Wahlteil B

Aufgabe 1

Der Würfel hat die Seitenlänge $a=5\,\text{cm}$ .
Der Durchmesser der Grundfläche und die Höhe des Kegels entsprechen der Kantenlänge des Würfels.
( $d _{\text {Grundfläche Kegel }}= h _{\text {Kegel }}= a _{\text {Würfel }}$ )

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Bestimme das Volumen des Kegels.
Berechne den prozentualen Anteil des Kegelvolumens am Würfelvolumen.

Bestimme den Winkel $\alpha$ oder $\beta$ des Kegels.

Wird ein Kegel auf halber Höhe zur Grundfläche geteilt, gilt: $d_2=\frac{d_1}{2}$

Überprüfe mithilfe des Strahlensatzes, ob diese Aussage richtig ist.

(5 Pkt.)

In einem Beutel befinden sich insgesamt $15$ Kugeln (rot, gelb und blau). Es werden $2$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Wahrscheinlichkeit $P ( \text{rot/rot} )=\frac{20}{210};$ $P( \text{gelb/gelb})=\frac{30}{210}$ und $P (\text{blau/blau})=\frac{12}{210}$ .

Erstelle ein Baumdiagramm.
Bestimme die Anzahl der roten, gelben und blauen Kugeln.

In einem anderen Beutel befinden sich $26$ gold-, $13$ silber- und $19$ bronzefarbene Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine goldene und eine silberne Kugel gezogen werden. Die Reihenfolge spielt keine Rolle.

(5 Pkt.)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Parabel $y=-0,5 x^2+2$ .

Erstelle eine Wertetabelle im Bereich $-3 \leq x \leq 3$ .
Zeichne die Parabel in ein geeignetes Koordinatensystem

Die Parabel wird an der Geraden $y=-1$ gespiegelt.

Bestimme die Funktionsgleichung der gespiegelten Parabel.
Löse die Gleichung: $2 x-4=-2 x^2+8$

(5 Pkt.)

Das Bild zeigt eine Kugel aus Bienenwachs, die Kugel ist innen hohl.
Das Volumen der Luft im Inneren der Kugel beträgt $998\,306\,\text{cm}^3$ .

Berechne den inneren Durchmesser.

Die Kugel aus Bienenwachs hat eine Wandstärke von $3\,\text{cm}$ .
$1\,\text{cm}^3$ Bienenwachs wiegt $0,9\,\text{g}$ .

Berechne das Gewicht des Bienenwachses in $\text{kg}$ .

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Honigproduktion in Deutschland (Angabe in Tonnen)

Der in Deutschland produzierte Honig deckt $20\,\%$ des Honigbedarfs in Deutschland.

Berechne die Menge an importiertem Honig in den Jahren $2012$ und $2018.$

(5 Pkt.)

Aufgabe 3

Ein Tangram ist ein Quadrat, das in $7$ Teile geteilt wurde. Dabei entstehen $5$ gleichschenklige Dreiecke, ein Quadrat und ein Parallelogramm.

In diesem Tangram haben die beiden großen Dreiecke jeweils einen Flächeninhalt von $36\,\text{cm}^2$ .

Berechne die Seitenlänge $a$ des gesamten Quadrates.
Bestimme den jeweiligen prozentualen Anteil der Flächen $A1$ und $A2$ an der gesamten Fläche.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Eine kanadische Firma nutzt das Tangram auf einer Postkarte.
Die Herstellungskosten einer solchen Postkarte betragen $54\,\text{ct.}$
Die Firma verkauft die Karte für $85\,\text{ct.}$ Darin enthalten sind $5 \%$ Mehrwertsteuer.

Berechne den Gewinn.

(5 Pkt.)

Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von $192\,\text{cm}^2$ .
Die lange Seite ist um $4\,\text{cm}$ länger als die kurze Seite.

Stelle eine Gleichung auf.
Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.

Merle behauptet:
„Wenn ich die beiden Seitenlängen eines Rechtecks verdopple, dann verdoppelt sich auch immer der Flächeninhalt des Rechtecks.“

Hat Merle recht? Begründe rechnerisch.

(5 Pkt.)

