Teil B1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

Funktionsgleichung anzeigen

$f(x)=...$

1.1

Zeige, dass der Graph von $f$ durch den Punkt $P(12 \mid 0)$ verläuft.

Gib eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q(2 \mid f(2))$ an.

Gib die besondere Lage dieser Tangente im Koordinatensystem an.

(3 BE)

1.2

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=\dfrac{25}{8}$ schneidet den Graphen von $f$ an den Stellen $x_{1}$ und $x_{2}$ mit $x_{1}\lt x_{2}$ .

Gib $x_{1}$ und $x_{2}$ an.

Deute den Term $\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \;\mathrm dx -\displaystyle\int_{x_{1}}^{x_{2}} g(x) \; \mathrm dx$ geometrisch und ermittle seinen Wert.

(6 BE)

1.3

Untersuche, ob die Anstiege an den Nullstellen von $f$ den gleichen Betrag besitzen.

(6 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ .

1.4

Beurteile jede der zwei folgenden Aussagen mithilfe des dargestellten Graphen der ersten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f$ :

I Die Funktion $f$ ist im Intervall $5 \leq x \leq 7$ monoton steigend.

II Der Graph von $f$ besitzt zwei Extrempunkte.

(6 BE)

1.5

Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $\(h(x)=f$ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.

Auch der Graph der Funktion $\(f$ ist symmetrisch zu einem Punkt.

Gib die Koordinaten dieses Punkts an.

Begründe deine Angabe ausgehend vom Graphen von $h$ .

(4 BE)

Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil; dabei ist der hintere Bereich des Carports fett dargestellt. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die Profillinie des Längsschnitts des Daches kann zwischen den Punkten $A\left(x_{A} \mid 2,5\right)$ und $B(0 \mid f(0))$ modellhaft mithilfe der Gerade $g$ mit der Gleichung $y=\frac{1}{5} \cdot x+3$ beschrieben werden, zwischen den Punkten $B$ und $C(9 \mid f(9))$ mithilfe der Funktion $f$ .

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die $x$ -Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

1.6

Zeige, dass der Carport 11,50 m lang ist.

Bestimme die Höhe des Carports an seiner höchsten Stelle.

Untersuche, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von 7,05 m und einer Höhe von $3,10 \mathrm{~m}$ vollständig im Carport untergestellt werden kann.

(6 BE)

1.7

Abgesehen von einem $20 \mathrm{~cm}$ hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.

Berechne den Inhalt der verkleideten Fläche.

(5 BE)

Ausgehend vom selben Punkt des Untergrundes verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von 60° ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch $D(6 \mid 0)$ und $E(8 \mid f(8))$ dargestellt.

1.8

Stelle die Profillinie des Daches zwischen den Punkten $B$ und $C$ sowie die beiden Stützen in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

(4 BE)

1.9

Bestimme die $x$ -Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt.

(5 BE)

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1.1

Punktprobe mit $P(12|0)$

Rechenweg anzeigen

$0=0$

Folglich verläuft der Graph von $f$ durch den Punkt $P(12|0).$

Tangentengleichung aufstellen

Allgemeine Tangentengleichung:

$\(t: y= f$

$f(2)=3,125$

Erste Ableitung anzeigen

$\( f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Es ergibt sich somit folgende Tangentengleichung im Punkt $Q(2|f(2)):$

$\begin{array}[t]{rll} t: y&=& 0\cdot (x-2)+3,125 & \\[5pt] y&=& 3,125 \end{array}$

Lage der Tangente beschreiben

Die Tangente $y=3,125$ ist eine zur $x$ -Achse parallele Gerade.

1.2

Schnittstellen berechnen

$f(x)=g(x)$

Rechenweg anzeigen

Mit dem solve-Befehl ergeben sich $x_1=2$ und $x_2=10.$

Term geometrisch deuten

Der Graph von $f(x)$ und der Graph von $g(x)$ schließen im Intervall $[x_1;x_2]$ eine Fläche ein. Der Wert des Terms gibt den Inhalt dieser Fläche an.

Wert des Terms bestimmen

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx-\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}g(x)\;\mathrm dx$

Rechenweg anzeigen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Mit dem GTR ergibt sich der Wert des Terms mit:

$\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx-\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}g(x)\;\mathrm dx \;\approx \;2,56$

1.3

1. Schritt: Nullstellen bestimmen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 2: zero

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F1: ROOT

Mit dem GTR ergeben sich die Nullstellen an $x_3=-3,32$ und $x_4=12.$

2. Schritt: Anstiege an den Nullstellen berechnen

$\( |f$

Rechenweg anzeigen

$\( |f$

Rechenweg anzeigen

Die Anstiege an den beiden Nullstellen $x_3=-3,32$ und $x_4=12$ besitzen nicht die gleichen Beträge.

