Wahlteil B

Aufgabe 1

Das Bild zeigt die Netze eines sechsseitigen und eines vierseitigen Spielwürfels.

baden württemberg werkrealschule abschlussprüfung 2023

Es werden Zufallsversuche durchgeführt.
Beide Würfel werden gleichzeitig geworfen und die Augenzahlen addiert.

Welche Augensummen werden am häufigsten gewürfelt? Begründe deine Entscheidung.
Bestimme die prozentuale Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen der Würfel Folgendes passiert:
- Die Augensumme ist größer als 8.
- Ein Würfel zeigt eine 4, der andere nicht.

(5 Pkt.)

Die Abbildung zeigt einen kegelförmigen Messbecher mit einem Durchmesser $d=10\,\text{cm}$ und dem Winkel $\alpha=38,5^{\circ}.$

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Zeige, dass gilt: $\quad h=\dfrac{\frac{d}{2}}{\tan \left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Mit dem Messbecher soll Mehl abgemessen werden.
$1 \,\text{cm}^3$ Mehl hat ein Gewicht von $0,6\,\text{g}.$

Berechne, wie viel Gramm Mehl maximal in den Messbecher passen.

Ein regelmäßiges Zwölfeck ist von seinem Umkreis mit einem Radius von 8 cm umgeben.

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Zeige, dass der markierte Winkel $15^{\circ}$ beträgt.
Berechne den Umfang des Zwölfecks.

(5 Pkt.)

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt eine quadratische Pyramide.

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Es gilt:

$V=70,58 \mathrm{~cm}^3$
$h_k=7 \mathrm{~cm}$

Zeige rechnerisch, dass die Grundkante der Pyramide 5,5 cm lang ist.

Aus einem DIN A4 - Blatt mit den Maßen 210 mm und 297 mm soll das Netz der quadratischen Pyramide herausgeschnitten werden.

Bestimme den prozentualen Anteil, der als Abfall übrigbleibt.
Welche der folgenden Aussagen stimmt?
Begründe deine Entscheidung.
„Wenn man die Grundkante $a$ halbiert und die Körperhöhe $h_k$ verdoppelt,
(A) dann bleibt das Volumen einer quadratischen Pyramide gleich."
(B) dann halbiert sich das Volumen einer quadratischen Pyramide."
(C) dann verdoppelt sich das Volumen einer quadratischen Pyramide."

(5 Pkt.)

Zu jeder Funktionsgleichung gehören eine Wertetabelle und ein Graph.

Ordne die Darstellungen einander zu.
Ergänze die unvollständigen Darstellungen.

(5 Pkt.)

Aufgabe 3

An einem Drachen ist eine Schnur mit vier unterschiedlich farbigen Schleifen befestigt.

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Bestimme die Anzahl der verschiedenen Anordnungsmöglichkeiten der Schleifen.

In einem Karton befinden sich 150 Schleifen. $\frac{1}{5}$ davon sind rot und 12 sind gelb. Der Rest der Schleifen ist blau. Es wird zweimal blind ohne Zurücklegen gezogen.

Bestimme, mit welcher prozentualen Wahrscheinlichkeit zwei blaue Schleifen gezogen werden.

Ein Drachenviereck hat einen Flächeninhalt von $1,35 \,\text{m}^2.$
Die Diagonale $e$ des Drachen ist um 20 % länger als die Diagonale $f.$

Bestimme die Längen der Diagonalen $e$ und $f.$

(5 Pkt.)

Lisa möchte ihr E-Bike (Neupreis: 2 500,00 €) nach drei Jahren verkaufen. Im Internet liest sie, dass ein E-Bike im ersten Jahr 25 % und in den folgenden Jahren jeweils 10 % an Wert verliert.

Bestimme, wie viel Euro das E-Bike nach drei Jahren noch wert ist.

Bestimme jeweils den Wertverlust pro Jahr.
Erkläre, warum der Wertverlust in Euro jedes Jahr weniger wird.

Gegeben ist der Halbkreis über $\overline{AB}$ mit dem Mittelpunkt $M.$

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Es gilt:

$\alpha=50^{\circ}$

$\overline{AC}=10,3 \,\text{cm}$

Berechne den Flächeninhalt des Halbkreises.

(5 Pkt.)

Aufgabe 4

Durch Vergrößerung des Dreiecks $A B C$ entsteht das ähnliche Dreieck $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}.$

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Bestimme die Seitenlänge $a^{\prime}$ .
Überprüfe folgende Aussage und begründe deine Entscheidung.
„Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich“.

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck $A B C$ mit $\overline{A B}$ als Basis. Die Strecke $\overline{RT}$ ist parallel zur Basis.

