Analysis 2.1 - Tauchroboter

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x+2)\cdot \mathrm e^{-x}$ . Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $\(f$ .

Gib die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen an. Begründe, dass der Graph von $f$ einen Hochpunkt hat, und gib die Koordinaten dieses Hochpunkts an.

(5 BE)

Gib den Grenzwert von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ an und beschreibe den Verlauf des Graphen von $f$ für $x\rightarrow +\infty$ .

(2 BE)

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktion $f$ und der zugehörigen Ableitungsfunktion $\(f$ . Entscheide, welcher der Graphen I und II die Ableitungsfunktion $\(f$ darstellt. Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Weise nach, dass der Schnittpunkt der Graphen von $f$ und $\(f$ bei $x=-1,5$ liegt.

(2 BE)

Ermittle den Winkel, unter dem sich die Graphen von $f$ und $\(f$ schneiden.

(4 BE)

Begründe ohne Rechnung, dass gilt $\(\displaystyle\int_{-3}^{-2}f$ .

(3 BE)

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0\mid f(0))$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne den Umfang dieses Dreiecks und gib die Koordinaten des Punkts an, der von allen Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand hat.

(5 BE)

Der Koordinatenursprung und ein auf dem Graphen von $f$ liegender Punkt $P(u\mid v)$ mit $u\gt 0$ sind gegenüberliegende Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Für genau einen Wert $u$ hat das Rechteck eine maximale Fläche. Ermittle für diesen Fall die Koordinaten des Punkts $P$ .

$\bigg($ Zur Kontrolle: $\(A$ $\bigg)$

(5 BE)

Im 4. Quadranten schließen der Graph von $\(f$ , die beiden Koordinatenachsen und die Gerade $x=b$ eine Fläche $A_b$ ein.
Begründe, dass es einen Wert für $b$ gibt, so dass der Flächeninhalt der Fläche $A_b$ genau $1\,\text{FE}$ beträgt.

(4 BE)

Ein Tauchroboter bewegt sich in vertikaler Richtung. Diese Bewegung lässt sich für $0\leq t\leq 30$ modellhaft mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion
$h(t)=\dfrac{9}{40}t^3-\dfrac{27}{2}t^2+\dfrac{405}{2}t$ beschreiben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $h(t)$ der Abstand des Roboters von der Wasseroberfläche in Metern. Die Abbildung stellt die Bewegung des Roboters dar.

Weise nach, dass der Roboter zum Zeitpunkt 10 Minuten nach Beobachtungsbeginn den größten Abstand zur Wasseroberfläche hat und dass dieser Abstand 900 Meter beträgt.

(3 BE)

Berechne, wie viele Meter der Roboter innerhalb der ersten 15 Minuten nach Beobachtungsbeginn zurücklegt.

(3 BE)

Beschreibe die Bedeutung des Wendepunkts des Graphen von $h$ im Hinblick auf die Bewegung des Roboters.

(2 BE)

Betrachtet wird die Phase, in der der Roboter seinen Abstand zur Wasseroberfläche vergrößert. Berechne den Zeitraum innerhalb dieser Phase, in dem die Geschwindigkeit des Roboters mindestens 29,7 Meter pro Minute ist.

(5 BE)

(45 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] (x+2) \cdot \mathrm e^{-x}&=& 0 \end{array}$

Anwenden des Satzes vom Nullprodukt:
Für $x+2=0$ ergibt sich $x=-2.$ Für $\mathrm e^{-x}$ gibt es keine Lösung. Somit ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $x$ -Achse mit $S_x(-2 \mid 0).$

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&(0+2)+\mathrm e^{0} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse ergeben sich mit $S_y(0 \mid -2).$

Koordinaten des Hochpunkts bestimmen

Es gilt: $\(f$

Anwendung der Produkt- und Kettenregel:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Anwenden des Satzes vom Nullprodukt: Für $-x-1=0$ ergibt sich $x=-1.$ Für $\mathrm e^{-x}$ gibt es keine Lösung.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Somit ist gezeigt, dass sich an der Stelle $x=-1$ ein Hochpunkt befindet.

$f(-1)= (-1+2)\cdot \mathrm e^{1}$ $= \mathrm e$

Die Koordinaten des Hochpunktes ergeben sich somit mit $H(-1 \mid \mathrm e).$

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}(x+2)\cdot \mathrm e^{-x}=0,$ da der lineare Term langsamer gegen unendlich strebt, als die Exponentialfunktion gegen null.

Der Graph von $f$ nähert sich asymptotisch der $x$ -Achse.

Graph II stellt den Graphen der Ableitungsfunktion dar.

