Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 1

In einer Tüte befinden sich 3 rote, 5 grüne und 4 weiße Gummibärchen.
Es werden zwei Gummibärchen nacheinander, blind und ohne Zurücklegen gezogen.

Zeichne ein vollständiges Baumdiagramm.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zwei weiße Gummibärchen zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein rotes Gummibärchen zu ziehen.

(2 Pkt.)

Im Jahr 2016 wurden bei einer Zählung in Afrika noch $352\,271$ Elefanten gezählt. In den Jahren zuvor hatte die Zahl der Elefanten um durchschnittlich $8\,\%$ pro Jahr abgenommen.

Berechne die Anzahl der voraussichtlich noch lebenden Elefanten in Afrika im Jahr 2025 bei gleichbleibendem jährlichem prozentualem Rückgang von $8\,\%.$

In Botswana lebten 2016 noch $130\,421$ Elefanten, in Simbabwe $82\,304$ Elefanten und in Kenia $25\,959$ Elefanten. Der Rest lebte verstreut über 15 weitere afrikanische Staaten.

Erstelle zu dieser Aussage ein Kreisdiagramm.

(2 Pkt.)

Auf diesem Bild gleicht der Höcker eines Dromedars annähernd einer mathematischen Parabel.

Bestimme die Gleichung der Parabel mit Hilfe des Punktes $P.$

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel $S(1\mid0)$ wird um $\boldsymbol{4}$ Einheiten nach rechts und $\boldsymbol{3}$ Einheiten nach unten verschoben.
Zudem wird sie um den Faktor $\boldsymbol{3}$ gestreckt (Parabel wird steiler bzw. enger).

Bestimme die Gleichung dieser Parabel.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 2

Verkaufszahlen eines Smartphoneherstellers

Im Jahr 2013 steigerten sich die Verkaufszahlen zum Vorjahr um $20,6\,\%.$

Berechne die Verkaufszahl für das Jahr 2013.
Entnimm dem Schaubild die größte absolute Steigerung zwischen zwei Folgejahren.
Zwischen welchen beiden Folgejahren war die prozentuale Steigerung am größten?

Das Schaubild zeigt einmal ein negatives Wachstum auf.

Gib das prozentuale negative Wachstum im Vergleich zum Vorjahr an.

(2 Pkt.)

Ein Flugzeug fliegt in einer konstanten Flughöhe von $10\,000\,\text{m}$ über dem Meer.
Die Erdkrümmung wird vernachlässigt.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Flugstrecke zwischen den Punkten $A$ und $B.$

Das Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von $960\,\text{km/h}$ von $B$ nach $C.$ Nach einer Minute hat das Flugzeug Punkt $C$ erreicht.

Berechne die Strecke $\overline{BC}.$
Berechne den Winkel $\alpha.$

(2 Pkt.)

Ein quadratischer Schulhof wurde vergrößert. Dazu wurde der Schulhof um $8\,\text{m}$ verlängert und um $4\,\text{m}$ verbreitert. Der Schulhof hat nun eine Fläche von $725\,\text{m}^2.$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Stelle die Gleichung zur Flächenberechnung des gesamten, vergrößerten Schulhofs auf.
Berechne die Länge und Breite des neuen Schulhofs.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 3

Das abgebildete Zahlenschloss (5 Einstellräder mit den Ziffern 0 bis 9) kann man nur mit einer 5-stelligen Ziffernfolge öffnen.

Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei denen eine Ziffer genau einmal vorkommt?

(2 Pkt.)

Ein Tablet kostet $695\,€.$ Der Händler bietet folgende Finanzierung an:

Anzahlung: $250\,€$
Monatsrate: $80\,€$
Zinssatz: $3,6\,\%$ p.a.

Vervollständige diese Tabelle für die Finanzierung bis zur endgültigen Bezahlung.

Tabelle anzeigen

Wie viel Euro müssen für das Tablet insgesamt bezahlt werden?

(2 Pkt.)

