Stochastik 3.2 - Pakete

In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. $10\,\%$ der Pakete haben das Ziel A, $7\,\%$ das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

Für 100 zufällig ausgewählte Pakete wird untersucht, ob sie das Ziel B haben.
Begründe, dass die Binomialverteilung verwendet werden kann, um Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse der Untersuchung zu treffen.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgewählten Paketen

genau neun das Ziel B haben.
weniger als neun das Ziel B haben.

(3 BE)

Unter 100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B. Berechne die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen.

(3 BE)

Ermittle, wie groß die Anzahl ausgewählter Pakete mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens ein Paket das Ziel B hat.

(4 BE)

Im Paketzentrum werden 20 Pakete zufällig ausgewählt.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 20 ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa $54 \,\%$ . Ermittle den Anteil der Pakete mit dem Ziel C unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden.

(3 BE)

Zwei Paketboten erhalten jeweils 10 zufällig ausgewählte Pakete.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden Paketboten kein Paket mit dem Ziel A erhält.

(4 BE)

Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen. $5\,\%$ der Pakete haben eine Masse von mehr als $10\,\text{kg}$ und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind $8\,\%$ schwer.

Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:
S: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“
Z: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

Mit den Termen $P_Z(S)$ und $P(S\cap Z)$ werden zwei Wahscheinlichkeiten bezeichnet.
Gib für jeden der beiden Terme die Bedeutung im Sachzusammenhang an.

(2 BE)

Stelle den Zusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Untersuche, ob der Anteil der Pakete mit dem Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den Paketen, die nicht schwer sind.

(3 BE)

Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind $2\,\%$ schwer.
Untersuche, ob der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, kleiner als $5\,\%$ , gleich $5\,\%$ oder größer als $5\,\%$ ist.

(3 BE)

(30 BE)

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Für jedes der ausgewählten Pakete wird untersucht, ob es das Ziel B hat oder nicht. Da die zu untersuchenden 100 Pakete aus einer sehr großen Anzahl aller angelieferten Pakete zufällig ausgewählt wurden, kann davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ziel B für alle ausgewählten Pakete gleich groß ist

$X:$ Anzahl der Pakete, die das Ziel $B$ haben

$\mathrm{P}_{0,07}^{100}(\mathrm{X}=9) \approx 10 \%$

$P_{0,07}^{100}(X \lt 9) \approx 73 \%$

$\dfrac{9-0,07 \cdot 100}{0,07 \cdot 100} \approx 29 \%$

$\begin{array}[t]{rll} P(X \geq 1)&\geq&0,9 \\[5pt] 1-P(X=0)&\geq&0,9 \\[5pt] P(X=0)& \leq& 0,1 \\[5pt] 0,93^n &\leq& 0,1&\quad \scriptsize \mid\;\ln() \\[5pt] n& \geq & 31,7 \end{array}$

Es müssen mindestens 32 Pakete sein.

$(1-x)^{20}=0,54$ liefert für den gesuchten Anteil $x=1-\sqrt[20]{0,54} \approx 3 \%$ .

E: „Unter 10 zufällig ausgewählten Paketen ist kein Paket mit dem Ziel A"

$\begin{aligned} &\mathrm{P}(\mathrm{E})=0,9^{10} \approx 0,35 \\ &\mathrm{P}(\overline{\mathrm{E}})=1-0,9^{10} \approx 0,65 \end{aligned}$

Wenn entweder der erste Paketbote kein Paket mit Ziel $A$ hat, oder der erste Paketbote hat ein Paket mit Ziel $A$ und der zweite Paketbote keines mit Ziel $A$ , dann hat mindestens einer von beiden kein Paket mit Ziel $A.$

$0,35+0,65 \cdot 0,35 \approx 58 \%$

$P_{Z}(S)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Paket schwer ist, wenn bekannt ist, dass es das Ziel $A$ hat. $P(S \cap Z)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Paket schwer ist und das Ziel $A$ hat.

	$\color{#fff}{S}$	$\color{#fff}{\overline{S}}$
$\color{#fff}{Z}$	0,8 %	9,2 %	10 %
$\color{#fff}{\overline{Z}}$	4,2 %	85,8 %	90 %
	5 %	95 %	100 %

Der Anteil der schweren Pakete ist unter denjenigen mit dem Ziel A anders als unter allen Paketen. Damit sind die Ereignisse $S$ und $Z$ stochastisch abhängig. Die beiden betrachteten Anteile stimmen also nicht überein.

Unter allen Paketen ist der Anteil derer mit dem Ziel A größer als der Anteil derer mit dem Ziel B. Damit ist der Anteil der schweren Pakete unter denen mit den Zielen A und B insgesamt größer als $5 \%$ . Der Anteil der schweren Pakete unter denjenigen, die weder das Ziel A noch das Ziel B haben, ist also kleiner als $5 \%.$

$0,1 \cdot 0,08 +0,07 \cdot 0,02 +0,83 \cdot h= 0,05$

Aufgelöst nach $h$ ergibt sich: $h=\dfrac{0,05-0,008-0,0014}{0,83}$ $\approx 0,049 \approx 4,9 \%$

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