Aufgabe 4

Herr Klausen legt $8\,000,00\,€$ für drei Jahre an. Die Zinsen werden mitverzinst, der Zinssatz steigt mit jedem Jahr an. Im ersten Jahr wird seine Anlage mit $0,8\,\%$ verzinst. Im zweiten Jahr werden ihm $100,80\,€$ Zinsen gutgeschrieben. Nach Ablauf der drei Jahre hat er ein Guthaben von $8\,368,92\,€$ angespart.

Berechne die Zinssätze für das zweite und dritte Jahr.
Stelle die jährlichen Zinsen in einem aussagekräftigen Diagramm dar.

Frau Bleich legt $8\,000,00\,€$ bei der H-Bank an.

H-Bank
Zinssatz:	$1,4\,\%$ p.a.
Laufzeit:	$10$ Jahre
Zinsen werden mitverzinst.

Welchen Betrag bekommt Frau Bleich nach Ablauf von $10$ Jahren ausbezahlt?

Frau Bleich möchte mit ihrer Geldanlage in diesen $10$ Jahren mindestens eine Wertsteigerung von $14,5\,\%$ erzielen.

Gelingt ihr dies? Begründe.

(5 Pkt.)

Das Viereck hat einen Flächeninhalt von $A=162,8\,\text{cm}^2$ .

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Berechne $x.$
Berechne den Winkel $\alpha.$

Ein Parallelogramm hat einen Umfang von $25,16\,\text{cm}$ .
Die beiden kurzen Seiten sind um $30\,\%$ kürzer als die langen.

Berechne die Längen $a$ und $b.$

(5 Pkt.)

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Lösung 1

Kegelvolumen bestimmen

$V_\text{Kegel}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$

$V_\text{Kegel}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (2,5\,\text{cm})^2\cdot (5\,\text{cm})$

$V_\text{Kegel}\approx 32,72\,\text{cm}^3$

Prozentualen Anteil berechnen

$V_\text{Würfel}=a^3$

$V_\text{Würfel}=(5\,\text{cm})^3=125\,\text{cm}^3$

Anteil berechnen:

$\dfrac{32,72\,\text{cm}^3}{125\,\text{cm}^3}\approx 0,262=26,2\,\%$

Winkel bestimmen

$\tan{\alpha}=\dfrac{h}{r}$

$\tan{\alpha}=\dfrac{5\,\text{cm}}{2,5\,\text{cm}}$

$\alpha\approx 63,4^\circ$

Mit Strahlensatz Aussage überprüfen

$\dfrac{h}{\frac{h}{2}}=\dfrac{\frac{d_1}{2}}{\frac{d_2}{2}}$

Anstelle von $\dfrac{h}{\frac{h}{2}}$ kann auch $h\cdot \dfrac{2}{h}$ geschrieben werden. Anstelle von $\dfrac{\frac{d_1}{2}}{\frac{d_2}{2}}$ entsprechend $\dfrac{d_1}{2}\cdot \dfrac{2}{d_2}.$

$\begin{array}[t]{rll} h\cdot \dfrac{2}{h}&=&\dfrac{d_1}{2}\cdot \dfrac{2}{d_2}&\quad \scriptsize \mid\; \text{kürzen}\\[5pt] 2&=&\dfrac{d_1}{d_2}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot d_2\\[5pt] 2\cdot d_2&=&d_1&\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] d_2&=&\dfrac{d_1}{2} \end{array}$

Also ist die Aussage richtig.

Baumdiagramm erstellen

Anzahl Kugeln bestimmen

Anzahl rote Kugeln

Beim ersten Zug sind es insgesamt $15$ Kugeln, die Anzahl roter Kugeln ist dabei unbekannt. Also gilt: $P(\text{rot})=\dfrac{x}{15}$
Beim zweiten Zug sind es insgesamt noch $14$ Kugeln, die Anzahl verbleibender roter Kugeln ist dabei ebenfalls unbekannt. Also gilt: $P(\text{rot})=\dfrac{x-1}{14}$

Entlang einem Pfad gilt die Produktregel.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{15}\cdot \dfrac{x-1}{14}&=&\dfrac{20}{210} \\[5pt] \dfrac{x\cdot (x-1)}{210}&=&\dfrac{20}{210} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 210 \\[5pt] x\cdot (x-1)&=&20 \end{array}$