Das Kunstwerk (Hohlzylinder) hat einen Durchmesser von $\boldsymbol{d =2,40\,\text{m}}.$ Die Tiefe und Breite betragen jeweils $\boldsymbol{a=20\, \text{cm}}.$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Bestimme das Volumen des Kunstwerks.

Das Kunstwerk steht auf einer Halbkugel mit dem gleichen Durchmesser.

Bestimme das Volumen und die Oberfläche (ohne die kreisförmige Grundfläche) der Halbkugel.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 4

Am 31.12.2005 hatte die Aktie A einen Wert von $200,00\,€.$ In den folgenden 7 Jahren sank ihr Wert um jährlich durchschnittlich $1, 1\,\%.$
Danach stieg der Wert der Aktie bis zum 31.12.2018 pro Jahr im Durchschnitt um $2,2\,\%.$

Berechne den Wert der Aktie am 31.12.2018.

Die Aktie B hatte am 31.12.2012 einen Wert von $53,00\,€$ .
Am 31.12.2018 wurde diese Aktie für $64,77\,€$ verkauft.

Berechne das durchschnittliche jährliche Wachstum der Aktie.

(2 Pkt.)

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Höhe von Turm 2.
Berechne den Winkel $\alpha.$

(2 Pkt.)

Von einer Kugel mit einem Volumen von $523,6\,\text{cm}^3$ wurde oben und unten ein Stück weggeschnitten. Die dadurch entstandenen Kreisflächen haben je einen Flächeninhalt von $28,27\,\text{cm}^2.$

Berechne den Radius der ursprünglichen Kugel und die Höhe $h_1$ des entstandenen Körpers (Abb. 1).

Abb. 1
(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Aus einem anderen Körper wird ein Kegel herausgefräst (Abb. 2).

Abb. 2
(Skizze nicht maßstabsgetreu)

$r_2=5,5\,\text{cm}$
$b=10\,\text{cm}$

Berechne die Höhe $h_2$ .

(2 Pkt.)

Lösung 1

Baumdiagramm zeichnen

Wahrscheinlichkeit berechnen, zwei weiße Gummibärchen zu ziehen

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{2x weiß})&=&\dfrac{4}{12}\cdot\dfrac{3}{11} \\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{1}{11}} \\[5pt] &\approx&0,0909 \\[5pt] &=&\boldsymbol{9,09\,\%} \\[5pt] \end{array}$

Wahrscheinlichkeit berechnen, mindestens ein rotes Gummibärchen zu ziehen

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{mind. 1x rot})&=&1-P(\text{kein rot}) &\\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{5}{11}} &\\[5pt] &\approx&0,455 &\\[5pt] &=&\boldsymbol{45,5\,\%} \end{array}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Anzahl der Elefanten im Jahr 2025 berechnen

Gegeben:

$W_0=352\,271$
$n=2025-2016=9$
$p\,\%=8\,\%$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=& W_0\cdot \left(1-\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] W_9&=& 352\,271\cdot \left(1-\dfrac{8}{100}\right)^9\\[5pt] W_9&\approx& \boldsymbol{166\,329} \end{array}$

Im Jahr 2025 werden voraussichtlich noch $166\,329$ Elefanten in Afrika leben.

Kreisdiagramm erstellen

Um das Kreisdiagramm zu erstellen, werden zuerst die Mittelpunktswinkel der Segmente berechnet:

Mittelpunktswinkel für das Segment „Botswana“

Dreisatz anzeigen

$\dfrac{360}{352\,271}\cdot 130\,421^{\circ}\approx\boldsymbol{133^{\circ}}$

Mittelpunktswinkel für das Segment „Simbabwe“

Dreisatz anzeigen

$\dfrac{360}{352\,271}\cdot 82\,304^{\circ}\approx\boldsymbol{84^{\circ}}$

Mittelpunktswinkel für das Segment „Kenia“

Dreisatz anzeigen

$\dfrac{360}{352\,271}\cdot 25\,959^{\circ}\approx\boldsymbol{27^{\circ}}$

Mittelpunktswinkel für das Segment „15 weitere afrikanische Staaten“

$360^{\circ}-133^{\circ}-84^{\circ}-27^{\circ}=\boldsymbol{116^{\circ}}$

Damit lässt sich nun das Kreisdiagramm zeichnen:

