Analysis 2.2 - Haltestelle
Gegeben ist die Funktion 
durch 
mit 
.
Der Graph von wird mit 
bezeichnet.
und 
auf dem Graphen von , an denen die Steigung 
besitzt.
vierten Grades beschreibt für 
die Randkurve des Daches einer anderen Haltestelle B. Dieser Graph ist achsensymmetrisch zur 
-Achse. In den Punkten 
und 
verläuft die Randkurve des Daches horizontal.
Der Graph von
a)
Gib das Verhalten der Funktionswerte von für 
und 
an.
(2 BE)
b)
Ermittle die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte von .
Zur Kontrolle: 
(4 BE)
c)
Spiegelt man die lokalen Extrempunkte 
und 
an der 
-Achse, so entstehen die Punkte 
und 
.
Gib die Koordinaten der Punkte und an.
Begründe, dass das Viereck
ein Trapez, aber kein Rechteck ist.
Gib die Koordinaten der Punkte
Begründe, dass das Viereck
(4 BE)
d)
Berechne den Umfang und Flächeninhalt des Vierecks .
Es gibt genau zwei Punkte
(3 BE)
e)
Berechne die -Koordinaten der Punkte und .
(2 BE)
f)
Entscheide für jede der Aussagen 
und 
, ob sie wahr ist. Begründe deine Entscheidung rechnerisch.
Die Gerade 
mit 
ist eine Tangente an .
Der Schnittwinkel zwischen einer Geraden mit der Steigung und der -Achse beträgt 
.
(4 BE)
g)
Begründe ohne Rechnung, dass alle Graphen der Stammfunktionen von genau einen lokalen Extrempunkt besitzen. Gib die Art des Extrempunktes an und begründe diese Angabe.
(4 BE)
h)
Ermittle eine Gleichung der Stammfunktion von , deren lokaler Extrempunkt auf der -Achse liegt.
(3 BE)
In der Abbildung ist eine Haltestelle A der Berliner Seilbahn in den „Gärten der Welt“ dargestellt. Die Randkurve des Daches lässt sich modellhaft durch den Graphen der Funktion für beschreiben. Die Dicke des Daches kann vernachlässigt werden. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die -Achse die Horizontale.
Es gilt:
.
Es gilt:
i)
Senkrechte Pfeiler stützen das Dach. In den Punkten 
und 
sind zwei dieser Pfeiler verankert. Der Durchmesser der Pfeiler wird vernachlässigt.
Berechne den Längenunterschied der beiden Pfeiler.
Berechne den Längenunterschied der beiden Pfeiler.
(2 BE)
j)
Die Steigung des Daches soll mindestens 
betragen.
Überprüfe, ob die durchschnittliche Steigung und die maximale Steigung mindestens betragen.
Überprüfe, ob die durchschnittliche Steigung und die maximale Steigung mindestens
(5 BE)
k)
Es wird geplant, eine Windschutzscheibe aus Sicherheitsglas herzustellen. Diese wird vollständig begrenzt von der Randkurve des Daches, dem Erdboden und den Pfeilern aus Teilaufgabe i. Die Masse der Windschutzscheibe darf 
nicht überschreiten. Ein Kubikmeter Sicherheitsglas hat eine Masse von 
.
Berechne die maximale Dicke des Sicherheitsglases.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion Berechne die maximale Dicke des Sicherheitsglases.
(5 BE)
l)
Ermittle eine Gleichung der Funktion .
Zur Kontrolle: 
(4 BE)
m)
Zum Vergleich beider Dächer werden die Graphen von und in einem gemeinsamen Koordinatensystem untersucht. Für 
gilt 
.
Beschreibe einen Lösungsweg zur Berechnung der Stelle, an der der vertikale Abstand der beiden Dächer maximal ist.
Beschreibe einen Lösungsweg zur Berechnung der Stelle, an der der vertikale Abstand der beiden Dächer maximal ist.
(3 BE)
(45 BE)
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a)
b)
1. Schritt: Ableitungen bilden
2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/5e2d714d5347e100a73788412a7873e6c8bb644bd12ca78702370a4182937bf9?color=5a5a5a)
Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt: 
und 
3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen
Daraus ergeben sich die folgenden Koordinaten 
und 
c)
d)
e)
Es ist 
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt 
und 
f)
Die Aussage 
ist richtig, da die Gleichungen 
und 
für 
erfüllt sind.
Die Aussage 
ist richtig. Aus 
folgt für den Schnittwinkel mit der -Achse 
Daraus ergibt sich der Schnittwinkel mit der -Achse 
g)
h)
i)
j)
Der Anstieg der Gerade durch die Punkte und hat die Steigung 
Die durchschnittliche Steigung beträgt 
und die maximale Steigung 
Nur die maximale Steigung erfüllt die Bedingung.
k)
Zunächst wird der Flächeninhalt der Fläche, die die Randkurve des Daches mit dem Erdboden und den Pfeilern einschließt, berechnet.
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\displaystyle\int_{2,5}^{7,5}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \left[-\dfrac{1}{600} x^{4}+\dfrac{3}{100} x^{3}+\dfrac{5}{2} x\right]_{2,5}^{7,5} \\[5pt]
&=& \dfrac{3345}{128}-\dfrac{2555}{384} \\[5pt]
&=&\dfrac{935}{48} \approx 19,48 \;\text{m}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/47ad4bb2dd72800d3cf25efca3a79a4047fe4a3123805cb1fe0cfd1d5620f4a6?color=5a5a5a)
Es gilt 
und daraus folgt:
Die maximale Dicke des Sicherheitsglases beträgt ca. 
l)
Aufgrund der Symmetrie gilt: 
Die erste Ableitung folgt mit 
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(0)&=& 2,5 \\[5pt]
a \cdot 0^4+b\cdot 0^2+c&=& 2,5 \\[5pt]
c&=& 2,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ca1655eecb5343cd7297f2dfd53994f7fa04cc034befa977b9d3eb5429f4556a?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
h(9)&=& 4,93 \\[5pt]
a \cdot 9^4+b\cdot 9^2+2,5&=& 4,93\\[5pt]
6561 a +81 b + 2,5&=& 4,93
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/fccb82c3b9db4d6fa38011a2c7ca51d0b988e4427f6bf9b024d75dea6175764f?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
h](https://mathjax.schullv.de/549958bd7777e907fad6bfaff006568448b7ec5a701ed57afce329a757c21825?color=5a5a5a)
kann nun eingesetzt werden und somit 
wie folgt berechnet werden:
Für ergibt sich 
und somit folgt die Gleichung der Funktion mit:
m)
Die Differenzfunktion 
wird gebildet und auf Extremstellen untersucht. Für die gesuchte Stelle gelten 
und 
mit 