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Bestimmen Sie den Umfang des Dreiecks $RTC.$
Es gilt:
$\begin{aligned} & \overline{AB}=15 \,\text{cm} \\ & \overline{AC}=12 \,\text{cm} \\ & \overline{RT}=10 \,\text{cm} \end{aligned}$

Zeige, dass gilt:
„Wenn die Strecke $\overline{RT}$ halb so lang ist wie die Strecke $\overline{AB},$ dann ist auch der Umfang des Dreiecks $RTC$ halb so groß wie der Umfang des Dreiecks $ABC.$ "

(5 Pkt.)

In einem Quader liegt der geschlossene Streckenzug $ACIFA.$ Der Winkel $\alpha$ ist $50^{\circ}$ groß.

(Zeichnung nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Länge des Streckenzuges.
Löse die Gleichung:
$\dfrac{1}{4} x^2-4(x+3)=24-4 x$

(5 Pkt.)

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Lösung 1

Häufigste Augensumme angeben und begründen

Anzahl möglicher Kombinationen:

Augensumme	Möglichkeiten
$2$	$1+1$
$3$	$1+2, 2+1$
$4$	$1+3,3+1,2+2$
$5$	$1+4,4+1,2+3,3+2$
$6$	$1+5,2+4,4+2,3+3$
$7$	$1+6,2+5,3+4,4+3$
$8$	$2+6,3+5,4+4$
$9$	$3+6,4+5$
$10$	$4+6$

Die Augensummen 5, 6 und 7 werden am häufigsten gewürfelt.

Prozentuale Wahrscheinlichkeiten bestimmen

$P(\text{Augensumme größer }8)$ $=\dfrac{3}{24}=12,5\,\%$
$P(\text{genau einmal }4)=\dfrac{8}{24}=33,3\,\%$

$\boldsymbol{h}$ nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=& \dfrac{\frac{d}{2}}{h} \quad \scriptsize \mid\; \cdot h\\[5pt] \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cdot h&=& \dfrac{d}{2} \quad \scriptsize \mid\; :\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\\[5pt] h&=& \dfrac{\frac{d}{2}}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \end{array}$

Berechnen, wie viel Gramm Mehl maximal in den Messbecher passen

Höhe des Messbechers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac{\frac{d}{2}}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{10\,\text{cm}}{2}}{\tan\left(\frac{38,5^°}{2}\right)} \\[5pt] &\approx& 14,32\,\text{cm} \end{array}$

Volumen des Messbechers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot h \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{10\,\text{cm}}{2}\right)^2 \cdot 14,32 \\[5pt] &\approx& 374,9\,\text{cm}^3 \end{array}$

Maximale Gramm Mehl berechnen

$374,9\,\text{cm}^3\cdot 0,6\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=224,94\,\text{g}$

In den Messbecher passen maximal 224,94 Gramm Mehl.

Größe des Winkels zeigen

Der Innenwinkel des Dreiecks ist $\frac{1}{12}$ des Winkels des ganzen Kreises. Der markierte Winkel ist halb so groß wie der Winkel des Dreiecks:

$\dfrac{\frac{360^°}{12}}{2}=15^°$

Umfang des Zwölfecks berechnen

Der Umfang des Zwölfecks beträgt das zwölffache der Basis $b$ des Dreiecks. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(15^°)&=& \dfrac{\frac{b}{2}}{8\,\text{cm}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] \sin(15^°)\cdot 8\,\text{cm}&=& \dfrac{b}{2} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] \sin(15^°)\cdot 16\,\text{cm}&=& b \\[5pt] 4,14\,\text{cm} &\approx& b \end{array}$

Für den Umfang des Zwölfecks folgt:

$U\approx12\cdot 4,14\,\text{cm}=49,68\,\text{cm}$

Lösung 2

Länge der Grundkante zeigen

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyr}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h_k \\[5pt] 70,58\,\text{cm}^3&=& \dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot 7\,\text{cm} \quad \scriptsize \mid\; :\left(\dfrac{1}{3}\cdot 7\,\text{cm}\right)\\[5pt] 30,25\,\text{cm}^2&=& a^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 5,5\,\text{cm}&\approx& a \end{array}$

Prozentualen Anteil Abfall berechnen

1. Schritt: Höhe einer Seitenfläche der Pyramide berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h_S^2&=& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h_k^2 \\[5pt] h_S^2&=& \left(\dfrac{5,5\,\text{cm}}{2}\right)^2+(7\,\text{cm})^2 \\[5pt] h_S^2&\approx& 56,56\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] h_S&\approx& 7,52\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Oberflächeninhalt der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& a^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_s \\[5pt] &=& a^2+2\cdot a\cdot h_s \\[5pt] &=& (5,5\,\text{cm})^2+2\cdot 5,5\,\text{cm}\cdot 7,52\,\text{cm}\\[5pt] &\approx& 112,97\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 11\,297\,\text{mm}^2 \end{array}$

