Teil B2

An einer Wetterstation in Deutschland werden kontinuierlich Temperaturen gemessen.
In der Abbildung ist der Temperaturverlauf für die ersten $18$ Stunden nach Mitternacht an einem Tag im Juli dargestellt. Der Temperaturverlauf kann in dem gegebenen Koordinatensystem näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=-0,00178\cdot{x}^4+0,05\cdot{x}^3-0,33\cdot{x}^2+0,37\cdot{x}+16\quad$ ( $x\in\mathbb{R}; 0,00\leq{x}\leq18,00$ )
beschrieben werden.

Dabei gilt:
$x$ ...Zeitpunkt nach Mitternacht (in Stunden)
$f(x)$ ...Temperatur (in Grad Celsius) zum Zeitpunkt $x$

Graph einer Funktion f in einem Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Abb. 1 Abbildung (nicht maßstäblich)

2.1

Zeige, dass $10,00$ Stunden nach Mitternacht die Temperatur von $18,9^{\circ}\text{C}$ erreicht wurde.
Ermittle, zu welcher Uhrzeit die niedrigste Temperatur im angegebenen Zeitraum gemessen wurde.

(4P)

2.2

Bestimme für den angegebenen Zeitraum den Zeitpunkt nach Mitternacht, an dem der Anstieg des Temperaturverlaufs am größten war.

(3P)

2.3

Ermittle für den angegebenen Zeitraum die Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25,0^{\circ}\text{C}$ betrug.

(2P)

2.4

An einem anderen Tag wurden um $07:00$ Uhr die Temperatur von $18,0^{\circ}\text{C}$ und um $12:00$ Uhr die Temperatur von $27^{\circ}\text{C}$ gemessen. Die Tageshöchsttemperatur von $30^{\circ}\text{C}$ wurde um $15:00$ Uhr erreicht. Der Temperaturverlauf kann für diesen Tag im Zeitraum von $07:00$ Uhr bis $18:00$ Uhr annähernd durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades beschrieben werden.
Ermittle eine Gleichung der Funktion $g$ .

(4P)

Die Funktion $h$ mit $h(x)=-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}$ ( $x\in{D_h}$ ) beschreibt näherungsweise die Leistung pro Fläche, die an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird.
Dabei gilt:
$x$ ...Zeitpunkt nach Sonnenaufgang (in Stunden)
$h(x)$ ...Leistung pro Fläche (in Kilowatt pro Quadratmeter) zum Zeitpunkt $x$
Zu den Zeitpunkten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs beträgt die Leistung pro Fläche null Kilowatt pro Quadratmeter.
Die Energie pro Fläche, die in einem Zeitintervall an die Erdoberfläche übertragen wird, kann durch die Integration der Leistung pro Fläche über die Zeit bestimmt werden.

2.5

Ermittle die Energie pro Fläche (in Kilowattstunden pro Quadratmeter), die an diesem Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird.

(3P)

2.6

Bestimme, bis zu welchem Zeitpunkt $x=a$ ( $a\in\mathbb{R}, 0\lt a\lt 16$ ) nach Sonnenaufgang eine Energie von $7,2$ Kilowattstunden an einen Quadratmeter der Erdoberfläche abgegeben wird.

(2P)

2.7

Der Deutsche Wetterdienst gibt die Niederschlagswahrscheinlichkeit für drei aufeinander folgende Tage mit jeweils $30\;\%$ an.
Ermittle unter Verwendung dieser Angabe die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

$A$

$B$

(4P)

2.8

Die Güte einer Wettervorhersage gibt Aufschluss darüber, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen dieser Wettervorhersage ist.
Erfahrungsgemäß beträgt die Güte einer Wettervorhersage für den kommenden Tag $90\;\%$ . Es besteht die Vermutung, dass die Güte einer Wettervorhersage für den kommenden Tag gestiegen ist.
In einem Test mit $120$ zufällig ausgewählten Wettervorhersagen für den jeweils kommenden Tag soll die Nullhypothese „Die Güte einer Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt höchstens bei $90\;\%$ .“ auf einem Signifikanzniveau von $5\;\%$ getestet werden.
Bestimme den Ablehnungsbereich der Nullhypothese.

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

Teil B2

2.1

$\blacktriangleright$ Temperatur $\boldsymbol{10}$ Stunden nach Mitternacht überprüfen

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $f(x)$ entnehmen, welche die Temperatur in Abhängigkeit der Stunden nach Mitternacht angibt:

$f(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Du sollst zeigen, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt. Da du die Funktion in der weiteren Aufgabe noch öfters brauchen wirst, kannst du $f(x)$ schon hier als Funktion $Y_1$ in den GTR eingeben. Anschließend kannst du dir die Wertetabelle anzeigen lassen:

Tabelle mit Werten für X und Y auf einem Taschenrechner, zeigt numerische Daten in zwei Spalten.

