Wahlaufgaben

1.4.1 Analysis

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g$ mit $g(x)=2 \cdot \mathrm e^x-2$ und $h$ mit $h(x)= \mathrm e^x+1.$ Die Abbildung zeigt ihre Graphen.

Die erste Ableitungsfunktion von $g$ wird mit $\(g$ bezeichnet.
Berechne $\(g$ und veranschauliche in der Abbildung, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann.

(3 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

$\,$

Es gibt eine Verschiebung in $y$ -Richtung, durch die der Graph von $h$ aus dem Graphen von $g$ erzeugt werden kann.

(2 BE)

1.4.2 Analytische Geometrie

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A, B$ und $C.$ Für den Punkt $D$ gilt $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2 \cdot \overrightarrow{AB},$ wobei $O$ den Koordinatenursprung bezeichnet.
Ermittle das Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks $ABC$ zum Inhalt der Fläche des Trapezes $ABCD.$
Stelle dein Vorgehen durch eine geeignete Ergänzung der Abbildung dar.

(5 BE)

1.4.3 Stochastik

In einem Spielwarengeschäft erhält jedes Kind im Rahmen einer Werbeaktion einen kleinen, blickdicht verpackten Ball. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Ball eine Glitzerfärbung hat, beträgt $40\,\%.$

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Gruppe von drei Kindern jedes Kind einen Ball mit Glitzerfärbung erhält, kleiner als $10\,\%$ ist.

(2 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $\left(\frac{3}{5}\right)^4+4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^3\cdot\frac{2}{5}$ berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an.

(3 BE)

1.5.1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm e^{0,5 x}-\mathrm e$ . Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Weise nach, dass $G$ streng monoton steigend verläuft.

(2 BE)

Der Graph $G$ wird so entlang der $x$ -Achse verschoben, dass er durch den Koordinatenursprung verläuft. Es entsteht der Graph der Funktion $h.$
Ermittle eine Gleichung der Funktion $h.$

(3 BE)

1.5.2 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(3\mid4\mid 0)$ und $M(1\mid2\mid-1)$ . Ermittle die Koordinaten von zwei möglichen Punkten $B$ und $C,$ so dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

$A, B$ und $C$ haben jeweils denselben Abstand zu $M.$

II.

$A, B$ und $C$ sind Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.

(5 BE)

1.5.3 Stochastik

Um Jugendliche bei einer Befragung zum sensiblen Thema „Unentschuldigtes Fernbleiben vom Unterricht“ dazu zu bewegen, die ihnen gestellte Frage wahrheitsgemäß zu beantworten, wird folgendes Verfahren angewandt:

Von den an der Befragung teilnehmenden Jugendlichen erhalten $60\,\%$ die folgende Frage F1 und $40\,\%$ die folgende Frage F2:

F1:

„Ist es wahr, dass du schon einmal unentschuldigt dem Unterricht ferngeblieben bist?“

F2:

„Ist es wahr, dass du noch nie unentschuldigt dem Unterricht ferngeblieben bist?“

Nur der befragten Person selbst ist bekannt, welche der beiden Fragen sie erhalten hat. Sie beantwortet die Frage wahrheitsgemäß mit „Ja“ bzw. mit „Nein“.
Es kann davon ausgegangen werden, dass der Anteil der Befragten, die schon einmal unentschuldigt dem Unterricht ferngeblieben sind, unter denjenigen, die die Frage F1 erhielten, ebenso groß ist wie unter allen Befragten. Dieser Anteil wird mit $p$ bezeichnet.

Vervollständige das abgebildete Baumdiagramm, so dass es das beschriebene Verfahren darstellt.

(2 BE)

Es werden 1000 Jugendliche befragt. Von diesen antworten 420 mit „Ja“.
Berechne den Anteil $p,$ der sich auf Grundlage dieses Ergebnisses ergibt.

(3 BE)

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1.4.1 Analysis

$\(\boldsymbol{g$ berechnen

Für die Ableitung von $g$ gilt:

$\(g$

Einsetzen von $x=0$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Grafische Ermittlung veranschaulichen

Die Aussage ist falsch, da aus der Abbildung deutlich hervorgeht, dass die Steigung der beiden Graphen an der Stelle $x=0$ nicht übereinstimmt.