3. Schritt: Anteil an Abfall berechnen

Flächeninhalt des Papiers:

$A=210\,\text{mm}\cdot 297\,\text{mm}=62\,370\,\text{mm}^2$

Abfall:

$62\,370\,\text{mm}^2-11\,297\,\text{mm}^2=51\,073\,\text{mm}^2$

Prozentualer Anteil an Abfall:

$\dfrac{51\,073\,\text{mm}^2}{62\,370\,\text{mm}^2}\approx0,8189=81,89\,\%$

Es bleiben 81,89 % an Abfall übrig.

Richtige Aussage nennen und begründen

Aussage (B) ist richtig.

Für das Volumen $V_{\text{neu}}$ einer Pyramide mit Grundkante $\dfrac{a}{2}$ und Höhe $2h_k$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{neu}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\cdot 2h_k \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2}{4}\cdot 2h_k \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot a^2 \cdot h_k \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot V_{\text{Pyr}} \end{array}$

Darstellungen zuordnen

$A \rightarrow a \rightarrow 3$

$B \rightarrow b \rightarrow 2$

$C \rightarrow c \rightarrow 1$

Unvollständige Darstellungen ergänzen

Lösung 3

Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten bestimmen

Es gibt $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ unterschiedliche Anordnungsmöglichkeiten.

Prozentuale Wahrscheinlichkeit für blaue Schleifen bestimmen

Anzahl roter Schleifen: $150\cdot \dfrac{1}{5}=30$

Anzahl blauer Schleifen: $150-30-12=108$

$P(\text{zweimal blau})$ $=\dfrac{108}{150}\cdot \dfrac{107}{149}\approx 0,571=51,7\,\%$

Länge der Diagonalen bestimmen

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1,35\,\text{m}^2&=& \dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f \\[5pt] 1,35\,\text{m}^2&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1,2f\cdot f \\[5pt] 1,35\,\text{m}^2&=& 0,6f^2 \quad \scriptsize \mid\; :0,6 \\[5pt] 2,25\,\text{m}^2&=& f^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] 1,5\,\text{m}&=& f \end{array}$

Daraus folgt $e=1,2\cdot 1,5\,\text{m}=1,8\,\text{m}.$

Die Diagonalen haben also die Längen $e=1,8\,\text{m}$ und $f=1,5\,\text{m}.$

Wertverlust pro Jahr und Wert nach drei Jahren bestimmen

Wertverlust nach dem 1. Jahr: $2\,500,00\,€\cdot 0,25=625,00\,€$
Wert nach dem 1. Jahr: $2\,500,00\,€-625,00\,€=1\,875,00\,€$

Wertverlust nach dem 2. Jahr: $1\,875,00\,€\cdot 0,1=187,50\,€$
Wert nach dem 2. Jahr: $1\,875\,€-187,50\,€=1\,687,50\,€$

Wertverlust nach dem 3. Jahr: $\,1687,50\,€\cdot 0,1=168,75\,€$
Wert nach dem 3. Jahr: $1\,687,50\,€-168,75\,€=1\,518,75\,€$

Erklären, warum Wertverlust jedes Jahr weniger wird

Da der Wert des E-Bikes sinkt, werden zuerst 25 % und dann jährlich 10 % von den kleiner werdenden Werten bestimmt. Damit sinkt auch der Werteverlust in Euro.

Flächeninhalt des Halbkreises bestimmen

Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck rechtwinklig. Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(50^°)&=& \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AB} \\[5pt] \cos(50^°)\cdot \overline{AB} &=& \overline{AC} \quad \scriptsize \mid\; : \cos(50^°) \\[5pt] \overline{AB} &=& \dfrac{\overline{AC}}{\cos(50^°)} \\[5pt] \overline{AB} &=& \dfrac{10,3\,\text{cm}}{\cos(50^°)}\\[5pt] \overline{AB} &\approx& 16,02\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

Für den Radius $r$ des Kreises folgt damit:

$\begin{array}[t]{rll} r&=& \overline{AM} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 16,02\,\text{cm} \\[5pt] &=& 8,01\,\text{cm} \end{array}$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Halbkreises gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot \pi\cdot (8,01\,\text{cm})^2 \\[5pt] &\approx& 100,78\,\text{cm}^2 \end{array}$

Lösung 4

Seitenlänge $\(\boldsymbol{a$ bestimmen

Mit den Ähnlichkeitssätzen folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A$

Aussagen überprüfen und Entscheidung begründen

Die Aussage stimmt.

