Analytische Geometrie 3.1 - Holzkörper

Die Eckpunkte eines Holzkörpers werden durch $A(0\mid 0\mid 0) ,$ $B(10 \mid 0 \mid 0),$ $C(10 \mid 10 \mid 0),$ $D(0 \mid 10 \mid 0)$ und $E(0 \mid 10 \mid 6)$ dargestellt (vgl. Abbildung). Die Punkte $B,$ $D$ und $E$ liegen im Modell in der Symmetrieebene des Körpers.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Zentimeter in der Realität.

3D-Darstellung eines geometrischen Körpers mit Punkten A, B, C, D und E in einem Koordinatensystem.

Zeige, dass das Dreieck $BCE$ rechtwinklig ist, und berechne den Inhalt der Gesamtoberfläche des Holzkörpers.

(5 BE)

Gib eine Gleichung der Geraden $h$ an, auf der die Punkte $C$ und $E$ liegen.
Begründe, dass diese Gerade windschief zur Geraden durch die Punkte $B$ und $D$ verläuft.

(3 BE)

Bestimme eine Gleichung der Ebene $L,$ in der das Dreieck $BCE$ liegt, in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $L: x +\frac{5}{3}z = 10$ )

(3 BE)

Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck $BCE$ dargestellt wird, einen Winkel ein.
Berechne die Größe dieses Winkels.

(2 BE)

Entscheide und begründe für jede der folgenden Ebenengleichungen, ob diese Ebene das Quadrat $ABCD$ in zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt teilt:

$E_1: y=5$

$E_2: -x+y = 0$

$E_3: z=5$

(4 BE)

Die Punkte $A$ und $D$ werden auf der $y$ -Achse jeweils so verschoben, dass ein gleichschenkliges Trapez $\(A$ entsteht, dessen Fläche $\frac{4}{5}$ der Fläche des Quadrats $ABCD$ beträgt. Die Punkte $\(A$ und $\(D$ liegen auf der Strecke $\overline{AD}.$
Ermittle die Koordinaten der Punkte $\(A$ und $\(D$

(3 BE)

Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt $A$ über die Kante $\overline{BE}$ zum Punkt $C$ verläuft.
Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:

$P(10 -10t \mid 10 t \mid 6 t)$

$\overrightarrow{PC} \circ \overrightarrow{PB} = 0;$ $t= \frac{25}{59}$

$2\cdot \left|\overrightarrow{PC} \right| \approx 15,2$

Erläutere dieses Vorgehen.

(4 BE)

Der Schnittpunkt der Ebene $L$ mit der $z$ -Achse wird mit $F$ bezeichnet

Zeichne $F$ sowie die Geraden, in denen $L$ die $xz$ - und die $yz$ -Ebene schneidet, in die Abbildung ein.

(2 BE)

Ermittle, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers $ABCDEF$ größer ist als das Volumen des Körpers $ABCDE,$ ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.

(4 BE)

(30 BE)

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Rechter Winkel

$\overrightarrow{CB} \circ \overrightarrow{CE}$ $= \pmatrix{0\\-10\\0}\circ\pmatrix{-10\\0\\6}$ $=0$

Damit besitzt das Dreieck $BCE$ im Punkt $C$ einen rechten Winkel.

Oberflächeninhalt

Aufgrund der Symmetrie gilt $A_{BCE} = A_{EAB}$ und $A_{CDE}= A_{ADE}.$

Es gilt:

$\overrightarrow{DC}\circ \overrightarrow{DE}$ $= \pmatrix{10\\0\\0} \circ \pmatrix{0\\0\\6}$ $= 10\cdot 0 +0\cdot 0 + 0\cdot 6$ $=0$

Das Dreieck $CDE$ besitzt also einen rechten Winkel im Punkt $D.$ Die Grundfläche des Körpers ist quadratisch mit der Seitenlänge $10\,\text{cm}.$

$\begin{array}[t]{rll} A_{BCE} =& \frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{CB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{CE}\right| \\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot\left|\pmatrix{0\\-10\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{-10\\0\\6} \right| \\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot10\cdot \sqrt{(-10)^2 + 0^2 +6^2} \\[5pt] =& 40\cdot \sqrt{17}\,[\text{cm}^2] \\[10pt] A_{CDE} =& \left|\overrightarrow{DC}\right| \cdot \left|\overrightarrow{DE}\right| \\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot\left|\pmatrix{10\\0\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\6} \right| \\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot10\cdot 6 \\[5pt] =& 30 \,[\text{cm}^2]\\[10pt] \end{array}$

Insgesamt ergibt sich der Oberflächeninhalt des Holzkörpers wie folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$O\approx 277\,\text{cm}^2$

Der Oberflächeninhalt des Holzkörpers beträgt ca. $277\,\text{cm}^2.$

$\begin{array}[t]{rll} h:\, \vec{x} &=& \overrightarrow{OC} + s\cdot \overrightarrow{CE} , s\in\mathbb{R}\\[5pt] &=&\pmatrix{10\\10\\0}+s\cdot\pmatrix{-10\\0\\6} \end{array}$

Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Die Gerade $h$ verläuft durch die Punkte $C$ und $E$ und schneidet die $xy$ -Ebene in $C.$
Die Gerade durch die Punkte $B$ und $D$ liegt in der $xy$ -Ebene und verläuft gleichzeitig nicht durch den Punkt $C.$ Somit sind die beiden Geraden windschief zueinander.