Gleichung der Parabel bestimmen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d\mid e).$

Bei dieser Parabel liegt der Scheitelpunkt bei $S(0\mid0).$

Der Scheitelpunkt in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt, ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& a(x-d)^2+e \\[5pt] y&=& a(x-0)^2+0 \\[5pt] y&=& ax^2 \end{array}$

Die gesuchte Parabelgleichung hat also die Form $y=ax^2.$

Der Punkt $P(4\mid-2)$ in die Parabelgleichung eingesetzt, ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2\\[5pt] -2&=& a\cdot 4^2\\[5pt] -2&=& a\cdot 16&\quad \scriptsize \mid\;:16 \\[5pt] \dfrac{-2}{16}&=& a& \\[5pt] a&=&-\dfrac{1}{8} \end{array}$

Somit hat die Parabel die Gleichung $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{8}x^2.}$

Gleichung einer neuen Parabel bestimmen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel lautet $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d\mid e).$

Scheitelpunkt $S(1\mid0)$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& a(x-d)^2+e \\[5pt] y&=& a(x-1)^2+0 \\[5pt] y&=& a(x-1)^2 \end{array}$

Parabel um $4$ Einheiten nach rechts verschieben

$\begin{array}[t]{rll} y&=& a(x-1)^2\\[5pt] y&=& a(x-1-4)^2\\[5pt] y&=& a(x-5)^2 \end{array}$

Parabel um $3$ Einheiten nach unten verschieben

$\begin{array}[t]{rll} y&=& a(x-5)^2\\[5pt] y&=& a(x-5)^2-3 \end{array}$

Parabel strecken

$\boldsymbol{y=3(x-5)^2-3}$

Lösung 2

Verkaufszahl für das Jahr 2013 berechnen

Gegeben:

$W_0=125,05\,\text{Mio.}$
$n=1\,\text{Jahr}$
$p\,\%=20,6\,\%$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\\[5pt] W_1&=&125,05\,\text{Mio.}\cdot \left(1+\dfrac{20,6}{100}\right)^1\\[5pt] W_1&\approx&\boldsymbol{150,81\,\text{Mio.}} \end{array}$

Zwischen welchen beiden Folgejahren war die absolute Steigerung am größten?

Tabelle anzeigen

Verkaufszahl in Mio. Vorjahr	Verkaufszahl in Mio. darauffolgendes Jahr	Absolute Steigerung in Mio.
$1,90$	$11,63$	$11,63-1,90=9,73$
$11,63$	$20,72$	$20,72-11,63=9,09$
$20,72$	$39,99$	$39,99-20,72=19,27$
$39,99$	$72,29$	$72,29-39,99=32,3$
$72,29$	$125,05$	$125,05-72,29=52,76$
$125,05$	$150,81$	$150,81-125,05=25,76$
$150,81$	$169,22$	$169,22-150,81=18,41$
$169,22$	$231,22$	$231,22-169,22=\boldsymbol{62}$
$231,22$	$211,88$	$211,88-231,22=-19,34$

Die größte absolute Steigerung war zwischen 2015 und 2014.

Zwischen welchen beiden Folgejahren war die prozentuale Steigerung am größten?

Formel zur Berechnung der prozentualen Steigerung:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot q^n & \\[5pt] W_n&=&W_0\cdot q^1 &\\[5pt] W_n&=&W_0\cdot q&\quad \scriptsize \mid\; :W_0\\[5pt] \dfrac{W_n}{W_0}&=& q&\\[5pt] q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(q-1)\cdot 100\,\%$

Prozentuale Steigerung 2007 - 2008

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{11,63}{1,90}\\[5pt] q&\approx&6,12 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(6,12-1)\cdot 100\,\%=\boldsymbol{512\,\%}$

Prozentuale Steigerung 2008 - 2009

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{20,72}{11,63}\\[5pt] q&\approx&1,78 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,78-1)\cdot 100\,\%= 78\,\%$