Abb. 1: Tabelle

Aus der Tabelle kannst du ablesen, dass die Funktion an der Stelle $10$ den Wert $18,9$ hat. Du kennst also den Funktionswert:

$f(10)=18,9$

Das bedeutet, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Uhrzeit, bei der die niedrigste Temperatur gemessen wurde ermitteln

In diesem Augabenteil hilft dir dein Taschenrechner. Die niedrigste Temperatur entspricht dem Tiefpunkt der Funktion $f(x)$ im Intervall $[0,18]$ . Um den Teifpunkt zu bestimmen gehst du wie folgt vor:

GRAPH \rightarrow 2ND \rightarrow TRACE \rightarrow 3: minimum

wähle zuerst eine untere und dann eine obere Schranke.

Graph einer mathematischen Funktion mit Minimumswerten auf einem Taschenrechner-Display.

Abb. Zahl: Minimum bestimmen mit dem GTR

Mit dem Taschenrechner findest du den Tiefpunkt $T(5,22 \mid 14,73 )$ .

Die niedrigste Temperatur wurde also $5,22$ Stunden nach Mitternacht gemessen. Da $0,22$ Stunden ungefähr $13$ Minuten sind, wurde die tiefste Temperatur um $5:13$ Uhr gemessen.

2.2

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt des größten Temperaturanstiegs bestimmen

Der Zeitpunkt, an dem die Temperatur am meisten steigt entspricht der Stelle von $f$ mit der größten Steigung. Diese Stelle ist die Wendestelle von $f(x)$ . Du kannst zur Bestimmung der Wendestelle deinen GTR verwenden. Berechne zuerst die Ableitung $f‘(x)$ und bestimme anschließend mit dem GTR das Maximum von $f‘(x)$ .

Schritt 1: Bestimmen der Ableitung von $\boldsymbol{f(x)}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist:

$f‘(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Schritt 2: Bestimmen des Maximums von $\boldsymbol{f‘(x)}$

Gebe $f‘(x)$ als weitere Funktion in den GTR ein und lasse dir die Funktion mit GRAPH anzeigen. Gehe dann wie folgt vor:

GRAPH \rightarrow 2ND \rightarrow TRACE \rightarrow 4: maximum

wähle wieder eine untere und eine obere Schranke.

Grafik eines mathematischen Graphen mit einer Funktion und den zugehörigen Achsen.

Abb. 3: Maximum bestimmen mit dem GTR

Mit dem Taschenrechner findest du das Maximum von $H(11,31 \mid 1,79)$ . Der Anstieg des Temperaturverlaufs ist $11,31$ Stunden oder $11$ Stunden und $18,6$ Minuten nach Mitternacht am größten.

2.3

$\blacktriangleright$ Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25,0°C$ betrug ermitteln

Um die Zeitdauer zu bestimmen, in der die Temperatur über $25°C$ betrug, lässt du dir von deinem GTR $f(x)$ zusammen mit der Funktion $h(x)=25$ zeichnen. Der Bereich zwischen den Schnittpunkten der beiden Funktionen, entspricht der Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25°C$ betrug.

Graph mit einer blauen Kurve und einer horizontalen Linie, die sich am Punkt Y=25 schneidet.

Abb. 4: Schnittpunkte zwischen $f(x)$ und $h(x)$

Die beiden Schnittpunkte sind $P_1(13,705 \mid 25)$ und $P_2(16,46 \mid 25)$ . Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ist

$16,46 - 13,705 =\dfrac{551}{200}\approx2,755$

Da die Zeitangabe in Stunden nach Mitternacht ist, beträgt die Temperatur $2,755$ Stunden oder $2$ Stunden und $45,3$ Minuten mindestens $25,0°C$ .

2.4

$\blacktriangleright$ Ermitteln der Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$

In diesem Aufgabenteil sollst du eine Gleichung einer Funktion dritten Grades $g(x)$ ermitteln, welche folgende Eigenschaften erfüllen soll:

Um $07:00$ Uhr beträgt die Temperatur $18°C$ .
Um $12:00$ Uhr beträgt die Temperatur $27,0°C$ .
Um $15:00$ Uhr beträgt die Temperatur $30,0°C$ .
Um $15:00$ wurde die Tageshöchsttemperatur erreicht.

