Hilfsmittelfreier Teil

1.1 Analysis

Eine Funktion $f$ ist durch ihre Gleichung $f(x)=x^3-8x^2+12x$ gegeben.

Berechne die Nullstellen der Funktion $f$ .

(2 BE)

Bestimme die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(1\mid f(1))$ .

(3 BE)

1.2 Analysis

Abgebildet ist der Graph einer Funktion $f$ .

Gib je einen Wert für $a$ und $b$ an, so dass gilt:

$\,\text{I}$

$\(f$

$\,\text{II}$

$\(f$

(2 BE)

Markiere einen Punkt $P(x_P\mid y_P)$ auf dem Funktionsgraphen von $f$ , für den gilt:
$\(f$ und $\(f$ .
Begründe, warum der von dir gewählte Punkt $P$ die beiden Bedingungen erfüllt.

(3 BE)

1.3 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ . Bestimme diejenige reelle Zahl $m$ mit $m\lt 0$ , für die der Graph von $f$ und die Gerade mit der Gleichung $y=m\cdot x$ eine Fläche mit dem Inhalt $36$ einschließen.

(5 BE)

1.4 Analytische Geometrie

Gegeben ist die Ebene $E:3x-2y=0$ .

Prüfe, ob der Punkt $(1\mid 1,5\mid 7)$ in $E$ liegt.

(1 BE)

Beschreibe die Lage von $E$ im Koordinatensystem.

(2 BE)

Bestimme diejenige reelle Zahl $s$ , für die die Ebene $F:2x+sy+z=4$ senkrecht zu $E$ steht.

(2 BE)

1.5 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 0)$ , $B(8\mid 6\mid 0)$ , und $C(4\mid 3\mid z)$ , wobei $z$ eine positive reelle Zahl ist.

Zeige, dass es sich beim Dreieck $ABC$ um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline {AB}$ handelt.

(2 BE)

Das Dreieck $ABC$ hat den Flächeninhalt $35$ . Bestimme den Wert von $z$ .

(3 BE)

1.4 Stochastik

In der Urne liegen vier rote und zwei grüne Kugeln.

Aus der Urne werden nacheinander drei Kugeln zufällig gezogen, ohne dass die gezogenen Kugeln zurückgelegt werden.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine der gezogenen Kugeln grün ist.

(2 BE)

Aus der Urne wird eine Kugel entfernt, sie enthält also nur noch fünf Kugeln.

Nun beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beim zufälligen Ziehen von zwei Kugeln ohne Zurücklegen zwei Kugeln mit verschiedenen Farben gezogen werden, $60\,\%$ .
Entscheide, ob die entfernte Kugel rot oder grün ist. Begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

1.5 Stochastik

$60\,\%$ der Kunden eines Reiseunternehmens reisen gerne in die Region A, $30\,\%$ in die Region B, $20\,\%$ reisen in jede der beiden Regionen gerne.

Unter denjenigen Kunden, die gerne in die Region A reisen, wird eine Person zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person auch gerne in die Region B reist.

(2 BE)

Berechne den Anteil der Kunden, die entweder in die Region A oder in die Region B gerne reisen.

(3 BE)

(25 BE)

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1.1 Analysis

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] x^3-8x^2+12&=& 0\\[5pt] x\cdot (x^2-8x+12)&=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich $x_1=0$ und $x^2-8x+12=0.$ Mit der $pq$ -Formel folgt:

Rechenweg anzeigen

$x_2=2; x_3=6$

Folgender Ansatz wird gewählt: $t(x)=m \cdot x +c.$

Für die Steigung $m$ gilt $\(m=f$

Ableitung bilden:

$\(f$

Steigung an der Stelle $x=1$ :

$\(m= f$ $= -1$

Um $c$ zu bestimmen, werden zusätzlich zu $m$ auch die Koordinaten von $P$ eingesetzt. Es ist $f(1)= 1^3-8\cdot 1^2+12\cdot 1$ $=5=t(1).$ Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& (-1) \cdot 1 +c&\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 6&=& c \end{array}$

Daraus folgt die Gleichung der Tangente mit $t(x)=-x+b.$

1.2 Analysis

$\text{I}:\quad$ An der Stelle $x=0,2$ hat der Graph von $f$ einen Tiefpunkt, also folgt $\(f$ und damit $a=0.$

$\text{II}:\quad$ Die zweite Ableitung nimmt den Wert Null in einer Wendestelle oder in einer Sattelstelle an. Der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=1$ einen Sattelpunkt, da sich die Krümmung ändert und zudem eine waagrechte Tangente vorliegt. Somit ist die zweite Ableitung gleich Null, also gilt $\(f$ und daraus folgt $b=1$ als ein möglicher Wert.