Prozentuale Steigerung 2009 - 2010

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{39,99}{20,72}\\[5pt] q&\approx&1,93 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,93-1)\cdot 100\,\%= 93\,\%$

Prozentuale Steigerung 2010 - 2011

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{72,29}{39,99}\\[5pt] q&\approx&1,81 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,81-1)\cdot 100\,\%= 81\,\%$

Prozentuale Steigerung 2011 - 2012

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{125,05}{72,29}\\[5pt] q&\approx&1,73 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,73-1)\cdot 100\,\%= 73\,\%$

Prozentuale Steigerung 2012 - 2013

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{150,81}{125,05}\\[5pt] q&\approx&1,21 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,21-1)\cdot 100\,\%= 21\,\%$

Prozentuale Steigerung 2013 - 2014

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{169,22}{150,81}\\[5pt] q&\approx&1,12 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,12-1)\cdot 100\,\%= 12\,\%$

Prozentuale Steigerung 2014 - 2015

$\begin{array}[t]{rll} q&=&\dfrac{W_n}{W_0}&\\[5pt] q&=&\dfrac{231,22}{169,22}\\[5pt] q&\approx&1,37 \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1,37-1)\cdot 100\,\%= 37\,\%$

Die größte prozentuale Steigerung war zwischen 2007 und 2008.

Das prozentuale negative Wachstum angeben

Gegeben:

$W_0=231,22\,\text{Mio.}$
$n=1\,\text{Jahr}$
$W_n=211,88\,\text{Mio.}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot q^n&\\[5pt] W_1&=&W_0\cdot q^1&\quad \scriptsize \mid\; :W_0\\[5pt] \dfrac{W_1}{W_0}&=&q&\\[5pt] q&=&\dfrac{211,88\,\text{Mio.}}{231,22\,\text{Mio.}}&\\[5pt] q&\approx&0,92&\\[5pt] \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1-q)\cdot 100\,\%$ $=(1-0,92)\cdot 100\,\%=\boldsymbol{8\,\%}$

Das negative Wachstum beträgt $8\,\%.$

Flugstrecke zwischen den Punkten $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{B}$ berechnen

Größe des Winkels $\delta$ berechnen

$\delta=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$

Größe des Winkels $\beta$ berechnen

$\beta=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$

Länge von $\overline{AM}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\delta)&=&\dfrac{\overline{AM}}{\overline{MD}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{MD}\\[5pt] \tan(\delta)\cdot \overline{MD}&=&\overline{AM}\\[5pt] \overline{AM}&=&\tan(\delta)\cdot \overline{MD}\\[5pt] \overline{AM}&=&\tan(36^{\circ})\cdot 10\,000\,\text{m}\\[5pt] \overline{AM}&\approx&7\,265,43\,\text{m} \end{array}$

Länge von $\overline{MB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{MB}}{\overline{MD}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{MD}\\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{MD}&=&\overline{MB} \\[5pt] \overline{MB}&=&\tan(\beta)\cdot \overline{MD} \\[5pt] \overline{MB}&=&\tan(60^{\circ})\cdot 10\,000\,\text{m} \\[5pt] \overline{MB}&\approx&17\,320,51\,\text{m} \end{array}$

Länge von $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=&\overline{AM}+\overline{MB} \\[5pt] \overline{AB}&=&7\,265,43\,\text{m}+17\,320,51\,\text{m} \\[5pt] \overline{AB}&=&\boldsymbol{24\,585,94\,\text{m}} \end{array}$

Die Flugstrecke zwischen $A$ und $B$ beträgt $24\,585,94\,\text{m}.$

Länge von $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

Dafür wird die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit nach $s$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot t \\[5pt] v\cdot t&=&s & \\[5pt] s&=&v\cdot t & \\[5pt] s&=&960\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 1\,\text{min} & \\[5pt] s&=&960\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \dfrac{1}{60}\,\text{h} & \\[5pt] s&=&\boldsymbol{16\,\text{km}} & \\[5pt] s&=&\boldsymbol{16\,000\,\text{m}} & \\[5pt] \end{array}$

