Analysis 2.2 - Flugzeugflügel

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ mit $f(x)= \left( -\frac{1}{10}x^2 + 2x \right) \cdot e^{-0,1x}$ und $h$ mit $h(x)= - \frac{3}{4}x \cdot e^{-0,1x}.$ Der Graph von $f$ wird mit $G$ bezeichnet und der Graph von $h$ mit $H$ .

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von $G$ mit den Koordinatenachsen.

(3 BE)

Gib das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x \rightarrow + \infty$ und $x \rightarrow -\infty$ an.

(2 BE)

Zeige, dass die Graphen $G$ und $H$ den gemeinsamen Punkt $S_1(0 \mid 0)$ haben.

(1 BE)

Bestimme die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte von $G$ .

(5 BE)

Die Funktion $h$ besitzt folgende Eigenschaften:

$\lim\limits_{x\to + \infty} h(x)=0; \lim\limits_{x\to -\infty} h(x) = + \infty$
$\(h$ .

Begründe mithilfe einer Skizze, dass der Graph $H$ einen Wendepunkt besitzt.
Beschreibe das Krümmungsverhalten des Graphen $H.$

(4 BE)

An den Graphen $H$ wird im Schnittpunkt mit der $x$ -Achse eine Tangente $t$ gelegt. Die Tangente $t$ schließt mit der $x$ -Achse und der senkrechten Gerade $x=b$ mit $b \in \mathbb{R}, b \gt 0$ eine Fläche von $A= \frac{75}{2} \,\text{FE}$ ein.

Bestimme $b$ .

(5 BE)

Die Konstrukteure einer kleinen Firma haben einen neuartigen Flugzeugflügel entworfen. Dabei werden die Graphen der Funktionen $f$ und $h$ zwischen ihren Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$ zur Modellierung des Querschnitts dieses Flugzeugflügels verwendet (vgl. Abbildung 1).

Es gilt: $1 \,\text{LE} = 1 \,\text{dm}$

Diagramm zur Darstellung der Länge von Flugzeugflügeln mit Verbindungslinien zwischen Punkten.

Abb. 1

Die obere Begrenzungslinie wird durch den Graphen von $f$ modelliert, die untere Begrenzungslinie durch den Graphen von $h$ .
Begründe unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse diese Zuordnung.

(2 BE)

Die Länge des Flugzeugflügels ist der horizontale Abstand zwischen $S_1$ und $S_2$ .
Zeige, dass diese Länge $27,5 \,\text{dm}$ beträgt.

(3 BE)

Begründe unter Zuhilfenahme der Abbildung 2 ohne Rechnung, dass die Länge des Flugzeugflügels kürzer als die Verbindungslinie zwischen $S_1$ und $S_2$ ist.

Diagramm mit zwei Punkten S1 und S2 auf einer Linie, die durch eine Verbindungslinie dargestellt werden.

Abb. 2

(2 BE)

An einer Stelle hat der Flugzeugflügel eine maximale vertikale Höhe. Diese Stelle kann mithilfe der Differenzfunktion $d$ mit $d(x) = f(x) - h(x)$ bestimmt werden. Die maximale vertikale Höhe darf $7,15 \,\text{dm}$ nicht überschreiten.
Untersuche, ob die Konstrukteure dies beachtet haben.

(5 BE)

Bestimme die Querschnittsfläche des Flugzeugflügels mithilfe der Differenzfunktion $d$ .

(2 BE)

Die Konstrukteure des Flügels benötigen den Neigungswinkel zwischen der Verbindungslinie $\overline{S_1S_2}$ und der Horizontalen und führen hierzu folgende Berechnung durch:

$(1) \;f(27,5) \approx 1,32$

$(2) \; \,\text{sin} \; \alpha = \dfrac{1,32}{\sqrt{27,5^2-1,32^2}}$ $\Leftrightarrow \alpha \approx 2,75^{\circ}$

Beurteile jeweils die einzelnen Teilschritte und beschreibe gegebenenfalls, wie fehlerhafte Schritte bei diesem Vorgehen berichtigt werden müssen.