Mit $\(f$ handelt es sich um einen Wendepunkt oder Sattelpunkt. Wegen $f(x_P)\lt 0$ muss der Graph von $f$ im Punkt $P$ eine negative Steigung aufweisen. Folglich wird ein Punkt $P$ gewählt, der einem Wendepunkt mit negativer Steigung entspricht.

1.3 Analysis

1. Schritt: Schnittpunkte der Funktion $f$ mit der Gerade $y$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& m\cdot x \\[5pt] x^2&=& m\cdot x \end{array}$

Die Gleichung hat die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=x.$

2. Schritt: $m$ bestimmen

Gesucht ist nun ein $m\lt 0,$ sodass $\displaystyle\int_{m}^{0}(m\cdot x-f(x))\;\mathrm dx=36$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} && \displaystyle\int_{m}^{0}(m\cdot x-f(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{m}^{0}(m\cdot x-x^2)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[\dfrac{1}{2}mx^2-\dfrac{1}{3}x^3\right]_m^0\\[5pt] &=& 0-\left(\dfrac{1}{2}m^3-\dfrac{1}{3}m^3\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{6}m^3 \end{array}$

Nun lässt sich $m$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{1}{6}m^3&=& 36 \quad \scriptsize \mid\; \cdot (-6)\\[5pt] m^3&=& -216 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\quad}\\[5pt] m&=& -6 \end{array}$

1.4 Analytische Geometrie

Punktprobe:

$3\cdot 1-2\cdot 1,5=3-3=0$

Also liegt der Punkt in der Ebene $E.$

Die Ebene $E$ enthält die $z$ -Achse, da keine $z$ -Koordinate in der Koordinatenform vorkommt.

Normalenvektoren der Ebenen sind $n_E=\pmatrix{3\\2\\0}$ und $n_F=\pmatrix{2\\s\\1}.$ Die beiden Ebenen sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ergibt.

$\pmatrix{3\\2\\0}\circ \pmatrix{2\\s\\1}=6+2s$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 6+2s&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] 2s&=& -6 \quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] s&=& -3 \end{array}$

1.5 Analytische Geometrie

$\mid \overrightarrow{AC} \mid=\left|\pmatrix{4\\3\\z}\right|=\sqrt{4^2+3^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

$\mid \overrightarrow{BC} \mid$ $=\left|\pmatrix{4-8\\3-6\\z-0}\right|=\left|\pmatrix{-4\\-3\\z}\right|$ $=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2+z^2}=\sqrt{25+z^2}$

Damit sind die beiden Seiten gleich lang und das Dreieck somit gleichschenklig.

Der Mittelpunkt von $\overline{AB}$ hat die Koordinaten $M\left(\dfrac{0+8}{2}\left | \dfrac{0+6}{2}\right|\dfrac{0+0}{2}\right)=M(4\mid 3 \mid 0).$

$\mid \overrightarrow{AB} \mid=\left| \pmatrix{8\\6\\0} \right|=\sqrt{8^2+16^2}=\sqrt{100}=10$

$\mid \overrightarrow{MC} \mid=\left| \pmatrix{4-4\\3-3\\z-0} \right|=\left| \pmatrix{0\\0\\z} \right|=\sqrt{z^2}=z$

Der Flächeninhalt des Dreicks ist somit gegeben durch $A_D=\dfrac{1}{2}\cdot 10\cdot z=5z$

Es muss also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 5z&=& 35 &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] z&=& 7 \end{array}$

1.4 Stochastik

$P(\text{„mindestens eine Kugel grün“})$ $=1-P(\text{„keine Kugel rot“})$ $=1-\dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}$ $=\dfrac{4}{5}$

Angenommen, die entfernte Kugel wäre rot. Dann gilt:

$P(\text{„rg“ oder „gr“})$ $=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{20}=60\,\%$

Es wurde also eine rote Kugel entfernt.

1.5 Stochastik

$\dfrac{0,2}{0,6}=\dfrac{1}{3}$

Der Anteil der Kunden, der gerne in beide Regionen reist, ist jeweils im Anteil der Kunden enthalten, der nur in eine der beiden Regionen gerne reist. Daher lässt sich der gesuchte Anteil wie folgt berechnen:

$0,6+0,3-2\cdot 0,2=0,5=50\,\%$

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