Bedingung für Extremstellen ist $x_1=0$ die einzige Extremstelle.

Gleichung von $\boldsymbol{t}$ ermitteln

Die gesuchte Gerade $t$ besitzt die allgemeine Gleichung $y=mx+n,$ wobei der Achsenabschnitt $n$ als $n=-\frac{5}{8}$ gegeben ist, da $t$ durch $P$ verläuft. Einsetzen der Koordinaten von $Q$ und Auflösen nach der Steigung $m$ im CAS liefert:

$m=\dfrac{3}{2}$

Eine Gleichung von $t$ ist somit durch $t: y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{8}$ gegeben.

Tangente rechnerisch nachweisen

Es gilt $t(5)=\frac{3}{2}\cdot5-\frac{5}{8}=\frac{55}{8}.$ Einsetzen von $x=5$ in $f(x)$ und $\(f$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(5)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 5^4-\dfrac{8}{100} \cdot 5^3+\dfrac{6}{10} \cdot 5^2 \\[5pt] &=&\dfrac{55}{8} \\[5pt] &=&t(5) \\[10pt] f$

Somit ist $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt mit den Koordinaten $(5\mid f(5)).$

Gleichsetzen von $f(x)$ und $t(x)$ liefert $f(x)=\frac{3}{2}x-\frac{5}{8}.$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&\dfrac{25-5 \sqrt{22}}{3} \\[5pt] x_2&=&5 \\[5pt] x_3&=&\dfrac{25+5 \sqrt{22}}{3} \end{array}$

Da $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $5$ ist, berührt sie diesen an der Stelle $x=5$ nur. Da zudem $x_1\gt0$ gilt und $t$ in diesem Bereich über dem Graphen von $f$ verläuft, folgt, dass $t$ zwischen $x_1$ und $x_3$ über dem Graphen von $f$ liegt. Somit ergibt sich für den gesuchten Flächeninhalt mit dem CAS:

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_3}\left(\frac{3}{2} x-\frac{5}{8}-f(x)\right)\;\mathrm dx$ $=\dfrac{770}{81} \sqrt{22}\;[\text{FE}]$

Der Graph von $g$ entsteht aus dem Graphen von $f,$ indem mit dem Faktor $a$ in $y$ -Richtung gestreckt wird und mit dem Faktor $\frac{1}{b}$ in $x$ -Richtung gestreckt wird. Für $a$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} g(12)&=&a\cdot f(10) \\[5pt] 12&=&a\cdot 10 &\quad \scriptsize \mid\;:10\\[5pt] \dfrac{6}{5}&=&a \end{array}$

Für den Wert von $b$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 12&=&\dfrac{1}{b}\cdot10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] 12b&=&10 &\quad \scriptsize \mid\;:12\\[5pt] b&=&\dfrac{5}{6} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=&\dfrac{3}{1000} \cdot 3^4-\dfrac{8}{100} \cdot 3^3+\dfrac{6}{10} \cdot 3^2 \\[5pt] &\approx&3,48 \end{array}$

Drei Sekunden nach dem Start beträgt die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ somit ca. $3,48\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Für den Zeitpunkt, zu dem er eine Geschwindigkeit von $8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}$ hat, liefert die Gleichung $f(x)=8$ mit dem solve-Befehl des CAS folgende Lösung im betrachteten Zeitraum:

$x\approx 5,82$

Radfahrer $A$ erreicht somit ca. $5,82$ Sekunden nach dem Start eine Geschwindigkeit von $8\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Konstante Geschwindigkeit ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} h(12)&=&\dfrac{1}{576} \cdot 12^4-\dfrac{1}{18} \cdot 12^3+\dfrac{1}{2} \cdot 12^2 \\[5pt] &=&12 \end{array}$

Die gesuchte konstante Geschwindigkeit von Radfahrer $B$ beträgt somit $12\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Knickfreiheit zeigen

Mit dem CAS folgt, dass $\(h$ gilt. Da Radfahrer $B$ sich ab 12 Sekunden nach dem Start mit konstanter Geschwindigkeit fortbewegt, weist der zugehörige Graph in Abbildung 2 somit an der Stelle $12$ keinen Knick auf.

Aus der Gleichung $f(x)=h(x)$ folgt mit dem solve-Befehl des CAS als Lösung im Zeitraum $0\lt x\lt10:$

$x_s=\dfrac{880-20 \sqrt{298}}{91} \approx 5,88$

Bedeutung von $\boldsymbol{d(x)}$ angeben

Der Funktionswert $d(x)$ gibt an, um wie viele Meter pro Sekunde Radfahrer $A$ zum Zeitpunkt von $x$ Sekunden nach dem Start schneller ist als Radfahrer $B.$

Interpretation des Ergebnisses

Der größte Unterschied der Geschwindigkeiten der beiden Radfahrer innerhalb der ersten $x_s$ Sekunden nach dem Start beträgt ca. $0,37\;\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

Auflösen der Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{z}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx=0$ nach $z$ mit dem solve-Befehl des CAS ergibt für $0\lt z\lt10:$

$z_0=\dfrac{1100-20 \sqrt{295}}{91} \approx 8,31$

Zu diesem Zeitpunkt ist Radfahrer $B$ schneller. Für den Wert in Prozent, um den die Geschwindigkeit von Radfahrer $B$ die Geschwindigkeit von Radfahrer $A$ zu diesem Zeitpunkt übersteigt, folgt somit mit dem CAS:

$\dfrac{h\left(z_0\right)-f\left(z_0\right)}{f\left(z_0\right)} \approx 0,11=11\,\%$

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