Begründung: Der Graph II schneidet die $x$ -Achse im Punkt $(x_N \mid 0).$ Der Extrempunkt des Graphen I hat die Koordinaten $(x_E \mid y_E ).$ Es gilt $x_N = x_E,$ somit stellt Graph II die Ableitungsfunktion dar.

$f(-1,5)= (-1,5+2) \cdot \mathrm e^{-(-1,5)}$ $=0,5 \mathrm e^{1,5}$

$\(f$ $= 0,5 \mathrm e^{1,5}$

Es gilt $\(f(1,5)=f$ woraus der Schnittpunkt an $x=1,5$ folgt.

Es gilt: $m= \tan(\alpha).$

$\(f$

$\alpha = \tan^{-1}(0,5\mathrm e^{1,5})$ $\approx 65,95^{\circ}$

$\(f$

$\beta= \tan^{-1}(1,5\mathrm e^{1,5})$ $\approx 81,54^{\circ}$

Der Schnittwinkel, unter dem sich die Graphen von $f$ und $\(f$ schneiden ergibt sich mit:

$180^{\circ} - (65,95^{\circ} + 81,54^{\circ}) = 32,51^{\circ}$

Die Funktion $f$ ist im Intervall $[-3;- 2]$ monoton steigend, d.h. $\(f$

Also ist $\(\displaystyle\int_{-3}^{-2}f$ Der Graph der ersten Ableitungsfunktion $f$ verläuft im Intervall $[-1; 0]$ unterhalb der $x$ -Achse, da die Funktion $\(f$ in diesem Intervall monoton fallend ist.

Es gilt $\(\displaystyle\int_{-1}^{0}f$

Damit gilt $\(\displaystyle\int_{-3}^{-2}f$

Es ist $\(f$ d.h. die Tangente schneidet die $x$ -Achse im Punkt $(2 \mid 0).$ Damit beträgt der gesuchte Umfang $2+2+ \sqrt{2^2+2} =4+ \sqrt{8}.$

Koordinaten des gesuchten Punktes: $(1 \mid 1)$

Für den Flächeninhalt des eingeschlossenen Rechtecks gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A(u) &=& u \cdot f(u) \\[5pt] &=& u \cdot (u+2)\cdot \mathrm e^{-u} \\[5pt] &=& (u^2+2u) \cdot \mathrm e^{-u} \end{array}$

Um den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks zu bestimmen, wird $A(u)$ auf Maximalstellen überprüft. Anwendung der Ketten- und Produktregel ergibt:

$\(A$ $=(2-u^2) \cdot \mathrm e^{-u}$

$\(A$ $=(u^2-2u-2)\cdot \mathrm e^{-u}$

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} A$

Anwenden des Satzes vom Nullprodukt: Für $2-u^2=0$ ergibt sich $u=\sqrt{2},$ da $u \gt 0.$ Für $\mathrm e^{-u}$ gibt es keine Lösung.

Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} A$

Es handelt sich somit um eine Maximalstelle.

$v=f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2}+2) \cdot \mathrm e^{\sqrt{2}}$

Daraus folgen die Koordinaten mit $P\left(\sqrt{2} \mid \dfrac{\sqrt{2}+2}{\mathrm e^{\sqrt{2}}}\right).$

$A_b=-\displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$ $=-(f(b)-f(0))=2-f(b)$

$b$ muss so gewählt werden, dass $f(b)=1.$

Wegen $f(0)=2$ und $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=0$ hat diese Gleichung eine Lösung.

Es muss überprüft werden, ob an der Stelle $t=10$ eine Maximalstelle vorliegt.

$\(h$

$\(h$ $=0$

In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass $h$ für $0\leq t \leq 30$ bei 10 sein Maximum annimmt.

$h(10)= 900$

Der Roboter legt in den ersten 10 Minuten eine Strecke von $900 \; \text{m}$ zurück.

Diese gleiche Strecke müsste der Roboter wieder zurücklegen um zum Zeitpunkt $t=30$ wieder an der Wasseroberfläche zu sein.

Zum Zeitpunkt $t=15$ hat der Roboter einen Abstand von $h(15)\approx 759,38$ Metern zur Wasseroberfläche. das heißt er legt in $[10; 15]$ eine Strecke von $900 \;\text{m} - 759,38 \;\text{m} = 140,62 \;\text{m}$ zurück.

$900+ 140,62 \approx 1041,$ d. h. der Roboter legt etwa 1041 Meter zurück.

Die $t$ -Koordinate des Wendepunkts gibt den Zeitpunkt an, zu dem der Roboter während des Aufsteigens die größte Geschwindigkeit hat.

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Die $pq$ -Formel liefert $t_{1}=20-\sqrt{400-256}=8$ und $t_{2}=32$ .

In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass der gesuchte Zeitraum vom Beobachtungsbeginn bis 8 Minuten nach Beobachtungsbeginn dauert.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?