(3 BE)

Die Richtung, aus der während einer bestimmten Phase des Fluges die Luft anströmt, kann modellhaft durch eine Gerade zwischen $S_1$ und einem Punkt $R(x_R \mid f(x_R))$ mit $x_R \lt 20$ angenommen werden. Im Punkt $R$ ändert der Graph von $f$ seine Krümmungsart.
Weise nach, dass die Größe des Winkels $\delta = \sphericalangle S_2S_1R$ nicht mehr als $18^{\circ}$ beträgt.

(zur Kontrolle: $R(12,68 \mid 2,61)$ )

(5 BE)

In den Flugzeugflügel soll ein quaderförmiger Tank integriert werden. Die Querschnittsfläche des Tanks kann durch ein achsenparalleles Rechteck, dessen untere Seite auf der $x$ -Achse liegt, modelliert werden. Dieser Tank hat im Querschnitt die Maße $100\,\text{cm}$ x $30\,\text{cm}$ . (siehe Abbildung 3)
Zeige rechnerisch, dass ein solcher Tank nicht in den Flugzeugflügel eingebaut werden kann.

Diagramm mit einem Rechteck und Maßangaben von 100 cm und 30 cm auf einer gekrümmten Linie.

Abb. 3

(3 BE)

(45 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0\\ \left(-\frac{1}{10}x^2+2x\right)\cdot e^{-0,1x}&=&0\\ -\frac{1}{10}x^2+2x&=&0\\ x\cdot\left(-\frac{1}{10}x+2\right)&=&0\\ \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0$ und $x_2=20.$ Damit sind die Schnittpunkte mit der $x$ -Achse $N_1\left(0\mid0\right)$ und $N_2\left(20\mid0\right)$ . Im Punkt $N_1$ schneidet $G$ außerdem die $y$ -Achse.

Das Verhalten der Funktionswerte für $x\to\infty$ und für $x\to-\infty$ kann mit dem CAS am Graphen $G$ abgelesen werden.
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(-\dfrac{1}{10}x^2+2x\right)\cdot{\mathrm{e}^{-0,1x}}=0$
$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-\dfrac{1}{10}x^2+2x\right)\cdot{\mathrm{e}^{-0,1x}}=-\infty$

$f(0)=\left(-\dfrac{1}{10}\cdot0+2\cdot0\right)\cdot1=0$
$h(0)=-\dfrac{3}{4}\cdot0\cdot1=0$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der Hochpunkt liegt bei $H(5,86\mid4,61).$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 2: Minimum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Minimum

Der Tiefpunkt liegt bei $T(34,14\mid-1,59).$

Grafik einer Funktion mit einer abfallenden Kurve im Koordinatensystem. X- und Y-Achse sind beschriftet.

Der Graph ist bis zum Tiefpunkt linksgekrümmt und fällt monoton. An einer einer Stelle nach dem Tiefpunkt muss er seine Krümmuung wechseln, damit er sich der $x$ -Achse asymptotisch annähern kann. Somit ändert der Graph sein Krümmungsverhalten nach dem Tiefpunkt und hat somit einen Wendepunkt.

1. Tangentengleichung aufstellen

Aus c) ist bekannt, dass $H$ die $x$ -Achse im Koordinatenursprung schneidet.

Für die Steigung der Tangente an $H$ in diesem Punkt folgt:

$\(m = h$

Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft folgt:

$t(x)=-\frac{3}{4}x$

2. $b$ bestimmen

Die Tangete $t$ und die Gerade $x=b$ bilden mit der $x$ -Achse ein rechtwinkliges Dreieck.

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\mid \frac{1}{2}\cdot x\cdot t(x)\mid\\ \frac{75}{2}&=&\mid \frac{1}{2}\cdot b\cdot \left(-\frac{3}{4}b\right)\mid\\ \frac{75}{2}&=&\mid-\frac{3}{8}\cdot b^2\mid\\ \frac{75}{2}&=& \frac{3}{8}\cdot b^2 & \quad \scriptsize \mid \;\cdot \frac{8}{3} \\ 100 &=& \frac{3}{8}\cdot b^2 \\ \pm 10 &=& b \end{array}$