Lösungsmöglichkeit A: Ausprobieren

$x=5$

Lösungsmöglichkeit B: Berechnen

Zunächst wird die Gleichung in die Normalform gebracht:

$\begin{array}[t]{rll} x\cdot (x-1)&=&20 \,\,\scriptsize \;\text{Linke Seite ausmultiplizieren} \\[5pt] x^2-x&=&20\,\,\scriptsize \;\mid\;-20\\[5pt] x^2-x-20&=&0 \end{array}$

Lösungsformel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-(-20)} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+20} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{80}{4}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{9}{2} \\[5pt] x_1&=&5\\[5pt] x_2&=&-4\,(\text{keine Lösung}) \end{array}$

Es gibt $5$ rote Kugeln.

Anzahl gelbe Kugeln

Beim ersten Zug sind es insgesamt $15$ Kugeln, die Anzahl gelber Kugeln ist dabei unbekannt. Also gilt: $P(\text{gelb})=\dfrac{x}{15}$
Beim zweiten Zug sind es insgesamt noch $14$ Kugeln, die Anzahl verbleibender gelber Kugeln ist dabei ebenfalls unbekannt. Also gilt: $P(\text{gelb})=\dfrac{x-1}{14}$

Entlang einem Pfad gilt die Produktregel.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{15}\cdot \dfrac{x-1}{14}&=&\dfrac{30}{210} \\[5pt] \dfrac{x\cdot (x-1)}{210}&=&\dfrac{30}{210} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 210 \\[5pt] x\cdot (x-1)&=&30 \end{array}$

Lösungsmöglichkeit A: Ausprobieren

$x=6$

Lösungsmöglichkeit B: Berechnen

Zunächst wird die Gleichung in die Normalform gebracht:

$\begin{array}[t]{rll} x\cdot (x-1)&=&30 \,\,\scriptsize \;\text{Linke Seite ausmultiplizieren} \\[5pt] x^2-x&=&30\,\,\scriptsize \;\mid\;-30\\[5pt] x^2-x-30&=&0 \end{array}$

Lösungsformel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-(-30)} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+30} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{120}{4}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{11}{2} \\[5pt] x_1&=&6\\[5pt] x_2&=&-5\,(\text{keine Lösung}) \end{array}$

Es gibt $6$ gelbe Kugeln.

Anzahl blaue Kugeln

$15-5-6=4$

Es gibt $4$ blaue Kugeln.

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Es befinden sich $26+13+19=58$ Kugeln im Beutel.

$P(\text{Gold und Silber})$ $=P(\text{Gold, Silber})+P(\text{Silber, Gold})$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{G. & S.})&=&\dfrac{26}{58}\cdot \dfrac{13}{58}+\dfrac{13}{58}\cdot \dfrac{26}{58}\\[5pt] P(\text{G. & S.})&\approx&0,20 \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $20\,\%$ wird eine goldene und eine silberne Kugel gezogen.

Lösung 2

Wertetabelle erstellen

$x$	$y$
$-3$	$-2,5$
$-2$	$0$
$-1$	$1,5$
$0$	$2$
$1$	$1,5$
$2$	$0$
$3$	$-2,5$

Parabel zeichnen

Funktionsgleichung bestimmen

Der Abstand vom Scheitelpunkt zur Geraden $y=-1$ beträgt $3\,\text{LE}.$ Also hat der neue Scheitelpunkt die Koordinaten $(0\mid -4).$ Die gespiegelte Parabel ist zudem nach oben geöffnet, es gilt also $a=0,5.$

$y=0,5x^2-4$

Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} 2x-4&=&-2x^2+8 &\scriptsize \mid\;+2x^2-8 \\[5pt] 2x-12+2x^2&=&0 &\scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2+x-6&=&0\\[5pt] \end{array}$

Lösen mit der Lösungsformel:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-(-6)} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+6} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{24}{4}} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{5}{2}\\[5pt] x_1&=& 2\\[5pt] x_2&=& -3\\[5pt] \end{array}$

Inneren Durchmesser berechnen

Das Volumen einer Kugel wird über $V_\text{Kugel}=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$ berechnet.

