Analysis 2.2 - Haltestelle

Gegeben ist die Funktion $f$ durch $f(x)=-\dfrac{1}{150}x^3+\dfrac{9}{100}x^2+\dfrac{5}{2}$ mit $x \in \mathbb{R}$ .
Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet.

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ und $x\rightarrow -\infty$ an.

(2 BE)

Zeige, dass gilt $\(f$ .
Ermittle die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte von $G$ .

$\bigg($ Zur Kontrolle: $T(0\mid 2,5), H(9\mid 4,93) \bigg)$

(6 BE)

Spiegelt man die lokalen Extrempunkte $T$ und $H$ an der $x$ -Achse, so entstehen die Punkte $\(T$ und $\(H$ .
Gib die Koordinaten der Punkte $\(T$ und $\(H$ an.
Begründe, dass das Viereck $\(T$ ein Trapez, aber kein Rechteck ist.

(4 BE)

Berechne den Umfang des Vierecks $\(T$ .

(3 BE)

Begründe, dass folgende Aussagen für die Punkte $T$ und $H$ des Graphen $G$ wahr sind.

$\,\text I$

$T$

$H$

$m=0,27$

$\,\text {II}$

$T$

$H$

$f$

(6 BE)

Begründe ohne Rechnung, dass alle Graphen der Stammfunktionen von $f$ genau einen lokalen Extrempunkt besitzen.

(3 BE)

In der Abbildung ist eine Haltestelle A der Berliner Seilbahn in den „Gärten der Welt“ dargestellt. Die Randkurve des Daches lässt sich modellhaft durch den Graphen der Funktion $f$ für $0\leq x\leq 9$ beschreiben. Die Dicke des Daches kann vernachlässigt werden. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x$ -Achse die Horizontale.
Es gilt: $1 \,\text{LE}=1\,\text{m}$ .

Senkrechte Pfeiler stützen das Dach. In den Punkten $R(2,5\mid 0)$ und $Q(7,5\mid 0)$ sind zwei dieser Pfeiler verankert. Der Durchmesser der Pfeiler wird vernachlässigt.
Berechne den Längenunterschied der beiden Pfeiler.

(2 BE)

Es wird geplant, eine Windschutzscheibe aus Sicherheitsglas herzustellen. Diese wird vollständig begrenzt von der Randkurve des Daches, dem Erdboden und den Pfeilern aus Teilaufgabe g. Die Masse der Windschutzscheibe darf $500\,\text{kg}$ nicht überschreiten. Ein Kubikmeter Sicherheitsglas hat eine Masse von $2500\,\text{kg}$ .
Berechne die maximale Dicke des Sicherheitsglases.

(6 BE)

Überprüfe, ob die maximale Steigung des Daches mindestens $30\,\%$ beträgt.

(4 BE)

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $h$ vierten Grades beschreibt für $0\leq x\leq 9$ die Randkurve des Daches einer anderen Haltestelle B. Dieser Graph ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. In den Punkten $T(0\mid 2,5)$ und $H(9\mid 4,93)$ verläuft die Randkurve des Daches horizontal.

Ermittle eine Gleichung der Funktion $h$ .

$\bigg($ Zur Kontrolle: $h(x)=-\dfrac{1}{2700}x^4+\dfrac{3}{50}x^2+\dfrac{5}{2}$ $\bigg)$

(6 BE)

Zum Vergleich beider Dächer werden die Graphen von $f$ und $h$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem untersucht. Für $0\lt x\lt 9$ gilt $f(x)\gt h(x)$ .
Beschreibe einen Lösungsweg zur Berechnung der Stelle, an der der vertikale Abstand der beiden Dächer maximal ist.

(3 BE)

(45 BE)

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$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$

$\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\(f$ $=-\dfrac{1}{50} \cdot\left(x^{2}-9 x\right)$

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Anwendung des Satzes vom Nullprodukt ergibt: $x_1=0$ und $x_{2}=9.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen

$\(f$

Daraus ergeben sich die folgenden Koordinaten $T(0 \mid 2,5)$ und $H(9 \mid 4,93).$

$\(T$

Da die Punkte $T$ und $H$ an der $x$ -Achse gespiegelt wurden, sind $\(\overline{TT$ und $\(\overline{HH$ zueinander parallel. Somit sind zwei gegenüberliegende Seiten des Vierecks $\(T$ parallel. Dieses Viereck ist ein Trapez. Der Abstand des Punktes $T$ zur $x$ -Achse ist ungleich dem Abstand des Punktes $H$ zur $x$ -Achse. Demzufolge ist das Viereck $\(T$ kein Rechteck.