Da $b\gt 0$ vorgegeben ist, ist $b=10.$

Der Graph $G$ verläuft zwischen $x=0$ und $x=20$ oberhalb der $x$ -Achse und hat seinen Hochpunkt bei $H(5,86\mid4,61)$ . Der Graph $H$ dagegen verläuft im genannten Bereich durchgehend unterhalb der $x$ -Achse und somit auch unterhalb des Graphen $G.$

$S_1$ und $S_2$ sind die Schnittpunkte von $G$ und $H.$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& h(x)\\[5pt] ...& & \\[5pt] x\cdot \left(x-\frac{55}{2}\right) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1= 0$ und $x_2= \frac{55}{2} = 27,5.$

Die Länge des Flugzeugflügels beträgt also $27,5\text{ LE}.$

Die Verbindungslinie zwischen $S_1$ und $S_2$ entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks in der Abbildung. Da die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck immer die längste Seite ist, ist die Verbindungslinie länger als die Länge des Flugzeugflügels, der hier einer der Katheten entspricht.

Dazu müssen die Koordinaten des Hochpunkts der Funktion $d(x)$ bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

$H(6,75\mid7,13)$

Der Flügel hat eine maximale vertikale Höhe von $7,13\;\text{dm}.$
Die Konstrukteure haben somit die maximale Höhe beachtet.

Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche kann mit dem CAS berechnet werden. Die Schnittstellen der Funktionen $f(x)$ und $h(x)$ sind $x_1= 0$ und $x_2=27,5.$

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\displaystyle\int_{0}^{27,5}d(x)\;\mathrm dx=105,37$

Der Flügel hat eine Querschnittsfläche von $105,37\;\text{dm}^2.$

Die Konstrukteure berechnen den Neigungswinkel aus der Verbindungslinie $\overline{S_1S_2}$ und der Horizontalen $f(27,5)$ mithilfe des Sinus.

Im ersten Teilschritt wurde der Wert für $f(27,5)$ falsch berechnet bzw. das Vorzeichen ist falsch: $f(27,5)=-1,32$

Hier wurde die Hypotenuse $\overline{S_1S_2}$ falsch berechnet, da $\overline{S_1S_2}=\sqrt{27,5^2+1,32^2}$ . Die richtige Rechnung muss lauten:
$\sin(\alpha)$ $=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ $=\frac{1,32}{\sqrt{27,5^2+1,32^2}}$

1. Punkt $R$ bestimmen

Da im Punkt $R$ der Graph seine Krümmungsart ändert, ist $R$ ein Wendepunkt des Graphen von $f.$ Es gilt also:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der pq-Formel folgt $x_1\approx12,68$ und $x_2\approx47,32.$ Die zweite Lösung $x_2$ entfällt.

Mit $f(12,68) \approx 2,61$ ist $R(12,68\mid 2,61).$

2. Winkel $\beta$ berechnen

Der Winkel $\beta$ spannt sich zwischen der $x$ -Achse und der Strecke vom Ursprung zum Punkt $R.$ $\beta$ lässt sich mithilfe des Tangens berechnen:

$\tan(\beta)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2,61}{12,68}$

$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{2,61}{12,68}\right) \approx 11,63\,^\circ$

3. Winkel $\delta$ berechnen

Der Winkel $\delta=\measuredangle S_2S_1R$ berechnet sich aus dem Winkel $\alpha$ (siehe Aufgabenteil k) und dem Winkel $\beta$ des Punkts $R.$

$\delta$ $=\alpha+\beta$ $=2,75\,^\circ+11,63\,^\circ$ $=14,38\,^\circ$ $\leq18\,^\circ$

Damit beträgt der Winkel $\delta=14,38\,^\circ$ und ist kleiner als $18\,^\circ$ .

Zunächst werden die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion $f(x)$ mit der Geraden $n(x)=3$ bestimmt:

$Z_1(2,05\mid3)\quad{Z_2(11,73\mid3)}$

Nun wird die Länge der Strecke $\overline{Z_1Z_2}$ bestimmt:

$11,73-2,05=9,68$

Ein $100\;\text{cm}$ $(=10\;\text{dm})$ breites Rechteck passt somit nicht in die Querschnittsfläche des Flügels.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?