1.4

Aussage I : wahr

Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung des Graphen an. Da $\(f$ für $5\leq x\leq7$ , ist die Funktion in diesem Intervall monoton steigend.

Aussage II : falsch

Der Graph von $f$ besitzt einen Extrempunkt, wenn der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse schneidet.

An der Stelle $x=2$ berührt der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse, deshalb liegt hier kein Extrempunkt vor.

An der Stelle $x=8$ hingegen schneidet der Graph von $\(f$ die $x$ -Achse. Dies ist somit die einzige Extremstelle von $f.$

1.5

Koordinaten des Symmetriepunkts

$P(4|0,1)$

Begründung

Der Graph von $h$ kann aus dem Graphen von $f^{\prime}$ erzeugt werden durch eine Verschiebung um 4 in negative $x$ -Richtung und um $\frac{1}{10}$ in negative $y$ -Richtung. Damit ist auch der Graph von $f^{\prime}$ punktsymmetrisch, und zwar bezüglich des Punktes $\left(4 \mid \frac{1}{10}\right)$ .

1.6

Länge des Carports nachweisen

Die Länge des Carports entspricht dem Abstand der $x$ -Koordinaten der Punkte $A$ und $C.$

Koordinaten von $A$ einsetzen und nach $x_A$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&2,5 & \\[5pt] \dfrac{1}{5}\cdot x_A +3&=&2,5 &\\[5pt] x_A&=&-2,5 \end{array}$

Strecke zwischen $x_A$ und $x_C:$

$9\,\text{m}-(-2,5\,\text{m})=11,5 \,\text{m}$

Maximale Höhe des Carports bestimmen

Mit dem GTR werden die Koordinaten des Hochpunkts bestimmt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Die Koordinaten des Hochpunkts folgen mit $(8|3,8).$

Die höchste Stelle des Carports beträgt $3,8 \,\text{m}$ .

Wohnmobil untersuchen

Um feststellen zu können, ob das Wohnmobil vollständig unter den Carport passt, muss der Bereich berechnet werden, in welchem die Höhe des Carports über $3,10\,\text{m}$ beträgt.

$f(x)=3,1$

Rechenweg anzeigen

Lösungen für die Gleichung ergeben sich mit dem solve-Befehl und sind $x=0,8$ und $x=10,03.$

Der Carport besitzt folglich für $0,8 \leq x \leq 9$ eine Höhe $h\geq 3,1\,\text{m}.$ Ein Wohnmobil mit der Länge $7,05\,\text{m}$ und der Höhe $3,1\,\text{m}$ kann also vollständig unter dem Carport abgestellt werden.

1.7

Wohnmobil Carport Verkleidung Flächeninhalt Abi Sachsen 2022

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \displaystyle\int_{x_A}^{x_B}(g-h)\;\mathrm dx& \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{-2,5}^{0}\left(\dfrac{1}{5}\cdot x+3-0,2\right)\;\mathrm dx& \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Mit dem GTR ergibt sich: $A_1=6,37 \,\text{m}^2$

$A_2=\displaystyle\int_{x_B}^{x_C}(f(x)-h)\;\mathrm dx$

Rechenweg anzeigen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

Mit dem GTR ergibt sich: $A_2=28,52\,\text{m}^2$

Der Inhalt der verkleideten Fläche lässt sich berechnen durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&A_1+A_2 & \\[5pt] &=&6,37 \,\text{m}^2 + 28,52 \,\text{m}^2& \\[5pt] &=& 34,89 \,\text{m}^2 \end{array}$

1.8

1.9

Winkel, unter dem $\overline{DE}$ die $x$ -Achse schneidet:

$m_E=\dfrac{f(8)-f(6)}{8-6}=\dfrac{3,8-0}{8-6}=\dfrac{3,8}{2}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan (\alpha)&=& m&\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \alpha&=& \arctan \left(\dfrac{3,8}{2}\right)& \\[5pt] \alpha&\approx & 62,23^{\circ} \end{array}$

Winkel, unter dem $\overline{DF}$ die $x$ -Achse schneidet:

$60^{\circ}+62,23^{\circ}=122,23^{\circ}$

Steigung im Punkt $F$ berechnen:

$m_F=\tan(122,23)\approx -1,59$

Es gilt:

$m_F=\dfrac{f(x_F)-0}{x_F-6}$

Rechenweg anzeigen

Mit dem solve-Befehl ergib sich: $x_F\approx3,9$ als $x$ -Koordinate des Endpunkts der zweiten Stütze.

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