Die Länge von $\overline{BC}$ beträgt $16\,000\,\text{m}.$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BF}} & \\[5pt] \tan(\gamma)&=&\dfrac{16\,000\,\text{m}}{10\,000\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \tan(\gamma)&\approx&58^{\circ} \end{array}$

Daraus folgt: $\alpha=90^{\circ}-58^{\circ}=\boldsymbol{32^{\circ}}$

Gleichung zur Flächenberechnung aufstellen

$A=(a+4\,\text{m})\cdot(a+8\,\text{m})$

Länge und Breite des neuen Schulhofs berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&(a\cdot 4\,\text{m})\cdot(a\cdot 8\,\text{m}) &\\[5pt] 725\,\text{m}^2&=&(a\cdot 4\,\text{m})\cdot(a\cdot 8\,\text{m})\\[5pt] 725\,\text{m}^2&=&a^2+8\,\text{m}\cdot a+4\,\text{m}\cdot a+32\,\text{m}^2 &\\[5pt] 725\,\text{m}^2&=&a^2+12\,\text{m}\cdot a+32\,\text{m}^2 \quad \scriptsize \mid\; -725\,\text{m}^2\\[5pt] 0&=&a^2+12\,\text{m}\cdot a-693\,\text{m}^2 \\[5pt] a_{1/2}&=&-\dfrac{12\,\text{m}}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{12\,\text{m}}{2}\right)^2+693\,\text{m}^2} \\[5pt] a_{1/2}&=&-6\,\text{m}\pm\sqrt{729\,\text{m}^2} \\[5pt] a_{1}&=&-6+27\,\text{m}=21\,\text{m} \\[5pt] a_{2}&=&-6-27\,\text{m}=-33\,\text{m} \end{array}$

Da eine Längenangabe nicht negativ sein kann, gilt: $a=21\,\text{m}$

Daraus folgt für die Länge und Breite des neuen Schulhofs:

$\ell=21\,\text{m}+4\,\text{m}=\boldsymbol{25\,\text{m}}$
$b=21\,\text{m}+8\,\text{m}=\boldsymbol{29\,\text{m}}$

Lösung 3

Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Da es $10$ Ziffern und $5$ Einstellräder gibt, gibt es $10^5=\boldsymbol{100\,000}$ Möglichkeiten.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei denen eine Ziffer genau einmal vorkommt?

Es gibt $10\cdot 9\cdot8\cdot 7\cdot6=\boldsymbol{30\,240}$ Möglichkeiten, dass eine Ziffer genau einmal vorkommt.

Tabelle vervollständigen

Kredithöhe
$695,00\,€-250,00\,€=445,00\,€$

Zinssatz pro Monat
$3,6\,\%:12=0,036:12=0,003$

Tabelle anzeigen

Monat	Kredit in € Monatsanfang	Rate in €	Zins in €	Tilgung in €	Kredit in € Monatsende
$1$	$445,00$	$80,00$	$1,34$	$78,66$	$366,34$
$2$	$366,34$	$80,00$	$1,10$	$78,90$	$287,44$
$3$	$287,44$	$80,00$	$0,86$	$79,14$	$208,30$
$4$	$208,30$	$80,00$	$0,62$	$79,38$	$128,92$
$5$	$128,92$	$80,00$	$0,39$	$79,61$	$49,31$
$6$	$49,31$	$49,31$	$0,15$	$49,46$	$0,00$

Beispiel zur Berechnung der Zinsen
$445,00\,€\cdot 0,003\approx1,34\,€$

Beispiel zur Berechnung der Tilgung
$80,00\,€-1,34\,€=78,66\,€$

Beispiel zur Berechnung des Kredits am Monatsende
$445,00\,€-78,66\,€=366,34\,€$

Wie viel Euro müssen für das Tablet insgesamt bezahlt werden?