Es gilt: $V_\text{Kugel}=998\,306\,\text{cm}^3$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3&=&998\,306\,\text{cm}^3 &\quad \scriptsize \mid\;:\left(\dfrac{4}{3}\pi\right) \\[5pt] r^3&=&\dfrac{998\,306\,\text{cm}^3}{\frac{4}{3}\pi} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] r&\approx&62\,\text{cm} \end{array}$

$d=2\cdot r=2\cdot 62\,\text{cm}=124\,\text{cm}$

Gewicht berechnen

1. Schritt: Volumen der äußeren Kugel berechnen

$V_\text{äußere Kugel}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot (65\,\text{cm})^3$ $\approx 1150\,346,51\,\text{cm}^3$

2. Schritt: Volumen des Bienenwachses berechnen

Rechenweg anzeigen

$V_\text{Bienenwachs}&=&152\,040,51\,\text{cm}^3$

3. Schritt: Gewicht des Bienenwachses berechnen

$152\,040,51\,\text{cm}^3\cdot 0,9\,\text{g}/\text{cm}^3\approx 136\,836\,\text{g}$

$136\,836\,\text{g}\approx 137\,\text{kg}$

Menge an importiertem Honig berechnen

Wenn $20\,\%$ des Honigs aus Deutschland kommen, dann werden $100\,\%-20\,\%=80\,\%$ importiert.

$:20$

$\cdot 80$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 15\,000\,\text{t} & \mathrel{\widehat{=}}& 20\,\%\\[5pt] 750\,\text{t} & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,\%\\[5pt] 60\,000\,\text{t} & \mathrel{\widehat{=}}& 80\,\% \end{array}$

$:20$

$\cdot 80$

2012 wurden also $60\,000$ Tonnen Honig importiert.

$:20$

$\cdot 80$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 27\,500\,\text{t} & \mathrel{\widehat{=}}& 20\,\%\\[5pt] 1\,375\,\text{t} & \mathrel{\widehat{=}}& 1\,\%\\[5pt] 110\,000\,\text{t} & \mathrel{\widehat{=}}& 80\,\% \end{array}$

$:20$

$\cdot 80$

2018 wurden also $110\,000$ Tonnen Honig importiert.

Lösung 3

Seitenlänge berechnen

Der Flächeninhalt eines der beiden großen Dreiecke beträgt:

$A=\dfrac{a\cdot h}{2}$

Da $h=\dfrac{a}{2}$ ist, gilt: $A=\dfrac{a\cdot \frac{a}{2}}{2}=\dfrac{a^2}{4}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a^2}{4}&=&36\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \\[5pt] a^2&=&144\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] a&=&12\,\text{cm} \end{array}$

Prozentualen Anteil bestimmen

Prozentualen Anteil von A1 berechnen

Die Diagonale der Fläche A1 hat die Länge $\dfrac{a}{2}=6\,\text{cm}.$

Die Seitenlänge des kleineren Quadrats wird mit $b$ bezeichnet.

$\begin{array}[t]{rll} b^2+b^2&=&(6\,\text{cm})^2\\[5pt] 2b^2&=&36\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] b^2&=&18\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt von A1 beträgt also $18\,\text{cm}^2$ und der Anteil damit:

$\dfrac{18\,\text{cm}^2}{144\,\text{cm}^2}=0,125=12,5\,\%$

Prozentualen Anteil von A2 berechnen

Der Flächeninhalt von A2 beträgt $\dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{a}{4}=\dfrac{a^2}{8}=\dfrac{1}{8}a^2,$ also einem Achtel der Gesamtfläche:

$\dfrac{1}{8}=0,125=12,5\,\%$

Gewinn berechnen

Der Verkaufspreis ohne Mehrwertsteuer beträgt $85\,\text{ct}:1,05\approx 80,95\,\text{ct}.$

Der Gewinn beträgt damit ca. $80,95\,\text{ct}-54\,\text{ct}\approx 27\,\text{ct}$ pro Karte.

