Analysis 2.2 - Bewässerungskanal
1
Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der in 
definierten Funktionen 
mit 
und 
mit 
Die beiden Graphen haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der 
-Achse.
Abb. 1
a)
Berechne die Nullstellen und die Extremstelle von 
(3 BE)
b)
Beschreibe, wie man den Abstand zwischen dem Graphen von und der Gerade mit der Gleichung 
berechnen könnte.
(2 BE)
c)
Berechne die Größe des Winkels, in dem der Graph von die Gerade mit der Gleichung 
schneidet.
(4 BE)
d)
Zeige, dass die Graphen von und in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
(4 BE)
e)
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von und und die Gerade mit der Gleichung 
begrenzen.
(4 BE)
2
Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen. Die in definierte Funktion 
beschreibt für 
die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist 
die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und 
die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen von 
Abb. 2
a)
Ermittle mithilfe der Abbildung 2 das Volumen des Wassers, das vom Zeitpunkt vier Sekunden nach Beobachtungsbeginn bis zum Zeitpunkt sechs Sekunden nach Beobachtungsbeginn an der Messstelle vorbeifließt.
(3 BE)
b)
Bestimme für die ersten elf Sekunden nach Beobachtungsbeginn mithilfe der Abbildung 2 die momentane Durchflussrate für denjenigen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt.
(3 BE)
c)
Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Beschreibe unter Verwendung geeigneter Flächen die graphische Bedeutung der folgenden Aussage:
Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa 
(3 BE)
d)
Die Tangente an den Graphen von im Punkt 
wird durch die Gleichung 
dargestellt. Interpretiere die folgende Aussage im Sachzusammenhang:
Für alle Werte von mit 
gilt 
(3 BE)
3
Es ist eine in definierte Funktion 
mit 
gegeben.
a)
Ermittle die Lage und die Art der Extrempunkte des Graphen von 
Ohne Nachweis darfst du 
verwenden.
(zur Kontrolle: 
)
(5 BE)
b)
Die beiden Extrempunkte sind Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen eine Kathete auf der -Achse liegt. Bestimme die Größe aller Innenwinkel des Dreiecks.
(2 BE)
c)
Es gibt genau eine Tangente an den Graphen von 
die durch den Ursprung verläuft. Erläutere anhand von Gleichungen einen Weg zur Bestimmung dieser Tangente.
Hinweis: Die Funktionsgleichung der Tangente muss nicht bestimmt werden.
Hinweis: Die Funktionsgleichung der Tangente muss nicht bestimmt werden.
(5 BE)
d)
Der Graph von wird entlang der -Achse um 
Einheiten so verschoben, dass der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten des verschobenen Graphen auf der -Achse liegt.
Bestimme den Wert des Parameters
Bestimme den Wert des Parameters
(4 BE)
(45 BE)
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1
a)
Nullstellen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
r(x)&=&0 \\[5pt]
-(x^2-x-1)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-1) \\[5pt]
x^2-x-1&=&0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b642b8eb8293614affd5a1b800dec2b8626249c614a1ea2b4a8c427a5f7789a6?color=5a5a5a)
Mit der 
-Formel folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_{1;2}&=&-\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+1} \\[5pt]
x_{1;2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}} \\[5pt]
x_1&\approx&1,62 \\[5pt]
x_2&\approx&-0,62
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/5cf604cf21335fbce9157f7bca177c7162c8b9aa3ce9111910ebc036fc349494?color=5a5a5a)
Extremstelle berechnen
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
Da es sich beim Graphen von um eine Parabel handelt, muss es eine Extremstelle geben. Auf die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums kann somit verzichtet werden. Die Extremstelle von ist damit 
b)
Zunächst wird die -Koordinate des Hochpunkts des Graphen von bestimmt. Wenn diese von 4 subtrahiert wird, ergibt sich der beschriebenen Abstand.
c)
1. Schritt: Schnittstelle berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
s(x) &=& 4 \\[5pt]
\mathrm e^x &=& 4 \\[5pt]
x &=& \ln (4)
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/be83831d2445b68aa9396c866d15c06e43e839a39fceda53bb925858f10f9f12?color=5a5a5a)
2. Schritt: Schnittwinkel berechnen
Da die Gerade mit der Gleichung parallel zur -Achse verläuft, entspricht der Schnittwinkel des Graphen von mit der Geraden dem Steigungswinkel des Graphen von in der Schnittstelle.