Dafür müssen der Kaufpreis und die Zinsen an die Bank addiert werden:

$695\,€+1,34\,€+1,10\,€+0,86\,€$ $+0,62\,€+0,39\,€+0,15\,€=\boldsymbol{699,46\,€}$

Es müssen insgesamt $699,46\,€$ für das Tablet gezahlt werden.

Volumen des Kunstwerks bestimmen

Formel zur Volumenberechnung eines Hohlzylinders: $V_H=V_1-V_2$

$V_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& \pi\cdot r_1^{\,\,2}\cdot h \\[5pt] V_1&=& \pi\cdot (1,20\,\text{m})^{2}\cdot 0,20\,\text{m} \\[5pt] V_1&\approx&0,905\,\text{m}^3 \end{array}$

$r_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} r_2&=&(d:2)-a \\[5pt] r_2&=&(2,40:2\,\text{m})-0,20\,\text{m} \\[5pt] r_2&=&1,00\,\text{m} \end{array}$

$V_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \pi\cdot r_2^{\,\,2}\cdot h \\[5pt] V_2&=& \pi\cdot (1,00\,\text{m})^{2}\cdot 0,20\,\text{m} \\[5pt] V_2&\approx&0,628\,\text{m}^3 \end{array}$

$V_H$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_H&=& V_1-V_2 \\[5pt] V_H&=& 0,905\,\text{m}^3-0,628\,\text{m}^3 \\[5pt] V_H&=& \boldsymbol{0,277\,\text{m}^3} \end{array}$

Volumen der Halbkugel bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (1,20\,\text{m})^3& \\[5pt] V&\approx&\boldsymbol{3,62\,\text{m}^3} \end{array}$

Oberflächeninhalt der Halbkugel bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& \dfrac{1}{2}\cdot4\cdot \pi\cdot r^2\\[5pt] O&=& \dfrac{1}{2}\cdot4\cdot \pi\cdot (1,20\,\text{m})^2\\[5pt] O&\approx& \boldsymbol{9,05\,\text{m}^2} \end{array}$

Lösung 4

Wert der Aktie am 31.12.2018 berechnen

Wert der Aktie nach 7 Jahren (am 31.12.2012)

Gegeben:

$W_0=200,00\,€$
$n=7\,\text{Jahre}$
$p\,\%=1,1\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot \left(1-\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] W_7&=&200,00\,€\cdot \left(1-\dfrac{1,1}{100}\right)^7 \\[5pt] W_7&\approx&185,10\,€ \end{array}$

Wert der Aktie nach weiteren 6 Jahren (am 31.12.2018)

Gegeben:

$W_0=185,10\,€$
$n=6\,\text{Jahre}$
$p\,\%=2,2\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] W_6&=&185,10\,€\cdot \left(1+\dfrac{2,2}{100}\right)^6 \\[5pt] W_6&\approx&\boldsymbol{210,92\,€} \end{array}$

Der Wert der Aktie am 31.12.2018 beträgt $210,92\,€.$

Das durchschnittliche jährliche Wachstum der Aktie berechnen

Gegeben:

$W_0=53,00\,€$
$n=2018-2012=6$
$W_n=64,77\,€$

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot q^n \\[5pt] W_6&=&W_0\cdot q^6 &\quad \scriptsize \mid\;:W_0 \\[5pt] \dfrac{W_6}{W_0}&=&q^6 \\[5pt] q^6&=&\dfrac{W_6}{W_0} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[6]{\,\,} \\[5pt] q&=&\sqrt[6]{\dfrac{W_6}{W_0}} \\[5pt] q&=&\sqrt[6]{\dfrac{64,77\,€}{53,00\,€}} \\[5pt] q&\approx&1,034 \\[5pt] \end{array}$

$\Rightarrow p\,\%=(1-q)\cdot 100\,\%$ $=(1-1,034 )\cdot 100\,\%=\boldsymbol{3,4\,\%}$