Die Ebenengleichung der Ebene $L$ kannst du mithilfe der Vektoren zwischen den Eckpunkten $B$ , $C$ und $E$ bestimmen:

$\pmatrix{x\\y\\z}=\overrightarrow{AC}+r\cdot \overrightarrow{CB}+s\cdot\overrightarrow{CE}$ $=\pmatrix{10\\10\\0}+r\cdot\pmatrix{0\\-10\\0}+s\cdot\pmatrix{-10\\0\\6}$

Das liefert das folgende Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{rll} x&=&10-10s\\ y&=&10-10r\\ z&=&6s\\ \end{array}$

Aus der dritten Gleichung folgt $s= \frac{z}{6}.$ Einsetzen in die erste Gleichung liefert:

$x=10-10\cdot\frac{z}{6}=10-\frac{5}{3}z$

Damit ergibt sich die Gleichung für die Ebene $L:$

$\begin{array}[t]{rll} L: \, x &=& 10-\frac{5}{3}z &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{5}{3}z\\[5pt] L:\, x + \frac{5}{3}z &=& 10 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 3\\[5pt] L:\, 3x + 5z &=& 30 \\[5pt] \end{array}$

Der Winkel $\varphi$ zwischen der Grundfläche und der Seitenfläche $BCE$ entspricht dem Winkel zwischen den Kanten $\overline{CD}$ und $\overline{CE}.$ Mit dem Tangens ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\varphi) &=& \frac{\mid\overline{DE}\mid}{\mid\overline{CD}\mid} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \varphi &\approx& 31^\circ \end{array}$

Der Winkel, den die quadratische Grundfläche mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck $BCE$ dargestellt wird, einschließt, ist ca. $31^\circ$ groß.

Die Ebene $E_1$ ist parallel zur $xz$ -Ebene und steht damit senkrecht auf dem Quadrat $ABCD$ . Außerdem verläuft die Ebene $E_1$ durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AD}$ und durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$ . Damit teilt die Ebene $E_1$ das Quadrat $ABCD$ in zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt.
Die Ebene $E_2$ verläuft senkrecht zum Quadrat $ABCD$ und durch die Punkte $A$ und $C.$ Damit teilt die Ebene $E_2$ das Quadrat $ABCD$ in zwei Figuren gleichen Flächeninhalts.
Die Ebene $E_3$ verläuft parallel zur $xy$ -Ebene und liegt damit parallel zum Quadrat $ABCD.$ Damit kann $E_3$ das Quadrat $ABCD$ nicht in zwei Figuren mit gleichem Flächeninhalt teilen.

Der Flächeninhalt des Trapez lässt sich aus dem Flächeninhalt des Quadrats berechnen:

$\(A_{A$ $=\frac{4}{5}\cdot100\text{ FE}=80\text{ FE}$

Damit ist die Fläche des Trapez um $20\text{ FE}$ kleiner als die Fläche des Quadrats. Um ein gleichschenkliges Trapez zu erzeugen, wird auf beiden Seiten gleich viel Fläche entfernt.
Die Dreiecke $\(BAA$ und $\(CD$ müssen also den gleichen Flächeninhalt von $10$ haben:

$\(A_{BAA$ $\(=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\mid\overline{AA$ $=10$

Die Länge von $\(\overline{AA$ muss daher $2$ betragen.

Damit können die gesuchten Koordinaten der Punkte $\(A$ und $\(D$ bestimmt werden, indem die $y$ -Koordinate der Punkte $A$ und $D$ um $2$ in Richtung des Mittelpunkts der Strecke $\overline{AD}$ verschoben werden:

$\(A$ und $\(D$

Bezeichnet man im Modell denjenigen Punkt der gesuchten Linie, der auf $\overline{BE}$ liegt, mit $P,$ so ist die Länge der Linie aufgrund der Symmetrie des Körpers $2\cdot \left| \overrightarrow{PC}\right|.$ Da die Linie möglichst kurz sein soll, steht $\overline{PC}$ senkrecht zu $\overline{PB}.$

3D-Darstellung eines grünen Quaders mit Punkten A, B, C, D, E und F sowie den Achsen x, y und z.

Das Volumen des Körpers $ABCDE$ lässt sich mit der Volumenformel für Pyramiden berechnen:

$V_{ABCDE}=\frac{1}{3}\cdot\mid\overline{AB}\mid^2\cdot\mid\overline{DE}\mid$

Der Körper $ABCDEF$ hingegen ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche:

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$V_{ABCDEF} = V_{ABCDE}+50\%\cdot V_{ABCDE}$

Damit ist das Volumen des Körpers $ABCDEF$ um $50\,\%$ größer als das Volumen des Körpers $ABCDE.$

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