Mit der Formel für den Steigungswinkel 
folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan (\alpha) &=& s](https://mathjax.schullv.de/509143a6e0dc171f17cd3ede4c9fdb544c7c83b8a93fd96c0599fb57177b9a2f?color=5a5a5a)
Der Winkel, unter dem der Graph von die Gerade mit der Gleichung schneidet, beträgt ca. 
d)
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass sich der gemeinsame Punkt auf der -Achse befindet. Für ihn gilt also 
Damit die beiden Graphen an dieser Stelle eine gemeinsame Tangente haben, muss ebenfalls die Steigung übereinstimmen:
Es gilt also 
und 
An der Stelle 
haben die Graphen von und daher eine gemeinsame Tangente mit der Gleichung:
e)
Der Inhalt des Flächenstücks, das die Graphen von und mit der -Achse und der Gerade mit der Gleichung einschließen, beträgt 
2
a)
Die gesuchte Menge Wasser entspricht dem Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der -Achse und den Geraden mit den Gleichungen 
und 
einschließt.
Anhand der Abbildung lässt sich dieser Flächeninhalt zu ca. 
abschätzen.
Im betrachteten Zeitraum fließen also ca. 
Wasser an der Messstelle vorbei.
b)
Der Wendepunkt im betrachteten Zeitraum, in dem der Graph von fällt, wird aus der Abbildung abgelsen und hat circa die Koordinaten 
Damit beträgt die momentane Durchflussrate zum betrachteten Zeitpunkt etwa 
.
c)
Das Flächenstück, das der Graph von zwischen 
mit der -Achse einschließt, hat etwa den gleichen Inhalt wie das Flächenstück, welches die Gerade mit der Gleichung und die -Achse für einschließen.
d)
Für den angegebenen Zeitraum beschreibt die Tangente die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate mit einer relativen Abweichung von weniger als 
3
a)
1. Schritt: Notwendige Bedingung
2. Schritt: Hinreichende Bedingung
Mit Hilfe der Produktregel folgt für die zweite Ableitung von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
v](https://mathjax.schullv.de/f9f946ccecb1a4046ec548de91e8d77555279f4d5cb21cdc35769e0a2600d17a?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
v](https://mathjax.schullv.de/eef170c336e918c61bf5b58f8512f605493a0a455fb6d46b67f65115a4874af9?color=5a5a5a)
3. Schritt: Funktionswerte bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
v(0)&=&4\cdot(0^2-0-1)\cdot \mathrm e^{-0} \\[5pt]
&=&-4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/cf797752ac04a006f4a4534be577c4d59d201a0fa12ee836831fd2d7a1b6b6a3?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
v(3)&=&4\cdot(3^2-3-1)\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt]
&=&4\cdot5\cdot\mathrm e^{-3} \\[5pt]
&=&20\cdot\mathrm e^{-3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7a4c5b2449671912d6b11654374d95f02cdc0d29dd12a6ecd0d6d3c6393bcb00?color=5a5a5a)
Der Graph der Funktion hat somit einen Tiefpunkt mit den Koordinaten 
und einen Hochpunkt mit den Koordinaten 
b)
Der Innenwinkel am Hochpunkt ergibt sich somit als
c)
Die Tangente soll 
erfüllen, somit folgt 
Dabei gilt:
Im Berührpunkt der Tangente an den Graphen von gilt 
das heißt 
. Lösen dieser Gleichung liefert einen Wert für 
Einsetzen in 
ergibt den Wert der Steigung der gesuchten Tangente und somit die Gleichung der Tangente
Dabei gilt:
Im Berührpunkt der Tangente an den Graphen von
d)