Das durchschnittliche jährliche Wachstum der Aktie beträgt $3,4\,\%.$

Höhe von Turm 2 berechnen

Länge von $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(77,5^{\circ})&=&\dfrac{1\,\text{km}}{\overline{AB}}\\[5pt] \tan(77,5^{\circ})&=&\dfrac{1\,000\,\text{m}}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AB} \\[5pt] \tan(77,5^{\circ})\cdot \overline{AB} &=&1\,000\,\text{m}&\quad \scriptsize \mid\;:\tan(77,5^{\circ})\\[5pt] \overline{AB}&=&\dfrac{1\,000\,\text{m}}{\tan(77,5^{\circ})}\\[5pt] \overline{AB}&\approx&221,69\,\text{m} \end{array}$

Länge von $\overline{AC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=&\overline{AB}+\overline{BC} \\[5pt] \overline{AC}&=&221,69\,\text{m}+24\,\text{m} \\[5pt] \overline{AC}&=&\boldsymbol{245,69\,\text{m}} \end{array}$

Turm 2 hat eine Höhe von $245,69\,\text{m}.$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\gamma)&=&\dfrac{1\,000\,\text{m}}{24\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \gamma&\approx&88,6^{\circ} \end{array}$

Damit folgt für den Winkel $\alpha:$

$\begin{array}[t]{rll} \alpha&=&180^{\circ}-77,5^{\circ}-88,6^{\circ}\\[5pt] \alpha&=&\boldsymbol{13,9^{\circ}} \end{array}$

Der Winkel $\alpha$ hat eine Größe von $13,9^{\circ}.$

Radius der ursprünglichen Kugel berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{3}{4} \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot V&=&\pi\cdot r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3} &\quad \scriptsize \mid\;: \pi\\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{V}{\pi}&=&r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3} &\\[5pt] r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3}&=&\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{V}{\pi} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,}\\[5pt] r_{\text{Kugel}}&=&\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{V}{\pi} }\\[5pt] r_{\text{Kugel}}&=&\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{523,6\,\text{cm}^3}{\pi}}\\[5pt] r_{\text{Kugel}}&\approx&\boldsymbol{5,0\,\text{cm}} \end{array}$

Der Radius beträgt $5,0\,\text{cm}.$

Höhe $\boldsymbol{h_1}$ des entstandenen Körpers berechnen

$r_{\text{Kreis}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\pi\cdot r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2} &\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{A}{\pi}&=&r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2} & \\[5pt] r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2}&=&\dfrac{A}{\pi} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] r_{\text{Kreis}}&=&\sqrt{\dfrac{A}{\pi}} \\[5pt] r_{\text{Kreis}}&=&\sqrt{\dfrac{28,27\,\text{cm}^2}{\pi}} \\[5pt] r_{\text{Kreis}}&\approx&3,00\,\text{cm} \end{array}$

Länge von $\overline{AM}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AM}^2+r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2}&=&r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,2} \\[5pt] \overline{AM}^2&=&r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2}-r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2} \quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{AM}&=&\sqrt{r_{\text{Kugel}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2}-r_{\text{Kreis}}^{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2} }\\[5pt] \overline{AM}&=&\sqrt{(5,0\,\text{cm})^2-(3,0\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{AM}&=&4\,\text{cm} \end{array}$

Damit folgt für $h_1$ :

$\begin{array}[t]{rll} h_1&=&2\cdot \overline{AM} \\[5pt] h_1&=&2\cdot4\,\text{cm}\\[5pt] h_1&=&\boldsymbol{8\,\text{cm}} \end{array}$

Die Höhe $h_1$ beträgt $8\,\text{cm}.$

Höhe $\boldsymbol{h_2}$ berechnen

Satz des Pythagoras anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} r_2^2+h_2^2&=&b^2 &\quad \scriptsize \mid\;- r_2^2\\[5pt] h_2^2&=&b^2-r_2^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] h_2&=&\sqrt{b^2-r_2^2} \\[5pt] h_2&=&\sqrt{(10\,\text{cm})^2-(5,5\,\text{cm})^2} &\quad \scriptsize \mid\;\\[5pt] h_2&\approx&\boldsymbol{8,35\,\text{cm}} \end{array}$

Die Höhe $h_2$ beträgt $8,35\,\text{cm}.$