Teil B1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= \left(2+\frac{1}{2}\cdot x\right) \cdot \left(1-\frac{1}{2}\cdot x \right)^3.$
Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

1.1

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der y-Achse an.
Zeige, dass $G_f$ an den Stellen $x=-4$ und $x=2$ gemeinsame Punkte mit der $x$ -Achse besitzt.
$G_f$ schließt mit der $x$ -Achse im Intervall $-4\leq x \leq 2$ eine Fläche vollständig ein.
Bestimme den Inhalt dieser Fläche.
Ermittle, in welchem Verhältnis die $y$ -Achse diese Fläche teilt.

(10 BE)

1.2

Die Funktion $f$ lässt sich auch mit

$f(x)= -\frac{1}{16}\cdot x^4 + \frac{1}{8}\cdot x^3 + \frac{3}{4}\cdot x^2 -\frac{5}{2}\cdot x +2$ beschreiben.

Begründe ohne Rechnung, dass $G_f$ höchstens zwei Wendepunkte haben kann.
Bestimme den Schnittwinkel der Tangente an $G_f$ im Wendepunkt $W(-1\mid f(-1))$ mit der x-Achse.

(6 BE)

1.3

Für jeden reellen Wert von $u$ mit $-4\lt u \lt 0$ legen die Punkte $N(u\mid 0),$ $O(0\mid 0)$ und $P(u\mid f(u))$ ein Dreieck $NOP$ fest.
Bestimme $u$ so, dass der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks $NOP$ maximal ist.

(4 BE)

Im Längsschnitt eines Berghangs kann dessen Profillinie für $-5\leq x\leq 4$ modellhaft durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit

$h(x)=\dfrac{1}{1024}\cdot(8+x)\cdot(4-x)^3$ beschrieben werden (siehe Abbildung).

Grafik einer Kurve mit einer Profillinie des Berghangs und den Achsen x und y.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Es soll davon ausgegangen werden, dass der Hang in Querrichtung nicht geneigt ist. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse die Horizontale; eine Längeneinheit entspricht 100 Metern in der Wirklichkeit. Alle Höhen werden senkrecht zur Horizontalen gemessen.

1.4

Der Hochpunkt des Graphen von $h$ hat die x-Koordinate -5.
Bestimme die zugehörige y-Koordinate.
Zeige, dass der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und tiefsten Punkt des Hangs etwa $214\,\text{m}$ beträgt.
Ermittle das durchschnittliche Gefälle zwischen diesen beiden Punkten in Prozent.

(8 BE)

1.5

Der Hang wird als Skipiste genutzt. Der Tabelle kann der Zusammenhang zwischen dem Schwierigkeitsgrad von Skipisten und deren jeweiligen maximalen Gefälle entnommen werden:

Schwierigkeitsgrad	maximales Gefälle
leicht	bis 25 %
mittel	mehr als 25 % und bis 40 %
schwer	mehr als 40 %

Ermittle den Schwierigkeitsgrad der hier betrachteten Skipiste.

(3 BE)

1.6

Im Punkt $(-4\mid h(-4))$ steht senkrecht zur Horizontalen ein $2\,\text{m}$ hoher Wegweiser.
Im Punkt $(0\mid h(0))$ steht ein Wanderer mit einer Augenhöhe von $1,5\,\text{m}.$
Untersuche, ob der Wanderer den obersten Punkt des Wegweisers sehen kann.

(4 BE)

Der Berghang befindet sich in einer Nationalparkregion, zu der auch ein Museum gehört.

1.7

Erfahrungsgemäß kommen 20 % der Besucher des Museums aus dem Ausland.
80 Besucher des Museums werden zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt. Unter diesen 80 Besuchern befinden sich Besucher aus dem Ausland, deren Anzahl als binomialverteilt betrachtet wird.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

Ereignis A: Höchstens 20 dieser Besucher kommen aus dem Ausland.
Ereignis B: Es kommen mehr Besucher aus dem Ausland, als zu erwarten sind.

(5 BE)

1.8

Im Museum gibt es zwei Ausstellungen; eine Dauerausstellung und eine Sonderausstellung. Jeder Besucher des Museums besichtigt mindestens eine dieser beiden Ausstellungen. An einem Tag besichtigen 340 Besucher die Dauerausstellung und 250 Personen die Sonderausstellung. 143 Personen besichtigten beide Ausstellungen.

Bestimme die Gesamtanzahl der Besucher an diesem Tag.

Berechne für diesen Tag den Anteil der Besucher der Dauerausstellung, die auch die Sonderausstellung besichtigen.

(5 BE)

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1.1

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse

$f(0)=\left(2+\dfrac{1}{2}\cdot 0\right)\cdot \left(1-\dfrac{1}{2}\cdot 0\right)^3$ $=2$

Der Graph $G_f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $P(0\mid2)$ .

Gemeinsame Punkte mit der $x$ -Achse

Es gilt $f(-4)=0$ und $f(2)=0$ , sodass $G_f$ an den Stellen $x=-4$ und $x=2$ gemeinsame Punkte mit der $x$ -Achse besitzt.