Da der Temperaturverlauf im Zeitraum von $07:00$ Uhr bis $18:00$ Uhr angenähert werden soll,kannst du $x$ als Zeitpunkt nach $07:00$ Uhr und $g(x)$ als Temperatur zum Zeitpunkt $x$ wählen. Du kannst die vier Eigenschaften also wie folgt mathematisch ausdrücken:

$g(0)=18$
$g(5)=27$
$g(8)=30$
Die vierte Eigenschaft bedeutet, dass $g(x)$ bei $x=8$ ein Maximum besitzt. Deswegen ist $g‘(8)=0$

Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades ist:

$g(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2+ c \cdot x + d$

Du musst jetzt mit den vier Eigenschaften die Unbekannten $a, b, c$ und $d$ bestimmen. Für die vierte Eigenschaft benötigts du die Ableitung $g‘(x)$ :

$g‘(x)=3 \cdot a \cdot x^2+2\cdot b \cdot x+ c$

Mit den Eigenschaften erhältst du folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(0)&=& ...\\ \text{II}\quad&g(5)&=& ...\\ \text{III}\quad&g(8)&=& ...\\ \text{IV}\quad& g‘(8)&=& ... \\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dieses Gleichungssystem kannst du vereinfachen und mithilfe deines GTR‘s lösen:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& d\\ \text{II}\quad&27&=&a \cdot 125 +...\\ \text{III}\quad&30&=& a \cdot 512 +...\\ \text{IV}\quad& 0&=& 192\cdot a +... \\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Um dieses Gleichungssystem mit dem GTR zu lösen, verwendest du das MATRIX Menü:

2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ EDIT $\rightarrow$ $4x5$

In das Fenster gibst du die Zahlen aus deinem Linearen Gleichungssystem ein:

Tastatur-Display mit Matrix-Daten und Berechnungsergebnis auf einem grafischen Taschenrechner.

Abb. 5: Eingabe der Daten in die Matrix

Zum Lösen des Gleichungssystems gehts du wie folgt vor:

2ND $\rightarrow$ $x^{-1}$ $\rightarrow$ MATH $\rightarrow$ $B$ $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ MATRIX $\rightarrow$ NAMES $\rightarrow$ $1 :[A]$

Damit erhältst du dann:

Screenshot einer mathematischen Software mit einer Matrix in reduzierter Zeilenstufenform.

Abb. 6: Lösung des Gleichungssystems mit dem GTR

Die unbekannten Werte sind also:

$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& -0,029\\ b&\approx&0,279\\ c &\approx& 1,133 \\ d&=& 18 \end{array}$

Jetzt kannst du eine Gleichung für $g(x)$ angeben:

$g(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Das ist allerdings nicht die einzige Lösung. Wenn du zum Beispiel $x$ in Stunden nach Mitternacht angibst, kommst du zu einem anderen Gleichungssystem und damit auch zu einer anderen Lösung. Diese Lösung ist:

$g_2(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

2.5

$\blacktriangleright$ Energie pro Fläche ermitteln

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $h(x)$ für die Leistung pro Fläche entnehmen:

$h(x)=-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}$ .

Außerdem kannst du aus der Aufgabenstellung ablesen, dass du die Energie pro Fläche durch Integration der Leistung pro Fläche über die Zeit bestimmen kannst. Deine untere Integrationsgrenze ist der Zeitpunkt des Sonnenaufgangs und die obere Integrationsgrenze der Zeitpunkt des Sonnenunergangs. Diese zwei Zeitpunkte musst du bestimmen bevor du das Integral bilden kannst.

Schritt 1: Zeitpunkt des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs bestimmen

Da die Leistund pro Fläche zu den Zeitpunkten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs null beträgt, musst du die Nullstellen von $h(x)$ bestimmen um die gesuchten Zeitpunkte zu erhalten.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \cdot (-80)\; \\[5pt] x^2-16 \cdot x&=&0 \\ x \cdot ( x -16) &=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz von Nullprodukt weißt du, dass die erste Nullstell bei $x=0$ ist. Die zweite Nullste findest du, indem du den Ausdruck in der Klammer mit null gleichsetzt:

$\begin{array}[t]{rll} x-16&=&0 &\quad \scriptsize \mid\ 16; \\[5pt] x&=&16 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Mit dem GTR

Alternativ kannst du $h(x)$ als Funktion in den GTR eingeben und dann die Nullstellen bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:

GRAPH $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ 2:zero

Anschließend wählst du eine untere und eine obere Schranke und erhältet die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=16$ .

