Analysis 2.1 - Beistelltisch
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
Der Graph dieser Funktion ist
bezeichnet.
Der Graph dieser Funktion ist
a)
Gib das Verhalten der Funktionswerte von für 
und 
an.
Begründe, dass der Graph nicht symmetrisch zur 
-Achse verläuft.
Begründe, dass der Graph
(3 BE)
b)
Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den beiden Koordinatenachsen. Ein Punkt 
und die drei Schnittpunkte sind die Eckpunkte einer Raute. Gib die Koordinaten des Punktes an.
(4 BE)
c)
Zeige, dass der Graph an der Stelle 
eine waagerechte Tangente besitzt. Berechne den Funktionswert an dieser Stelle.
(2 BE)
d)
Der Graph hat genau zwei lokale Extrempunkte, von denen einer im II. und einer im IV. Quadranten liegt. Der Punkt 
ist der Tiefpunkt von 
Entscheide ohne weitere Rechnung, ob die folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
ist kleiner als die -Koordinate des Tiefpunktes.
ist größer als null.
(3 BE)
e)
Gib das Monotonieverhalten von für 
an.
(2 BE)
f)
Der Graph besitzt zwei Wendepunkte. Berechne die Koordinaten beider Wendepunkte auf zwei Nachkommastellen gerundet.
(3 BE)
g)
Die Abbildung 1 zeigt einen Teil des Graphen Die Tangente an im Wendepunkt 
begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Die zu dieser Tangente senkrechte Gerade durch den Punkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein weiteres Dreieck.
Zeichne in die Abbildung 1 beide Dreiecke ein.
Begründe mithilfe der Zeichnung, dass das eine Dreieck eine maßstäbliche Vergrößerung des anderen Dreiecks ist.
Abb. 1
(5 BE)
h)
Es gibt 
für die gilt: 
. Erläutere die geometrische Bedeutung dieser Gleichung.
(2 BE)
Ein Möbeldesigner hat sich auf die Herstellung kleiner Beistelltische spezialisiert.
Die Abbildung 2 zeigt modellhaft die Draufsicht einer symmetrischen Tischplatte.
Zur Modellierung einer der vier Randlinien der Tischplatte wurde der im III. Quadranten verlaufende Teil des Graphen der Funktion verwendet.
Es gilt
Die Abbildung 2 zeigt modellhaft die Draufsicht einer symmetrischen Tischplatte.
Zur Modellierung einer der vier Randlinien der Tischplatte wurde der im III. Quadranten verlaufende Teil des Graphen der Funktion
Es gilt
Abb. 2
i)
Im I. und IV. Quadranten werden die Randlinien der Tischplatte durch Teile der Graphen der Funktion 
und 
beschrieben.
Gib die Funktionsgleichungen dieser Funktionen an.
Gib die Funktionsgleichungen dieser Funktionen an.
(2 BE)
j)
Berechne die Größe des Winkels, den die zwei Randlinien der Tischplatte im Punkt 
einschließen.
(3 BE)
k)
Der Beistelltisch hat eine Höhe von 
Metern und soll in einem quaderförmigen Karton mit quadratischer Grundfläche ausgeliefert werden.
Bestimme das Mindestvolumen des Kartons in Litern.
Bestimme das Mindestvolumen des Kartons in Litern.
(4 BE)
l)
Berechne den Flächeninhalt der Tischplatte und gib diesen in Quadratzentimetern an.
(3 BE)
m)
Ermittle die kleinstmögliche Entfernung in cm des Mittelpunktes der Tischplatte zu einer Randlinie.
Für einen neuen Beistelltisch wird die bisherige Form der Tischplatte als Grundlage genutzt. Für die neue Tischplatte wird jede der vier Randlinien der ursprünglichen Tischplatte an der jeweiligen Geraden gespiegelt, die durch die Achsenschnittpunkte im entsprechenden Quadranten verläuft.
(5 BE)
n)
Skizziere in die Abbildung 2 die Randlinien der neuen Tischplatte.
Der Flächeninhalt der neuen Tischplatte ist größer als der Flächeninhalt der ursprünglichen Tischplatte.
Beschreibe einen Lösungsweg, um diesen Größenunterschied zu ermitteln.
Der Flächeninhalt der neuen Tischplatte ist größer als der Flächeninhalt der ursprünglichen Tischplatte.
Beschreibe einen Lösungsweg, um diesen Größenunterschied zu ermitteln.
(4 BE)
(45 BE)
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a)
Verhalten der Funktionswerte
da der quadratische Term langsamer gegen Unendlich strebt als die Exponentialfunktion gegen Null.
Begründung
Symmetrie zur -Achse liegt vor, wenn 
gilt.
Da 
gilt, ist nicht symmetrisch zur -Achse.
b)
Koordinaten der Schnittpunkte von G mit Koordinatenachsen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=&0\\[5pt]
0,5\cdot (x^2-4)\cdot \mathrm e^x&=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/43fcf9448d435991d57fc1ae539e771b41e119aeb6e7f44f4530625b2744e08c?color=5a5a5a)
Lösen der Gleichung mittels CAS liefert 
und 
was die Schnittstellen mit der 
-Achse darstellt.