Dreiecke, bei denen alle Winkel gleich groß sind, sind einander ähnlich. Da bei gleichseitigen Dreiecke immer alle Winkel $60^°$ groß sind, sind alle gleichseitigen Dreiecke einander ähnlich.

Umfang des Dreiecks $\boldsymbol{RTC}$ bestimmen

Mit dem Strahlensatz folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{RC}}{\overline{AC}} &=& \dfrac{\overline{RT}}{\overline{AB}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{AC} \\[5pt] \overline{RC} &=& \dfrac{\overline{RT}}{\overline{AB}} \cdot \overline{AC} \\[5pt] &=& \dfrac{10\,\text{cm}}{15\,\text{cm}} \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 8\,\text{cm} \end{array}$

Da das Dreieck gleichschenklig ist, gilt außerdem $\overline{RC}=\overline{CT}.$

$\begin{array}[t]{rll} U&=& \overline{RC}+\overline{RT}+\overline{CT}\\[5pt] &=& 8\,\text{cm}+10\,\text{cm}+8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 26\,\text{cm} \end{array}$

Aussage zeigen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{RT}&=& \dfrac{1}{2}\overline{AB} \quad \scriptsize \mid\; :\overline{AB} \\[5pt] \dfrac{\overline{RT}}{\overline{AB}}&=& \dfrac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Strahlensatz gilt außerdem $\dfrac{\overline{RT}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{RC}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{CT}}{\overline{BC}}=\dfrac{1}{2}.$

Daraus folgt $\overline{RC}=\dfrac{1}{2}\overline{AC}$ und $\overline{CT}=\dfrac{1}{2}\overline{BC}.$

Damit folgt für den Umfang des Dreiecks $RTC:$

$\begin{array}[t]{rll} U_{RTC}&=& \overline{RC}+\overline{RT}+\overline{CT}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\overline{AC}+\dfrac{1}{2}\overline{AB}+\dfrac{1}{2}\overline{BC}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\left(\overline{AC}+\overline{AB}+\overline{BC}\right)\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}U_{ABC}\\[5pt] \end{array}$

Länge des Streckenzuges berechnen

1. Schritt: Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2 &=& (5\,\text{cm})^2+(5\,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{AC}^2 &=& 50\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 7,07\,\text{cm} \end{array}$

2. Schritt: Länge der Strecke $\overline{CI}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(50^°)&=& \dfrac{\overline{FG}}{\overline{GI}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{GI} \\[5pt] \tan(50^°)\cdot \overline{GI}&=& \overline{FG} \quad \scriptsize \mid\; :\tan(50^°) \\[5pt] \overline{GI}&=& \dfrac{\overline{FG}}{\tan(50^°)}\\[5pt] &=& \dfrac{5\,\text{cm}}{\tan(50^°)} \\[5pt] &\approx& 4,2\,\text{cm} \end{array}$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CI}&=& \overline{CG}-\overline{GI} \\[5pt] &=& 8\,\text{cm}-4,2\,\text{cm} \\[5pt] &=& 3,8\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Länge der Strecke $\overline{IF}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(50^°)&=& \dfrac{\overline{FG}}{\overline{IF}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{IF} \\[5pt] \sin(50^°)\cdot \overline{IF}&=& \overline{FG} \quad \scriptsize \mid\; :\sin(50^°) \\[5pt] \overline{IF}&=& \dfrac{\overline{FG}}{\sin(50^°)}\\[5pt] &=& \dfrac{5\,\text{cm}}{\sin(50^°)} \\[5pt] &\approx& 6,53\,\text{cm} \end{array}$

4. Schritt: Länge der Strecke $\overline{FA}$ berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{FA}^2 &=& (8\,\text{cm})^2+(5\,\text{cm})^2 \\[5pt] \overline{FA}^2 &=& 89\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{FA}&\approx& 9,43\,\text{cm} \end{array}$

5. Schritt: Gesamtlänge berechnen

Rechenweg anzeigen

$ACIFA \approx 26,83\,\text{cm}$

Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{4}x^2-4(x+3)&=& 24-4x \\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2-4x-12&=& 24-4x \quad \scriptsize \mid\;+4x \\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2+12&=& 24\quad \scriptsize \mid\; +12 \\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2&=& 36\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] x^2&=& 144\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x_1&=& 12\\[5pt] x_2&=& -12 \end{array}$

$L\{12\mid -12\}$

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