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit der Gleichung Y1=X²/80+X/5. Achsen sind beschriftet.

Abb. 7: Nullstellen bestimmen mit dem GTR

Du hast jetzt die beiden Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=16$ . Für die Aufgabe bedeutet das, dass die Sonne zum Zeitpunkt $x_1=0$ aufgeht und zum Zeitpunkt $x_2=16$ untergeht. Damit hast du die Integrationsgrenzen gefunden.

Schritt 2: Integral berechnen

Das Integral berechnest du am einfachsten mit dem GTR. Gehe wie folgt vor:

GRAPH $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ 7: $\displaystyle\int_{}^{}\;f(x) \mathrm dx$

Wähle als untere Schranke die untere Integrationsgrenze $x_1=0$ und als obere Schranke die obere Integrationsgrenze $x_2=16$ .

Grafik eines Integrals mit blauer Fläche unter einer Kurve und mathematischen Berechnungen.

Abb. 8: Integralberechnung mit dem GTR

Der GTR liefert dir als Lösung:

$\displaystyle\int_{0}^{16}\; f(x) \mathrm dx = 8,53$

Die Energie pro Fläche die an diesem Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird berträgt also $8,53$ Kilowattstunden pro Quadratmeter.

2.6

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt nach dem $7,2$ kWh pro Quadratmeter abgegeben wurden

Wie du bereits aus dem letzten Aufgabenteil weißt, berechnest du die Energie pro Fläche mit dem Integral über die Leistung pro Fläche. Die untere Integrationsgrenze entspricht auch hier dem Zeitpunkt des Sonnenaufgangs $x_1=0$ . Jetzt sollst du den Zeitpunkt $x=a$ finden, zu dem die Energie pro Fläche $7,2$ Kilowattstunden beträgt. Gehe wie folgt vor:

Bestimme die Integralfunktion $\text{I}_0(a)$ .
Setze die Integralfunktion mit $7,2$ gleich und löse nach $a$ auf.

Schritt 1: Integralfunktion bestimmen

Die Integralfunktion ist eine Funktion, die den orientierten Flächeninhalt zwischen deiner Funktion $h$ und der x-Achse von $0$ bis $a$ angibt. Du berechnest die Integralfunktion indem du das Integral über $h(x)$ mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $a$ bestimmst.

$\begin{array}[t]{rll} \text{I}_0(a)&=& \displaystyle\int_{0}^{a}\;-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}\mathrm dx\\[5pt] &=&\Big[-\dfrac{x^3}{3 \cdot 80} +\dfrac{x^2}{2 \cdot 5}\Big]_0^a \\ &=&-\dfrac{a^3}{3 \cdot 80} +\dfrac{a^2}{2 \cdot 5} \\ &=& -\dfrac{a^3}{240} +\dfrac{a^2}{10} \\ \end{array}$

Jetzt hast du die Integralfunktion in Abhängigkeit von $a$ und kannst diese mit $7,2$ gleichsetzen.

Schritt 2: Berechnen von a

Um $a$ zu bestimmen, gibst du die Integralfunktion in den Taschenrechhner ein. Außerdem gibst du 7,2 als weitere Funktion in deinen Taschenrechner ein.

Mathematik-Software zeigt Funktionen und Werte in einer grafischen Benutzeroberfläche.

Abb. 9: Integralfunktion und $y=7,2$

Die Schnittstelle der beiden Funktionen entspricht dem Wert $a$ . Also den Zeitpunkt, zu dem genau $7,2$ Kilowattstunden pro Fläche an die Erdoberfläche abgegeben wurden. Nachdem du die beiden Funktionen in den GTR eingetragen hast, gehst du wie folgt vor:

GRAPH $\rightarrow$ 2ND $\rightarrow$ TRACE $\rightarrow$ 5:intersect

Du musst jetzt nur noch die beiden Kurven auswählen und bekommst dann den Schnittpunkt $a=12$ .

Grafik eines Funktionsgraphen mit einer horizontalen Linie und einem Schnittpunkt. Achsen sind beschriftet.

Abb. 10: Schnittstelle mit dem GTR bestimmen

Für die Aufgabe bedeutet das, dass $12$ Stunden nach Sonnenaufgang eine Energie von $7,2$ Kilowattstunden pro Quadratmeter Erdoberfläche ebgegeben wurde.