Die Koordinaten der Schnittpunkte von mit der -Achse sind 
und 
Die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse ergeben sich zu 
Koordinaten von angeben
Aus den Koordinaten der anderen drei Punkte kann abgelesen werden, dass der vierte Eckpunt der Raute die Koordinaten 
haben muss.
c)
Nachweis der waagrechten Tangente
Eine waagrechte Tangente am Graphen liegt vor, wenn 
ist.
Ableitung mittels CAS bestimmen:
in 
einsetzen:
Funktionswert berechnen
in 
einsetzen:
d)
Laut Aufgabenstellung hat der Graph für nur den Extrempunkt 
Der gegebene -Wert 
ist größer als 
Es folgt:
Die Aussage ist falsch, da rechts vom Tiefpunkt alle -Koordinaten der Punkte des Graphen größer als die des Tiefpunktes sind.
Die Aussage ist wahr, weil der Graph rechts vom Tiefpunkt steigend verläuft.
e)
Mit Hilfe von Aufgabenteil c) folgt:
ist monoton fallend für 
und monoton wachsend für 
f)
1. Schritt: Zweite Ableitung berechnen
Ableiten mittels CAS liefert:
2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/9dbc711fda231323f8508b45476ae51e3fbed370995ec156affbedbc946b6f9d?color=5a5a5a)
Mit Hilfe des solve-Befehls des CAS folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&\approx&0,45 \\[5pt]
x_2&\approx&-4,45
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7741d6c89c4f65c90bba942500e229d9f6526adbfe1543678ac2b8d5f7faedd3?color=5a5a5a)
Da laut Aufgabenstellung zwei Wendestellen existieren, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.
Einsetzen von 
und 
in 
Die Koordinaten der beiden Wendepunkte sind somit ungefähr 
und 
g)
h)
Die Graphen der Funktionen und 
verlaufen senkrecht in den Punkten, für die diese Gleichung gilt.
i)
j)
k)
Durch die auf den Koordinatenachsen liegenden Eckpunkten folgt für die Seitenlänge der quadratischen Grundläche:
![\( = \sqrt{8}\;[\text{LE}]\)](https://mathjax.schullv.de/ec4ebbae95cbe0202d3d6188354f00681386892670d1bc40b2a7c34273b9f643?color=5a5a5a)
Da eine Längeneinheit 15 Zentimetern entspricht, folgt für das Volumen des Quaders:
![\( = 90000\;[\text{cm}^3]\)](https://mathjax.schullv.de/14f6181870b500538b0417b079c84deed824d1f7946d0fd69b2bcad2b4f34a78?color=5a5a5a)
Da ![\(1000\;[\text{cm}^3]=1\;\ell\)](https://mathjax.schullv.de/784bdf7c6ac203191a23ec50c09f0778962337abc40f98abbc89bb6405ab3cec?color=5a5a5a)
gilt, folgt, dass der Quader ein Mindestvolumen von 
haben muss.
l)
m)
Für einen allgemeinen Punkt 
im III. Quadranten, der auf liegt, gilt:
Der Abstand von zum Koordinatenursprung ist gegeben durch 
Notwendige Bedingung fpr Extremstellen anwenden
Mit dem CAS wird 
aufgelöst:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&\approx&-0,81 \\[5pt]
x_2&\approx&1,27 \\[5pt]
x_3&\approx&1,99
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/426be40a9777d44d9e4cf6361e505e84b9247fdf1fbae95e6619d8ca7ce2138b?color=5a5a5a)
Da die zu und 
gehörenden Punkte nicht im III. Quadranten liegen, kommt nur in Frage.
Hinreichende Bedingung
Einsetzen von in die mit Hilfe des CAS bestimmte zweite Ableitung von 
liefert:
Der Abstand ist somit am Punkt am geringsten.
Abstand bestimmen
Mit Hilfe des CAS folgt:
![\(d(x_1) \approx 1,1\;[\text{LE}]\)](https://mathjax.schullv.de/2ae21af8a075a3c4817f43804a1691ea0faae42a3e896ff27049843b0e4ec4b4?color=5a5a5a)
Da ![\(1,1\;[\text{LE}] = 16,5\;\text{cm}\)](https://mathjax.schullv.de/abaa09cfe1f5f68eb89c1949387e5c00319aaae59b32d3e318b63b1426b0dc79?color=5a5a5a)
gilt, beträgt die kleinstmögliche Entfernung des Mittelpunktes der Tischplatte zu einer Randlinie des Tisches somit ca. 
n)
Vom Flächeninhalt der quadratischen Grundfläche aus Aufgabenteil k) kann der Flächeninhalt der ursprünglichen Tischplatte aus Aufgabenteil l) subtrahiert werden. Verdoppeln dieses berechneten Flächeninhaltes liefert den gesuchten Größenunterschied.
