Hilfsmittelfreier Teil

1.1 Analysis

Betrachtet wird eine Funktion $f$ , deren Graph symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist. Die Tangente $t_1$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(1 \mid f(1))$ hat die Gleichung $y=\frac{4}{3} x+4.$

Gib eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1 \mid f(-1))$ an und begründe deine Angabe.

(2 BE)

Die Tangenten $t_1$ und $t_2$ schließen mit der $x$ -Achse ein Dreieck ein. Bestimme den Umfang des Dreiecks.

(3 BE)

1.2 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ für die gilt: $f(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \infty$ und $f(x) \rightarrow 1$ für $x \rightarrow-\infty$ .

Gib näherungsweise den Wert $\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx$ an.

(1 BE)

Für eine Stammfunktion $F$ von $f$ gilt: $F(0)=0.$

Skizziere den Verlauf des Graphen dieser Stammfunktion in der Abbildung.

(4 BE)

1.3 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3 x^2.$

Die Funktion $f$ hat genau zwei Extremstellen. Berechne diese.

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=9x+5.$ Begründe, dass die Graphen von $f$ und $g$ sich in dem Punkt $P(-1 \mid-4)$ berühren.

(3 BE)

1.4 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\3\\-7}+s \cdot\pmatrix{1\\0\\5}$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid 0)$ und $B(5 \mid 1 \mid b)$ mit einer reellen Zahl $b.$

Begründe, dass $A$ nicht auf $g$ liegt.

(1 BE)

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermittle den Wert von $b.$

(4 BE)

1.5 Analytische Geometrie

Gegeben sind die drei Eckpunkte eines Dreiecks $ABC$ mit $A(1\mid 0\mid 2), B(3\mid 2\mid 10)$ und $C(4\mid 3\mid 5).$

Weise nach, dass der Abstand von $C$ zu $A$ genauso groß ist wie der Abstand von $C$ zu $B.$

(2 BE)

Ermittle die Koordinaten eines Punktes $D$ mit $D \neq C$ für den gilt:

$\text{I}$

$\left\vert\overline{DA}\right\vert = \left\vert\overline{DB}\right\vert$

$\text{II}$

$\left\vert\overline{DA}\right\vert = \left\vert\overline{CA}\right\vert$

(3 BE)

1.4 Stochastik

In einer Urne liegen 5 Kugeln, davon 3 rote und 2 weiße. Die Kugeln unterscheiden sich nur durch ihre Farbe.

Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei gleichfarbige Kugeln gezogen werden.

(2 BE)

Bei einem anderen Zufallsexperiment werden aus der Urne nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den gezogenen Kugeln mehr rote Kugeln als weiße Kugeln sind.

(3 BE)

1.5 Stochastik

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der binomialverteilten Zufallsgröße $X.$

Bestimme näherungsweise $P(3\lt X\lt6).$

(2 BE)

Eine andere Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt mit $n=12$ und $p=0,25.$ Eine der folgenden Abbildungen zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße $Y.$
Entscheide begründet, welche Abbildung die Verteilung von $Y$ zeigt.

(3 BE)

(25 BE)

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1.1 Analysis

Da der Graph von $f$ symmetrisch zur $y$ -Achse ist, entsteht die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1\mid f(-1))$ durch Spiegelung der Tangente $t_1$ an den Graphen von $f$ im Punkt $(1\mid f(1))$ an der $y$ -Achse.

$t_2(x) = t_1 (-x)$ $= \dfrac{4}{3}\cdot (-x) +4 = -\frac{4}{3}x+4$

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1\mid f(-1))$ lautet demnach:

$t_2: y= -\dfrac{4}{3}x+4$

Alternativer Lösungsweg

$\(m_{t_2}=f$

Da die Anstiege betragsmäßig gleich sind und die Berührstellen symmetrisch zum Koordinatenursprung liegen, schneiden sich beide Tangenten in ihrem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse $(0 \mid 4).$ Für die gesuchte Tangentengleichung erhält man somit:

$t_2: y=-\frac{4}{3} \cdot x+4$

1. Schritt: Schnittstelle von $\boldsymbol{t_1}$ mit der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{3} \cdot x+4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] \dfrac{4}{3} \cdot x &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{3}{4}\\[5pt] x &=& -3 \end{array}$

2. Schritt: Eckpunkte des Dreiecks bestimmen

Aufgrund der Symmetrie schneidet die Tangente $t_2$ die $x$ -Achse an der Stelle $x=3.$
Beide Tangenten schneiden die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 4).$
Die Eckpunkte des Dreiecks sind also $S_1(-3\mid 0),$ $S_2(3\mid 0)$ und $S_y(0\mid 4).$

3. Schritt: Umfang des Dreiecks berechnen

$\overline{S_1S_2} = 6\,\text{[LE]}$

$\overline{S_1S_y} = \overline{S_2S_y}$ $= \sqrt{(4-0)^2 + (0-(-3))^2 }$ $= \sqrt{25}=5\,\text{[LE]}$

$U= 6 \,\text{LE} + 2\cdot 5\,\text{LE} = 16\,\text{LE}$

1.2 Analysis

In der Abbildung ist erkennbar, dass der Graph von $f$ und die $x$ -Achse im Intervall $[0;2]$ ungefähr 3 Kästchen einschließen. Daraus folgt:

$\displaystyle\int_{0}^{2}f(x)\;\mathrm dx \approx 3$

1.3 Analysis

1. Schritt: Ableitung bilden

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-0} \\[5pt] x_{1;2}&=&1\pm\sqrt{1} \\[5pt] x_1&=&2 \\[5pt] x_2&=&0 \end{array}$

Laut Aufgabenstellungen existieren genau zwei Extremstellen von $f,$ somit muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.