2.7

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{A}$ berechnen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Niederschlagswahrscheinlichkeit für jeden Tag $30 \%$ beträgt. Zuerst kannst du dir die folgenden Ereignisse definieren:

$N_1:=$ $„ \text{An Tag 1 gibt es Niederschlag}“$ ,

$N_2:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$ und

$N_3:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$

Dann ist

$P(N_1)=P(N_2) =P(N_3)=0,3$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnest du dann durch:

$P(A)=0,343$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an allen drei Tagen kein Niederschlag fällt beträgt also $35,3 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{B}$ berechnen

Du sollst die Wahscheinlichkeit dafür berechnen, dass an höchstens einem der drei Tage Niederschlag fällt. Im Folgenden ist $P(\overline{N_1})=0,7$ das Gegenereignis von $N_1$ also das Ereignis, dass an Tag $1$ kein Niederschlag fällt. Es soll an höchstens einem Tag Niederschlag geben. Die Wahrscheinlichkeit für $B$ setzt sich aus vier Teilen zusammen. Die ersten drei Teile entsprechen den Wahrscheinlichkeiten, dass es an einem bestimmten der drei Tage regnet und der letzte Teil der Wahrscheinlichkeit dafür, dass es an keinem der Tage regnet.

$P(B)$

Vollständige Lösung anzeigen

Da die Wahrscheinlichkeiten für Regen an jedem Tag gleich sind, kannst du vereinfachen:

$P(B)=0,784$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an höchstens einem der drei Tage Niederschlag fällt $78,4\%$ .

2.8

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich der Nullhypothese berechnen

Stelle zuerst die Nullhypothese und die Alternative auf:

$H_0$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt höchstens bei $90\%$

$H_1$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt über $90\%$

Du kannst Nullhypothes und Alternative auch kürzer formulieren. Dafür definierst du dir $p$ als die Güte der Wettervorhersage:

$H_0 \le 0,9$

$H_1 \gt 0,9$

Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Das Signifikanzniveau von $\alpha= 0,05$ kannst du der Aufgabe entnehmen.

Du betrachtest jetzt die Zufallsvariable $X$ , welche dir die Anzahl der Tage unter den $120$ zufällig ausgewählten Tagen angibt, an den die Wettervorhersage zutreffend für den kommenden Tag war. Diese Zufallsvariable kann als binomialverteilt mit den Parametern $n=120$ und $p=0,9$ angesehen werden. Da ein rechtsseitiger Hypothesentest durchgeführt wird, wird die Nullhypothese nur für große Werte abgelehnt. Der Ablehungsbereich hat darum die Form:

$\overline{K}=[k,120]$

Du musst also die Grenze $k$ des Ablehnungsbereichs bestimmen um sagen zu können, für welche Werte die Nullhypothese verworfen werden kann. Hierfür musst du das Signifikanzniveau nutzen. Dies gibt die Irrtumswahrscheinlichkeit an, also genau die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese gilt und die Stichprobe trotzdem einen Wert aus dem Ablehnungsbereich liefert. Es ist also das kleinste $k$ gesucht, welches gerade noch folgende Ungleichung erfüllt:

$P(X \ge k) \leq 0,05$

Um den BinomCdf-Befehl deines GTR zu verwenden, musst du diese Wahrscheinlichkeit umformen:

$P(X \ge k) \le 0,05$

Vollständige Lösung anzeigen

Das entspricht:

$P(X \le k-1) \ge 0,95$

Gib jetzt die Funktion $f(x)= P(X\leq x)$ im $Y=$ -Menü des GTR über den BinomCdf-Befehl ein. Diesen findest du unter

2ND $\rightarrow$ VARS(DISTR) $\rightarrow$ B: BinomCdf

Du musst die Parameter deiner Binomialverteilung eingeben: $n= 120$ , $p = 0,9$ und $k =x$ .

Bildschirmansicht eines Rechners mit der Funktion

Abb. 11: Eingabe der Daten für die Binomialverteilung

Anschließend kannst du dir mit dem folgenden Befehl die Wertetabelle anzeigen lassen.

2ND $\rightarrow$ GRAPH(TABLE)

Wähle aus dieser Tabelle das kleinste ganzzahlige $x$ , sodass $Y_1$ gerade noch größer oder gleich $0,95$ ist.

Tabelle mit X- und Y-Werten auf einem Taschenrechner-Display. X=113, verschiedene Y-Werte aufgeführt.

Abb. 12: Tabelle zum Ablesen von $k$

Der kleinste Wert, für den $Y_1$ gerade noch größer als $0,95$ ist, ist $113$ . Die Ungleichung von der du ausgegangen bis, ist

$P(X \le k-1) \ge 0,95$ .

