Analysis 2.1 - Schrankknauf
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen 
der in 
definierten Funktion 
mit 
sowie den Graphen 
der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion 
mit 
Abb. 1
a)
Die Funktion hat genau eine Nullstelle. Gib diese an.
Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen mit der 
-Achse.
Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen
(2 BE)
b)
Der Graph hat genau einen Hochpunkt.
Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts von
Bestimme die Koordinaten des Hochpunkts von
(zur Kontrolle: Hochpunkt 
)
(3 BE)
c)
Weise nach, dass für die zweite Ableitungsfunktion von gilt
Der Graph hat genau einen Wendepunkt. Zeige, dass der Punkt 
der Wendepunkt von ist.
(4 BE)
d)
Entscheide für jede der Aussagen I und II, ob sie richtig oder falsch ist.
Begründe deine Entscheidung.
Begründe deine Entscheidung.
I
Die Gerade durch die Punkte 
und 
ist senkrecht zu der Tangente an den Graphen von 
die am stärksten fällt.
II
Jede Parallele zur 
-Achse mit der Gleichung 
mit 
hat mit dem Graphen der ersten Ableitungsfunktion keine gemeinsamen Punkte.
(6 BE)
e)
Zeige, dass die Funktion 
mit 
eine Stammfunktion von ist.
(3 BE)
f)
Beurteile die folgende Aussage mithilfe der Abbildung 1.
Der Graph jeder Stammfunktion von ändert genau einmal das Krümmungsverhalten.
(3 BE)
Die Form eines Schrankknaufs kann beschrieben werden als Körper, der durch Rotation von um die -Achse entsteht. In der Abbildung 2 wird die Querschnittsfläche eines Schrankknaufs dargestellt. Ein Teil der Profillinien des Querschnitts wird für 
modellhaft durch die Graphen der Funktionen und 
beschrieben, wobei der Graph von durch Spiegelung des Graphen von an der -Achse entsteht. Es gilt: 
Abb. 2
g)
Gib eine Funktionsgleichung von an.
Bestimme den Durchmesser des Sockels des Schrankknaufs in
Bestimme den Durchmesser des Sockels des Schrankknaufs in
(3 BE)
h)
Der Schrankknauf soll aus einem Holzquader gefertigt werden. Ein Kubikzentimeter der verwendeten Holzart hat eine Masse von 
Gib die Maße an, die dieser Holzquader mindestens haben muss.
Berechne die Masse des Holzquaders.
Gib die Maße an, die dieser Holzquader mindestens haben muss.
Berechne die Masse des Holzquaders.
(4 BE)
i)
Eine Vorgabe für den Schrankknauf ist die Größe des Winkels 
an der Spitze 
Er sollte mindestens 
betragen.
Prüfe rechnerisch, ob die Vorgabe eingehalten wird.
Prüfe rechnerisch, ob die Vorgabe eingehalten wird.
(3 BE)
j)
Bestimme die Größe der Querschnittsfläche eines Schrankknaufs in 
(4 BE)
(35 BE)
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a)
Nullstelle angeben
Da die 
-Funktion keine Nullstellen besitzt, folgt aus dem Funktionsterm von die Stelle 
als Nullstelle von 
Koordinaten ermitteln
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(0)&=&(0-2)\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot0+3} \\[5pt]
&=&-2\mathrm e^{3}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d874fd0c1f5f95d36ffcb278268d5e16a203ae038334fd1204d6ac8b8d05df77?color=5a5a5a)
Die Koordinaten des gesuchten Schnittpunkts des Graphen mit der -Achse ergeben sich somit als 
b)
1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/742e176b3af932c680cc2d6fea8febea4e6ae9ae56101131145025a8e07f6948?color=5a5a5a)
Da die -Funktion keine Nullstellen besitzt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts weiter:
![\(\begin{array}[t]{rll}
-\dfrac{1}{2} x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-2\\[5pt]
-\dfrac{1}{2}x&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(-2)\\[5pt]
x&=&4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e72849c5c01d458426ed783a802db98104c875ab7706954f2a07f1b05928d8ea?color=5a5a5a)
Da laut Aufgabenstellung genau einen Hochpunkt besitzt, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.