Die Graphen von $g$ und von $f$ berühren sich im Punkt $P,$ wenn sie an der Stelle $x=-1$ denselben Funktionswert und die gleiche Steigung annehmen.

$f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2$ $= -4$

$g(-1)=9\cdot (-1)+5$ $= -4$

$\(f$ $= 3\cdot(-1)^2-6\cdot(-1)$ $= 9$

Es ist $\(g$ und somit $\(g$

Damit ist der Punkt $P$ ein Berührpunkt von $f$ und $g.$

1.4 Analytische Geometrie

Die $x_2$ -Koordinate von $A$ ist Null, während die $x_2$ -Koordinaten aller Punkte die auf $g$ liegen den Wert $3$ haben.

Eine Geradengleichung von $h$ ergibt sich zu $h: \overrightarrow{x} = \pmatrix{4\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{1\\1\\b}.$

$g$ und $h$ gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\3\\-7}+s\cdot \pmatrix{1\\0\\5}&=& \pmatrix{4\\0\\0}+r\cdot \pmatrix{1\\1\\b} \end{array}$

Daraus ergibt sich folgendes LGS:

$\begin{vmatrix} 2+s&=& 4+r\\[5pt] 3&=&r \\[5pt] -7+5s&=& r\cdot b \end{vmatrix}$

Aus der ersten Zeile folgt $r=3.$ Einsetzen in die erste Zeile:

$\begin{array}[t]{rll} 2+s&=& 4+3&\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] s&=&5 \end{array}$

$s$ und $r$ in die letzte Zeile des LGS einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} -7+5s&=& r\cdot b \\[5pt] -7+5\cdot 5&=& 3\cdot b&\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] 6&=& b\\[5pt] b&=& 6 \end{array}$

1.5 Analytische Geometrie

$\vert\overline{AC}\vert$ $=\left\vert\pmatrix{3\\3\\3}\right\vert$ $= \sqrt{3^2+3^2+3^2}$ $= \sqrt{27}$

$\vert\overline{BC}\vert$ $=\left\vert\pmatrix{1\\1\\-5}\right\vert$ $= \sqrt{1^2+1^2+(-5)^2}$ $= \sqrt{27}$

Eine Möglichkeit einen solchen Punkt $D$ zu ermitteln, besteht darin, den Punkt $C$ am Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ zu spiegeln.

$\overrightarrow{OM_{AB}}$ $= \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{BA}$ $= \pmatrix{1\\0\\2} + \frac{1}{2}\cdot\pmatrix{2\\2\\8}$ $= \pmatrix{2\\1\\6}$

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + 2\cdot\overrightarrow{CM_{AB}}$ $= \pmatrix{4\\3\\5}$ $+2\cdot\pmatrix{-2\\-2\\1}$ $= \pmatrix{0\\-1\\7}$

Der Punkt $D$ hat somit die Koordinaten $D(0\mid -1\mid 7).$

1.4 Stochastik

$\dfrac{3}{5}$ $\cdot \dfrac{3}{5}$ $+\dfrac{2}{5}$ $\cdot \dfrac{2}{5}$ $=\dfrac{13}{25}$

Addition der Wahrscheinlichkeiten für drei rote Kugeln und zwei rote Kugeln liefert:

$\dfrac{3}{5}$ $\cdot \dfrac{2}{4}$ $\cdot \dfrac{1}{3}$ $+3 \cdot \dfrac{3}{5}$ $\cdot \dfrac{2}{4}$ $\cdot \dfrac{2}{3}$ $=\dfrac{7}{10}$

1.5 Stochastik

$P(3\lt X \lt6)$ $=P(X=4)+P(X=5)$ $\approx 0,2$ $+0,1$ $=0,3$

Die gesuchte Darstellung zeigt die höchste Wahrscheinlichkeit beim Erwartungswert.

Der Erwartungswert ist hierbei $\mu$ $= n\cdot p$ $= 12\cdot 0,25$ $= 3.$

Die Abbildung 1 besitzt die größte Wahrscheinlichkeit für $k=5,$ kann es also nicht sein.

Abbildung 2 und Abbildung 3 erfüllen die Vorgabe, allerdings gilt bei Abbildung 3 in etwa:

$P(Y=1)+P(Y=3)+P(Y=4)$ $\approx 0,2+0,5+0,4$ $=1,1\gt 1.$

Somit zeigt Abbildung 2 die Verteilung von $Y.$

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