Außerdem hast du mithilfe der Tabelle folgendes herausgefunden:

$P(X \le 113) \ge 0,95$

Im letzten Schritt musst du beachten, dass $113$ nicht $k$ sondern $k-1$ entspricht. Damit kannst du $k$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} k-1&=&113 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] k&=&114 \end{array}$

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also

$\overline{K}=[114,120]$

In Worten ausgedrückt bedeutet das, dass die Nullhypothese auf dem Signifikanzniveau von $\alpha=0,05$ verworfen wird, wenn die Wettervorhersage für den kommenden Tag an mindestens 114 Tagen zutrifft.

Bildnachweise [nach oben]

Teil B2

2.1

$\blacktriangleright$ Temperatur $\boldsymbol{10}$ Stunden nach Mitternacht überprüfen

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $f(x)$ entnehmen, welche die Temperatur in Abhängigkeit der Stunden nach Mitternacht angibt:

$f(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

Tabelle mit X- und Y-Werten sowie Optionen zur Bearbeitung auf einem Bildschirm.

Abb. 1: Tabelle

Aus der Tabelle kannst du ablesen, dass die Funktion an der Stelle $10$ den Wert $18,9$ hat. Du kennst also den Funktionswert:

$f(10)=18,9$

Das bedeutet, dass die Temperatur $10$ Stunden nach Mitternacht $18,9°C$ beträgt.

$\blacktriangleright$ Uhrzeit, bei der die niedrigste Temperatur gemessen wurde ermitteln

MENU $\rightarrow$ 5:GRAPH $\rightarrow$ SHIFT $\rightarrow$ F5 $\rightarrow$ F3:MIN

Damit erhältst du folgendes Bild:

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem Minimumspunkt.

Abb. Zahl: Minimum bestimmen mit dem GTR

Mit dem Taschenrechner findest du den Tiefpunkt $T(5,22 \mid 14,73 )$ .

Die niedrigste Temperatur wurde also $5,22$ Stunden nach Mitternacht gemessen. Da $0,22$ Stunden ungefähr $13$ Minuten sind, wurde die tiefste Temperatur um $5:13$ Uhr gemessen.

2.2

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt des größten Temperaturanstiegs bestimmen

Schritt 1: Bestimmen der Ableitung von $\boldsymbol{f(x)}$

Die Ableitung von $f(x)$ ist:

$f‘(x)S$

Vollständige Lösung anzeigen

Schritt 2: Bestimmen des Maximums von $\boldsymbol{f‘(x)}$

Gebe $f‘(x)$ als weitere Funktion in den GTR ein und lasse dir die Funktion mit GRAPH anzeigen. Gehe dann wie folgt vor:

GRAPH \rightarrow 2ND \rightarrow TRACE \rightarrow 4: maximum

wähle wieder eine untere und eine obere Schranke.

Diagramm einer mathematischen Funktion mit Maximalwert und Koordinatenangaben.

Abb. 3: Maximum bestimmen mit dem GTR

Mit dem Taschenrechner findest du das Maximum von $H(11,31 \mid 1,79)$ . Der Anstieg des Temperaturverlaufs ist $11,31$ Stunden oder $11$ Stunden und $18,6$ Minuten nach Mitternacht am größten.

2.3

$\blacktriangleright$ Zeitdauer, in der die Temperatur mindestens $25,0°C$ betrug ermitteln

Grafik eines mathematischen Funktionsgraphen mit einer Schnittstelle. Koordinaten: x=13.7051742, y=25.

Abb. 4: Schnittpunkte zwischen $f(x)$ und $h(x)$

Die beiden Schnittpunkte sind $P_1(13,705 \mid 25)$ und $P_2(16,46 \mid 25)$ . Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ist

$16,46 - 13,705 =\dfrac{551}{200}\approx2,755$

Da die Zeitangabe in Stunden nach Mitternacht ist, beträgt die Temperatur $2,755$ Stunden oder $2$ Stunden und $45,3$ Minuten mindestens $25,0°C$ .

2.4

$\blacktriangleright$ Ermitteln der Funktionsgleichung von $\boldsymbol{g}$

In diesem Aufgabenteil sollst du eine Gleichung einer Funktion dritten Grades $g(x)$ ermitteln, welche folgende Eigenschaften erfüllen soll:

Um $07:00$ Uhr beträgt die Temperatur $18°C$ .
Um $12:00$ Uhr beträgt die Temperatur $27,0°C$ .
Um $15:00$ Uhr beträgt die Temperatur $30,0°C$ .
Um $15:00$ wurde die Tageshöchsttemperatur erreicht.