$|\overline{TH}|$ $=\sqrt{9^{2}+(4,93-2,5)^{2}} \approx 9,32 \;\text{LE}$

$U =2 \cdot(|\overline{TH}|+2,5+4,93)$ $\approx 33,50 \;\text{LE}$

$\text{I}: \quad m =\dfrac{f(9)- f (0)}{9-0}=\dfrac{4,93-2,5}{9-0}=0,27$

$\text{II}$ : Da die Gerade durch $T (0 \mid 2,5)$ mit der Steigung $m =0,27$ verläuft, gilt $g(x)=0,27 x+2,5$

Damit $g$ eine Tangente ist, muss es einen Punkt $S$ geben, für den $g\left(x_{S}\right)=f^{\prime}\left(x_{S}\right)$ und $f^{\prime \prime}\left(x_{S}\right)=m=0,27$ erfüllt sind.

Rechenweg anzeigen

$0 = -x^{2}+4,5 x+125$

Die Gleichung besitzt keine Lösung, also ist die Gerade keine Tangente.

$f$ ist eine Funktion dritten Grades und der Graph besitzt einen lokalen Hochpunkt und einen lokalen Tiefpunkt, deren $y$ -Koordinaten positiv sind. Deshalb besitzt $f$ genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel und demzufolge hat $F$ genau eine Extremstelle.

$f(7,5)-f(2,5)$ $\approx 4,75-2,96 \approx 1,79$

Der Längenunterschied beträgt ca. $1,79 \text{m}.$

Zunächst wird der Flächeninhalt der Fläche, die die Randkurve des Daches mit dem Erdboden und den Pfeilern einschließt, berechnet.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{2,5}^{7,5}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\dfrac{1}{600} x^{4}+\dfrac{3}{100} x^{3}+\dfrac{5}{2} x\right]_{2,5}^{7,5} \\[5pt] &=& \dfrac{3345}{128}-\dfrac{2555}{384} \\[5pt] &=&\dfrac{935}{48} \approx 19,48 \;\text{m}^2 \end{array}$

Es gilt $V= \dfrac{m}{\rho}=a \cdot h$ und daraus folgt:

$h= \dfrac{m}{\rho \cdot A }$ $=\dfrac{500 \;\text{kg}}{2500 \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^{2}} \cdot 19,48 \;\text{m}^{2}}$ $\approx 0,0103 \; \text{m}$

Die maximale Dicke des Sicherheitsglases beträgt ca. $1\; \text{cm}$ .

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Es gilt: $\(m=f$

Die maximale Steigung beträgt somit $40,5 \%$ und ist größer als $30 \%.$

Aufgrund der Symmetrie gilt: $h(x)=a x^4+b x^2+c$

Die erste Ableitung folgt mit $\(h$

$\begin{array}[t]{rll} h(0)&=& 2,5 \\[5pt] a \cdot 0^4+b\cdot 0^2+c&=& 2,5 \\[5pt] c&=& 2,5 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} h(9)&=& 4,93 \\[5pt] a \cdot 9^4+b\cdot 9^2+2,5&=& 4,93\\[5pt] 6561 a +81 b + 2,5&=& 4,93 \end{array}$

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

$a$ kann nun eingesetzt werden und somit $b$ wie folgt berechnet werden:

Rechenweg anzeigen

$b = 0,06$

Für $a$ ergibt sich $a= \dfrac{-18 \cdot 0,06}{2916} = -0,00037$ und somit folgt die Gleichung der Funktion $h$ mit:

$h (x)=-\dfrac{1}{2700} x^4+\dfrac{3}{50} x^2+\dfrac{5}{2}$

Man bildet die Differenzfunktion $d(x)=f(x)-h(x)$ und untersucht diese auf Extremstellen. Für die gesuchte Stelle gelten $\(d$ und $\(d$ mit $0 \lt x \lt 9.$

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