1.4.2 Analytische Geometrie

$\;$

Verhältnis der Flächeninhalte ermitteln

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ ergibt ergibt sich zu $A_{\text{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left\vert\overline{AB}\right\vert\cdot h,$ wobei $h$ die Höhe von $C$ bezüglich der Seite $\overline{AB}$ ist.

Da laut Aufgabenstellung $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2 \cdot \overrightarrow{AB}$ gilt, folgt $\left\vert\overline{CD}\right\vert=2\cdot\left\vert\overline{AB}\right\vert.$ Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt somit:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot\left(\left\vert\overline{AB}\right\vert+\left\vert\overline{CD}\right\vert\right) \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \left(\left\vert\overline{AB}\right\vert+2\cdot\left\vert\overline{AB}\right\vert\right) \cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{3}{2} \cdot\left\vert\overline{AB}\right\vert \cdot h \end{array}$

Damit ist das Verhältnis des Flächeninhalts des Dreiecks zu dem des Trapezes $1:3.$

Vorgehen darstellen

1.4.3 Stochastik

$0,4^3=0,064\lt0,1$

Ein mögliches Zufallsexperiment wäre, dass vier Kinder jeweils einen Ball bekommen. Das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term beschrieben wird, ist, dass mindestens drei von den vier Bällen keine Glitzerfärbung haben.

1.5.1 Analysis

Für die Ableitung von $f$ gilt:

$\(f$

Da stets $\mathrm e^x\gt0$ gilt, folgt $\(f$ und somit, dass $G$ streng monoton steigend verläuft.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] \mathrm e^{0,5x}-\mathrm e&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+\mathrm e\\[5pt] \mathrm e^{0,5x}&=&\mathrm e &\quad \scriptsize \mid\;\ln\\[5pt] 0,5x&=&\ln(\mathrm e) &\quad \scriptsize \mid\;\cdot2\\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Der Graph $G$ muss somit um zwei Längeneinheiten in negative $x$ -Richtung verschoben werden, um den Graph von $h$ zu erhalten. Somit folgt $h(x)=\mathrm e^{0,5(x+2)}-\mathrm e.$

1.5.2 Analytische Geometrie

$\;$

Die erste Bedingung liefert, dass die Punkte $A, B$ und $C$ auf einem Kreis mit Mittelpunkt $M$ liegen. Die zweite Bedingung wird zum Beispiel durch folgendes Dreieck erfüllt:

Für den Ortsvektor des Punkts $B$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB}&=&\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{AM} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\4\\0}+2\cdot\pmatrix{1-3\\2-4\\-1-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\0\\-2} \end{array}$

Ein Vektor $\overrightarrow{v},$ der senkrecht auf $\overrightarrow{AM}$ steht, das heißt für den $\overrightarrow{AM}\circ\overrightarrow{v}=0$ gilt, ist zum Beispiel gegeben durch:

$\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\-1\\0}$

Der Vektor $\overrightarrow{MC}$ muss nun ein Vielfaches dieses Vektors sein und den gleichen Betrag wie $\overrightarrow{AM}$ besitzen. Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OC} = \pmatrix{1+\frac{3}{\sqrt{2}}\\2-\frac{3}{\sqrt{2}}\\-1}$

Die Koordinaten von zwei möglichen Punkten $B$ und $C,$ die die beiden Bedingungen erfüllen, ergeben sich somit als $B(-1\mid0\mid-2)$ und $C\left(1+\frac{3}{\sqrt{2}}\;\left\vert\;2-\frac{3}{\sqrt{2}}\;\right\vert\;-1\right).$

1.5.3 Stochastik

$\begin{array}[t]{rll} 0,6 \cdot p+0,4 \cdot(1-p)&=& \dfrac{420}{1000} \\[5pt] 0,2p+0,4&=& 0,42 \quad \scriptsize \mid\;-0,4 \\[5pt] 0,2p&=& 0,02 \quad \scriptsize \mid\;:0,2 \\[5pt] p&=&0,1 \end{array}$

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