$g(0)=18$
$g(5)=27$
$g(8)=30$
Die vierte Eigenschaft bedeutet, dass $g(x)$ bei $x=8$ ein Maximum besitzt. Deswegen ist $g‘(8)=0$

Die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades ist:

$g(x)=a \cdot x^3 +b \cdot x^2+ c \cdot x + d$

Du musst jetzt mit den vier Eigenschaften die Unbekannten $a, b, c$ und $d$ bestimmen. Für die vierte Eigenschaft benötigts du die Ableitung $g‘(x)$ :

$g‘(x)=3 \cdot a \cdot x^2+2\cdot b \cdot x+ c$

Mit den Eigenschaften erhältst du folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(0)&=& ...\\ \text{II}\quad&g(5)&=& ...\\ \text{III}\quad&g(8)&=& ...\\ \text{IV}\quad& g‘(8)&=& ...\\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dieses Gleichungssystem kannst du vereinfachen und mithilfe deines GTR‘s lösen:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&18&=& d\\ \text{II}\quad&27&=&a \cdot 125 +...\\ \text{III}\quad&30&=& a \cdot 512 +...\\ \text{IV}\quad& 0&=& 192\cdot a +... \\ \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Um dieses Gleichungssystem mit dem GTR zu lösen, verwendest du das MATRIX Menü:

MENU $\rightarrow$ 1:RUN MAT $\rightarrow$ F4:MATH $\rightarrow$ F1: MAT $\rightarrow$ F3: $n $x$ m$

In das Fenster gibst du zuerst die Zeilen und Spaltenanzahl der Matrix und dann die Einträge aus deinem Linearen Gleichungssystem ein:

Mathematische Tabelle mit Zahlen und verschiedenen Optionen für Matrizenoperationen.

Abb. 5: Eingabe der Daten in die Matrix

Zum Lösen des Gleichungssystems gehst du wie folgt vor:

OPTN $\rightarrow$ F2: Mat $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F5: Rref

Damit erhältst du dann:

Mathematik-Anwendung auf einem Taschenrechner mit Matrizen und Werten.

Abb. 6: Lösung des Gleichungssystems mit dem GTR

Die unbekannten Werte sind also:

$\begin{array}[t]{rll} a&\approx& -0,029\\ b&\approx&0,279\\ c &\approx& 1,133 \\ d&=& 18 \end{array}$

Jetzt kannst du eine Gleichung für $g(x)$ angeben:

$g(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

$g_2(x)$

Vollständige Lösung anzeigen

2.5

$\blacktriangleright$ Energie pro Fläche ermitteln

Der Aufgabenstellung kannst du die Funktion $h(x)$ für die Leistung pro Fläche entnehmen:

$h(x)=-\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}$ .

Schritt 1: Zeitpunkt des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs bestimmen

Da die Leistund pro Fläche zu den Zeitpunkten des Sonnenaufgangs und des Sonnenuntergangs null beträgt, musst du die Nullstellen von $h(x)$ bestimmen um die gesuchten Zeitpunkte zu erhalten.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Handschriftlich

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{x^2}{80}+\dfrac{x}{5}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \cdot (-80)\; \\[5pt] x^2-16 \cdot x&=&0 \\ x \cdot ( x -16) &=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz von Nullprodukt weißt du, dass die erste Nullstelle bei $x=0$ ist. Die zweite Nullstelle findest du, indem du den Ausdruck in der Klammer mit null gleichsetzt:

$\begin{array}[t]{rll} x-16&=&0 &\quad \scriptsize \mid\ 16; \\[5pt] x&=&16 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Mit dem GTR

Alternativ kannst du $h(x)$ als Funktion in den GTR eingeben, zeichnen lassen und dann die Nullstellen bestimmen. Gehe dazu wie folgt vor:

SHIFT $\rightarrow$ F5: G-Solv $\rightarrow$ F1: ROOT

Damit erhältet du die Nullstellen $x_1=0$ und $x_2=16$ .

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinatenachsen und einem Wurzelpunkt.

Abb. 7: Nullstellen bestimmen mit dem GTR

Schritt 2: Integral berechnen

Das Integral berechnest du am einfachsten mit dem GTR. Gehe wie folgt vor:

SHIFT $\rightarrow$ F5: G-Solv $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F3

Wähle als untere Schranke die untere Integrationsgrenze $x_1=0$ und als obere Schranke die obere Integrationsgrenze $x_2=16$ .

Diagramm mit Balken, das Werte von 0 bis 16 darstellt. Untere und obere Grenzen sind angegeben.