2. Schritt: Koordinaten bestimmen
Die Koordinaten des Hochpunkts von sind somit durch 
gegeben.
c)
Zweite Ableitungsfunktion nachweisen
Mit der Produkt- und Ketternregel folgt:
Notwendige Bedingung für Wendestellen überprüfen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/10be1190170e6e93d512a98bc92120d53c63264c217b8b187620f165a50deed6?color=5a5a5a)
Der Wendepunkt des Graphen ist somit an der Stelle 
Für die -Koordinate folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(6)&=&(6-2) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot 6+3} \\[5pt]
&=&4 \cdot \mathrm e^0 \\[5pt]
&=&4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/04df272a2cb50ad24ad0f653ef5c894e23799f6b3053ba3cdef11ef5ed096005?color=5a5a5a)
Damit ist der Punkt der Wendepunkt von
d)
Aussage I
Die Tangente an den Graphen von die am stärksten fällt, ist die Tangente im Wendepunkt von Für die Steigung dieser gilt:
Für die Steigung 
der Gerade aus der Aussage folgt:
Da 
gilt, stehen die beiden Geraden senkrecht aufeinander und die Aussage ist wahr.
Aussage II
Der Graph von hat, nach Abbildung 1 und da bei 
seine einzige Wendestelle hat, im Punkt mit den Koordinaten 
einen Tiefpunkt. Da 
gilt, berührt die Gerade mit der Gleichung 
den Graphen von und die Aussage ist falsch.
e)
f)
Da der Graph genau einen Extrempunkt besitzt, ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen jeder Stammfunktion von genau einmal. Somit ist die Aussage wahr.
g)
Funktionsgleichung von 
angeben
Durchmesser bestimmen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(11)&=&(11-2) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot11+3} \\[5pt]
&\approx&0,74
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e4537d4061ad08cf7148d68a42b38956dbea30830a83e757e6613f9a74bc8b4a?color=5a5a5a)
Für den Durchmesser 
des Sockels folgt somit ![\(d=2\cdot0,74=1,48\;[\text{LE}].\)](https://mathjax.schullv.de/64f854e59ce87303d295a07e167e0824c1ea320121596e17b4d501deb7f710da?color=5a5a5a)
Da 
gilt, folgt somit, dass der Durchmesser des Sockels ![\(d=1,48\cdot5\approx7\;[\text{mm}]\)](https://mathjax.schullv.de/6281fdf6a2e740daa6844438cca81199426e84b00377cbc5ae206cc220a3c7e4?color=5a5a5a)
beträgt.
h)
Maße des Holzquaders angeben
Nach Aufgabenteil b) ist die -Koordinate des Hochpunkts von gegeben durch 
Die Tiefe und Höhe des Quaders muss somit jweils ![\(2\mathrm e \cdot 2\cdot 0,5=2\mathrm e\;[\text{cm}]\)](https://mathjax.schullv.de/b58dc5c3f5d0d5c69fbea3511f4ad00175e95808b934c4924097edea1ab14b1b?color=5a5a5a)
betragen.
Da der Querschnitt zwischen und 
liegt, folgt für die benötigte Breite des Quaders ![\((11-2)\cdot0,5=4,5\;[\text{cm}].\)](https://mathjax.schullv.de/447f109640426543b6f0f0a91fb188e4b8ae9f7d3863b02773ae4982c034d857?color=5a5a5a)
Masse des Holzquaders berechnen
Für das Volumen 
des Holzquaders folgt:
![\(V=4,5\cdot2\mathrm e\cdot2\mathrm e\approx133\;[\text{cm}^3]\)](https://mathjax.schullv.de/d2d3525016c6db9640ab4a97dbd6f0133732e412bb823b9cd5fcb5c4f948efde?color=5a5a5a)
Damit folgt für die Masse ![\(m=0,86\cdot V\approx114,38\;[\text{g}].\)](https://mathjax.schullv.de/8dd3875620de0ea17b08214ea5b72221ee0a10e233b410e195479ed08e6a5db4?color=5a5a5a)
i)
Der Winkel setzt sich aus den beiden gleich großen Schnittwinkeln von und mit der -Achse zusammen. Somit folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\dfrac{\alpha}{2}&=&\tan^{-1}(f](https://mathjax.schullv.de/7fa09b5f770d670fc90732df6e0396e9f752c4914a51f1d581b79b4c99df1248?color=5a5a5a)
Die Vorgabe wird somit eingehalten.
j)