Flächeninhalt

$A = \displaystyle\int_{-4}^{2}\left(2+\dfrac{1}{2}x\right)\left(1-\dfrac{1}{2}x\right)^3\;\mathrm dx$

Mit dem GTR folgt:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F4 (MATH) $\to$ F6 $\to$ F1: $\int \;\mathrm dx$

$A =\displaystyle\int_{-4}^{2}\left(2+\dfrac{1}{2}x\right)\left(1-\dfrac{1}{2}x\right)^3\;\mathrm dx$ $=24,3$

Flächenverhältnis

Für den Inhalt einer der beiden Teilflächen folgt mit dem GTR:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F4 (MATH) $\to$ F6 $\to$ F1: $\int \;\mathrm dx$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$A_1= 23,2$

Das Verhältnis beträgt:

$\dfrac{23,2}{24,3-23,2}=\dfrac{232}{11}$

1.2

Begründung

Für Wendestellen von $f$ muss das notwendige Kriterium $\(f$ erfüllt sein.
$f$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, $\(f$ also eine ganzrationale Funktion zweiten Grades und kann damit höchstens zwei Nullstellen haben. Somit hat $f$ höchstens zwei Wendestellen.

Schnittwinkel

Für die Steigung von $G_f$ an der Stelle $x=-1$ gilt:

$\(f$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( f$

Für den Schnittwinkel der zugehörigen Tangente mit der $x$ -Achse folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha) &=& f$

Der Schnittwinkel mit der $x$ -Achse ist etwa $73,5^{\circ}$ groß.

1.3

Das Dreieck $NOP$ besitzt im Punkt $N$ einen rechten Winkel. Der Flächeninhalt kann daher mit folgender Funktion beschrieben werden:

$A(u)=\dfrac{1}{2}\cdot (-u)\cdot f(u)$

Das Maximum von $A$ und der zugehörige Wert für $u$ lässt sich mit dem GTR bestimmen.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

OPTN $\to$ F4 (CALC) $\to$ F6 $\to$ F2 (FMax)

Der Taschenrechner liefert den Wert $u\approx-2,94$ , für den das Dreieck $NOP$ maximal wird.

1.4

$h(-5)= \dfrac {1}{1024}\cdot (8-5)\cdot (4+5)^3$ $=\dfrac{2187}{1024}$

Der Hochpunkt hat die Koordinaten $H\left(-5\mid \dfrac{2187}{1024}\right).$

Höhenunterschied

Mit der Minimum-Funktion des GTR ergibt sich der tiefste Punkt des Graphen von $h$ im Bereich $-5\leq x \leq 4$ zu $(4\mid 0)$ und der höchste Punkt zu $(-5\mid 2,14).$

$h(-5)-h(4)=h(-5)-0=\dfrac{2187}{1024}$ $\approx 2,14$

Der Höhenunterschied beträgt folglich ca. $214\,\text{m}.$

Durchschnittliches Gefälle

$\dfrac {h(4)-h(-5)}{9}=\dfrac{-2,14}{9}\approx -0,24$

Das durchschnittliche Gefälle beträgt $24\,\%.$

1.5

Das maximale Gefälle entspricht dem Minimum von $\(h$

Ableitung anzeigen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

OPTN $\to$ F4 (CALC) $\to$ F6 $\to$ F1 (FMin)

Der Taschenrechner liefert ein Minimum an der Stelle $x=-2$ mit $\(h$

Das maximale Gefälle beträgt also ca. $42\,\%,$ sodass es sich um eine schwere Skipiste handelt.

1.6

Der Wanderer kann den obersten Punkt des Wegweisers sehen, wenn die Gerade durch die beiden zugehörigen Punkte den Graphen nicht schneidet.

$h(-4)+0,02=2,02$

$h(0)+0,015=0,515$

Steigung der Geraden $g$ durch die Punkte $P_1(-4\mid 2,02)$ und $P_2(0\mid 0,515):$

$m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{0,515-2,02}{4}$ $=-\dfrac{301}{800}=-0,37625$

Wegen $P_2(0\mid 0,515)$ folgt für die Geradengleichung:

$g: y=-0,37625x+0,515$

Die Schnittstellen von $g$ und $h$ können mit dem GTR bestimmt werden.

Die Gerade $g$ schneidet den Graphen von $h$ im Intervall $-4\leq x\leq0$ an den Stellen $-3,82$ und $-2,04,$ sodass der Wanderer den obersten Punkt des Wegweisers nicht sieht.

1.7

$X$ beschreibt die Anzahl der Besucher aus dem Ausland und ist binomialverteilt mit $B_{80;0,2}$

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten können mit dem GTR bestimmt werden:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd

$P(A)=P(X\leq 20)\approx 0,8934$

Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens $20$ Besucher aus dem Ausland kommen, beträgt ca. $89,34\,\%.$

Der Erwartungswert von $X$ ergibt sich zu $E(X)= 80\cdot 0,2 = 16.$

$P(B)=P(X\geq 17)$ $=1-P(X\leq 16)\approx 0,4336$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Besucher aus dem Ausland kommen, als zu erwarten sind, beträgt $43,36\,\%$ .

1.8

Anzahl der Personen, die nur die Dauerausstellung besucht haben: $340 -143 = 197$

Anzahl der Personen, die nur die Sonderausstellung besucht haben: $250 -143 = 107$

$197 + 107 + 143=447$

Die Gesamtanzahl der Besucher an diesem Tag beträgt $447.$

Anteil

Insgesamt haben $340$ Besucher die Dauerausstellung besucht. Davon haben $143$ auch die Sonderausstellung besucht:

$\dfrac{143}{340}\approx 0,4206$

Etwa $42\,\%$ der Besucher der Dauerausstellung besuchten auch die Sonderausstellung.

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