Abb. 8: Integralberechnung mit dem GTR

Der GTR liefert dir als Lösung:

$\displaystyle\int_{0}^{16}\; f(x) \mathrm dx = 8,53$

Die Energie pro Fläche die an diesem Tag zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang an die Erdoberfläche abgegeben wird berträgt also $8,53$ Kilowattstunden pro Quadratmeter.

2.6

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt nach dem $7,2$ kWh pro Quadratmeter abgegeben wurden

Bestimme die Integralfunktion $\text{I}_0(a)$ .
Setze die Integralfunktion mit $7,2$ gleich und löse nach $a$ auf.

Schritt 1: Integralfunktion bestimmen

Jetzt hast du die Integralfunktion in Abhängigkeit von $a$ und kannst diese mit $7,2$ gleichsetzen.

Schritt 2: Berechnen von a

Um $a$ zu bestimmen, gibst du die Integralfunktion in den Taschenrechhner ein. Außerdem gibst du 7,2 als weitere Funktion in deinen Taschenrechner ein. Und lässt dir beide Funktionen zeichnen.

Grafikfunktionseingabe auf einem Taschenrechner mit verschiedenen mathematischen Ausdrücken und Optionen.

Abb. 9: Integralfunktion und $y=7,2$

SHIFT $\rightarrow$ F5: G- Solv $\rightarrow$ F6 $\rightarrow$ F5: ISCT

Du musst jetzt nur noch die beiden Kurven auswählen und bekommst dann den Schnittpunkt $a=12$ .

Graph einer mathematischen Gleichung mit Achsenbeschriftungen und Schnittpunkt.

Abb. 10: Schnittstelle mit dem GTR bestimmen

Für die Aufgabe bedeutet das, dass $12$ Stunden nach Sonnenaufgang eine Energie von $7,2$ Kilowattstunden pro Quadratmeter Erdoberfläche ebgegeben wurde.

2.7

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{A}$ berechnen

Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Niederschlagswahrscheinlichkeit für jeden Tag $30 \%$ beträgt. Zuerst kannst du dir die folgenden Ereignisse definieren:

$N_1:=$ $„ \text{An Tag 1 gibt es Niederschlag}“$ ,

$N_2:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$ und

$N_3:=$ $„ \text{An Tag 2 gibt es Niederschlag}“$

Dann ist

$P(N_1)=P(N_2) =P(N_3)=0,3$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ berechnest du dann durch:

$P(A)=0,343$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an allen drei Tagen kein Niederschlag fällt beträgt also $35,3 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{B}$ berechnen

$P(B)$

Vollständige Lösung anzeigen

Da die Wahrscheinlichkeiten für Regen an jedem Tag gleich sind, kannst du vereinfachen:

$P(B)=0,784$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an höchstens einem der drei Tage Niederschlag fällt $78,4\%$ .

2.8

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich der Nullhypothese berechnen

Stelle zuerst die Nullhypothese und die Alternative auf:

$H_0$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt höchstens bei $90\%$

$H_1$ : Die Güte der Wettervorhersage für den kommenden Tag liegt über $90\%$

Du kannst Nullhypothes und Alternative auch kürzer formulieren. Dafür definierst du dir $p$ als die Güte der Wettervorhersage:

$H_0 \le 0,9$

$H_1 \gt 0,9$

Es handelt sich also um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Das Signifikanzniveau von $\alpha= 0,05$ kannst du der Aufgabe entnehmen.

$\overline{K}=[k,120]$

$P(X \ge k) \leq 0,05$

Um den BinomCdf-Befehl deines GTR zu verwenden, musst du diese Wahrscheinlichkeit umformen:

$P(X \ge k) \le 0,05$

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Das entspricht:

$P(X \le k-1) \ge 0,95$

Ungleichungen in dieser Form kannst du mit dem $InvBinomialCD$ Befehl deines GTR nach $k-1$ auflösen.

Diesen findest du unter

RUN MAT $\rightarrow$ OPTN $\rightarrow$ F5:STAT $\rightarrow$ F3:DIST $\rightarrow$ F5:BIN $\rightarrow$ F3InvB

Bildschirm mit mathematischer Berechnung und Eingabeaufforderung.

Abb. 11: Eingabe der Daten für die Binomialverteilung

Du hast also mithilfe der Tabelle folgendes herausgefunden:

$P(X \le 113) \ge 0,95$

Im letzten Schritt musst du beachten, dass $113$ nicht $k$ sondern $k-1$ entspricht. Damit kannst du $k$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} k-1&=&113 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] k&=&114 \end{array}$

Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also

$\overline{K}=[114,120]$

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