Gleichung aufstellen

$b\cdot (b+4)=192$

Seitenlängen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} b\cdot (b+4)&=&192\\[5pt] b^2+4b&=&192 &\quad \scriptsize \mid\;-192 \\[5pt] b^2+4b-192&=&0 \end{array}$

Mit der Lösungsformel wird $b$ berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} b_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-(-192)} \\[5pt] &=& -2 \pm \sqrt{4+192} \\[5pt] &=& -2 \pm 14 \\[5pt] b_1&=&12\\[5pt] b_2&=&-16 \text{ (kann keine Länge sein)} \end{array}$

$a=b+4=12+4=16$

Das Rechteck hat also die Seitenlängen $16\,\text{cm}$ und $12\,\text{cm}.$

Begründen

$A_1=a\cdot b$

$A_2=2a\cdot 2b=4\cdot a\cdot b=4\cdot A_1$

Merle hat demnach nicht recht, da sich der Flächeninhalt vervierfacht.

Lösung 4

Zinssätze berechnen

$K_1=8\,000\,€\cdot 1,008=8\,064\,€$

$K_2=8\,064\,€+100,80\,€=8\,164,80\,€$

$\begin{array}[t]{rll} K_2&=&K_1\cdot q_2 \\[5pt] 8\,164,80\,€&=&8\,064\,€\cdot q_2 & \scriptsize \mid\;:8\,064\,€ \\[5pt] 1,0125&=&q_2 \end{array}$

Im zweiten Jahr beträgt der Zinssatz also $1,25\,\%.$

$K_3=8\,368,92\,€$

$\begin{array}[t]{rll} K_3&=&K_2\cdot q_3 \\[5pt] 8\,368,92\,€&=&8\,164,80\,€\cdot q_3 & \scriptsize \mid\;:8\,164,80\,€ \\[5pt] 1,025&=&q_3 \end{array}$

Im dritten Jahr beträgt der Zinssatz also $2,5\,\%.$

Jährliche Zinsen darstellen

Darstellung z.B. als Liniendiagramm:

Zinsen 1. Jahr: $64\,€$
Zinsen 2. Jahr: $100,80\,€$
Zinsen 3. Jahr:
$8\,368,92\,€-8\,164,80\,€=204,12\,€$

Betrag bestimmen

$K_{10}=8\,000\,€\cdot 1,014^{10}$

$K_{10}\approx 9\,193,26\,€$

Frau Bleich bekommt also $9\,193,26\,€$ ausbezahlt.

Begründen

$\dfrac{9\,193,26\,€-8\,000\,€}{8\,000\,€}$ $=\dfrac{1\,193,26\,}{8\,000\,€}\approx 0,149=14,9\,\%$

Es gelingt ihr also.

Länge von $\boldsymbol{x}$ berechnen

Der Flächeninhalt des halben Vierecks beträgt $\dfrac{162,8\,\text{cm}^2}{2}=81,4\,\text{cm}^2.$

Die Grundseite des halben Vierecks hat eine Länge von $(x+4,5)\,\text{cm}$ und eine Höhe von $7,4\,\text{cm}$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{(x+4,5)\cdot 7,4}{2}&=&81,4 & \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] (x+4,5)\cdot 7,4&=&162,8 & \scriptsize \mid\;:7,4 \\[5pt] x+4,5&=&22& \scriptsize \mid\;-4,5\\[5pt] x&=&17,5 \end{array}$

Die Länge von $x$ beträgt $17,5\,\text{cm}.$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ berechnen

$\tan(\alpha_1)=\dfrac{17,5}{7,4}$

$\alpha_1\approx 67,1^\circ$

$\tan(\alpha_2)=\dfrac{4,5}{7,4}$

$\alpha_2\approx 31,3^\circ$

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2=67,1^\circ+31,3^\circ=98,4^\circ$

Längen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot a+2\cdot b&=&25,16\,\text{cm}\\[5pt] 2\cdot a+2\cdot (0,7a)&=&25,16\,\text{cm}\\[5pt] 3,4\cdot a&=&25,16\,\text{cm}&\scriptsize \mid\;:3,4\\[5pt] a&=&7,4\,\text{cm} \end{array}$

$b=0,7a=0,7\cdot 7,4\,\text{cm}=5,18\,\text{cm}$

Das Parallelogramm hat also die Seitenlängen $a=7,4\,\text{cm}$ und $b=5,18\,\text{cm}.$

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