Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von mit den Koordinatenachsen an. Begründe, dass der Graph von einen Hochpunkt hat, und gib die Koordinaten dieses Hochpunkts an.

Gib den Grenzwert von für an und beschreibe den Verlauf des Graphen von für .

Stelle den Graphen von für in einem Koordinatensystem dar. Es gibt zwei Punkte auf dem Graphen von , so dass der Graph in diesen Punkten die Steigung hat. Zeichne diese Punkte in das Koordinatensystem ein.

Begründe ohne Rechnung, dass gilt .

Die Gleichungen und liefern gemeinsam die Lösung einer Aufgabe. ; Erläutere die Gleichungen und formuliere eine passende Aufgabenstellung.

Die Tangente an den Graphen von im Punkt schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne den Umfang dieses Dreiecks und gib die Koordinaten des Punkts an, der von allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.

Der Koordinatenursprung und ein auf dem Graphen von liegender Punkt mit sind gegenüberliegende Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Begründe, dass das Rechteck unabhängig von stets im Quadranten des Koordinatensystems liegt.
Für genau einen Wert hat das Rechteck eine maximale Fläche. Ermittle für diesen Fall die Koordinaten des Punkts und den zugehörigen Flächeninhalt. Zur Kontrolle:

Ermittle die Menge alle Stammfunktionen von , deren Graph einen Teifpunkt im Quadranten hat.

Zeige, dass gilt.

Bestimme unter Verwendung der genannten Schritte, mit denen der Graph von aus dem Graphen von erzeugt werden kann, reelle Zahlen , , und , für die gilt.

Weise nach, dass der Roboter zum Zeitpunkt 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn den größten Abstand zur Wasseroberfläche hat und dass dieser Abstand 900 Meter beträgt.

Berechne, wie viele Meter der Roboter innerhalb der ersten 15 Minuten nach Beobachtungsbeginn zurücklegt.

Beschreibe die Bedeutung des Wendepunkts des Graphen von im Hinblick auf die Bewegung des Roboters.

Betrachtet wird die Phase, in der der Roboter seinen Abstand zur Wasseroberfläche vergrößert. Berechne den Zeitraum innerhalb dieser Phase, in dem die Geschwindigkeit des Roboters mindestens 29,7 Meter pro Minute ist.

Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von mit den Koordinatenachsen Anwenden des Satzes vom Nullprodukt:
Für ergibt sich Für gibt es keine Lösung. Somit ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunkts mit der -Achse mit Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der -Achse ergeben sich mit Koordinaten des Hochpunkts bestimmen Es gilt: Anwendung der Produkt- und Kettenregel: 1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden Anwenden des Satzes vom Nullprodukt: Für ergibt sich Für gibt es keine Lösung. 2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen Somit ist gezeigt, dass sich an der Stelle ein Hochpunkt befindet. Die Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich somit mit

da der lineare Term langsamer gegen unendlich strebt, als die Exponentialfunktion gegen null. Der Graph von nähert sich asymptotisch der -Achse.

Die Funktion ist im Intervall monoton steigend, also gilt und folglich auch Im Intervall ist die Funktion monoton fallend, es gilt also und damit auch Insgesamt folgt

Gleichungen erläutern Die Funktionsgleichung und die Ableitungsfunktion von werden gleichgesetzt. Als Ergebnis ergibt sich die Schnitstelle Der zugehörige Funktionswert zur Schnittstelle wird berechnet. Dadurch ergibt sich der Schnittpunkt. Passende Aufgabenstellung formulieren Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit dem Graphen seiner Ableitungsfunktion.

Die Tangente schneidet die -Achse also im Punkt Der Umfang des Dreiecks lässt sich damit wie folgt berechnen: Der gesuchte Punkt hat die Koordinaten Dieser hat von allen Eckpunkten des Dreiecks den Abstand

Für den Flächeninhalt des eingeschlossenen Rechtecks gilt: Um den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks zu bestimmen, wird auf Maximalstellen überprüft. Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden Es handelt sich somit um eine Maximalstelle. Daraus folgen die Koordinaten mit

Es gilt . Somit ist die Nullstelle die Extremstelle der Funktion . Der Graph von hat genau einen lokalen Tiefpunkt , da Menge aller Stammfunktionen, deren Graph einen Tiefpunkt im III. Quadranten hat: mit

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Unterschiede zwischen den Graphen von und rechnerisch ausgeglichen werden: die Spiegelung durch einen Faktor -1, die Streckung durch einen Faktor und die Verschiebung durch entsprechende Verschiebung der Integrationsgrenzen. Damit:

Es muss überprüft werden, ob an der Stelle eine Maximalstelle vorliegt. In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass für bei 10 sein Maximum annimmt.

Der Roboter legt in den ersten 10 Minuten eine Strecke von zurück. Diese gleiche Strecke müsste der Roboter wieder zurücklegen um zum Zeitpunkt wieder an der Wasseroberfläche zu sein. Zum Zeitpunkt hat der Roboter einen Abstand von Metern zur Wasseroberfläche. das heißt er legt in eine Strecke von zurück. d. h. der Roboter legt etwa 1041 Meter zurück.

Die -Koordinate des Wendepunkts gibt den Zeitpunkt an, zu dem der Roboter während des Aufsteigens die größte Geschwindigkeit hat.

Der solve-Befehl des CAS liefert und . In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass der gesuchte Zeitraum vom Beobachtungsbeginn bis 8 Minuten nach Beobachtungsbeginn dauert.