Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 1

In einer Kiste befinden sich sechs blaue, vier grüne und eine schwarze Kugel. Es wird zweimal ohne Hinschauen und ohne Zurücklegen gezogen.

Erstelle dazu ein Baumdiagramm
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine grüne Kugel zu ziehen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kuglen zu ziehen?

(2 Pkt.)

$200$ Millionen Menschen nutzten im April 2013 einen Messenger-Dienst*.
Die Zahl der Nutzer stieg anschließend um $\boldsymbol{6\,\%}$ pro Monat.

*Messenger-Dienste: z.B. WhatsApp, Skype, Facebook Messenger, Snapchat,...

Wie viele Menschen nutzten nach $24$ Monaten den Messenger-Dienst?
Nach wie vielen Monaten hatte der Messenger-Dienst bei gleichem Wachstum erstmals mehr als $300$ Millionen Nutzer?
Berechne die jeweilige monatliche Zunahme der Nutzer für die Monate Mai bis Oktober 2013 und stelle diese in einem aussagekräftigen Diagramm dar.

(2 Pkt.)

Ein Metalllwürfel wird in ein mit Wasser gefülltes zylinderförmiges Gefäß gegeben.
Der Wasserspiegel steigt dadurch um $0,5\,\text{cm}$ an.

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(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Volumen der verdrängten Flüssigkeit
=
Volumen des Würfels

Berechne die Kantenlänge des Metallwürfels.

Die Kantenlänge eines Würfels $\boldsymbol{A}$ ist doppelt so lang wie die eines Würfels $\boldsymbol{B}.$

Vergleiche das Volumen der beiden Würfel prozentual.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 2

Die abgebildete Person ist etwa $1,45\,\text{m}$ groß.

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Ermittle das Volumen und die Oberfläche (ohne die kreisförmige Grundfläche) der Halbkugel.

Ein Kreis hat den Radius $r=2,4\,\text{m}.$

Bestimme den Flächeninhalt des größtmöglichen regelmäßigen Fünfecks, das in den Kreis passt.

(2 Pkt.)

Ein Gebrauchtwagen kostet $6\,500\,€.$
Von seinen Eltern bekommt Julian $2\,000\,€$ für die Anzahlung. Den Rest finanziert er über einen Ratenkredit.

Anzahlung: $2\,000,00\,€$
Monatliche Rate: $100,00\,€$
Zins: $3,6\,\%$ p.a.

Ergänze die Tabelle für die ersten sechs Monate der Kreditlaufzeit.

Monat
Kredit in € Monatsanfang
Rate in €
Zins in €
Tilgung in €
Kredit in € Monatsende

Welcher Betrag des Kredits ist nach 6 Monaten getilgt?

(2 Pkt.)

Der Bogen der abgebildeten Talbrücke kann durch die Funktionsgleichung $y=-0,05\cdot(x-20)^2+45$ beschrieben werden.

$1$ Längeneinheit entspricht $1\,\text{m}.$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne den Abstand zwischen Punkt $A$ und Punkt $B.$
Berechne die Strecke $a$ auf der $y$ -Achse.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 3

Im Dachbereich eines Hauses ist ein Zimmer eingebaut.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

$\overline{AB}=8,5\,\text{m}$
$\overline{BE}=3,8\,\text{m}$
$\overline{EF}=\overline{DG}$
$\alpha=55^{\circ}$
$\beta=33^{\circ}$

Berechne $\overline{EF}.$

Um das Zimmer zu vergrößern soll die Strecke $\overline{EF}$ genau $2,2\,\text{m}$ betragen.

Berechne nun die maximale Länge der Strecke $\overline{DE}$ .

(2 Pkt.)

Im Jahr 2010 wurden für Kaffeemaschinen $6\,600\,\text{t}$ Kaffee in Kapseln verkauft.
2015 waren es $20\,900\,\text{t}$ Kaffee.

Berechne das durchschnittliche jährliche Wachstum für die Zeit von 2010 bis 2015 in Prozent.

Für die Jahre 2016, 2017 und 2018 wird mit einem durchschnittlichen jährlichen Wachstum von $23\,\%$ gerechnet.

Wie viele Kapseln werden im Jahr 2018 verkauft, wenn jede Kaffeekapsel $7\,\text{g}$ Kaffee enthält?

(2 Pkt.)

Die abgebildete Parabel $y_1=(x-1,5)^2+1$ wird zuerst an der $\boldsymbol{x}$ -Achse, dann an der $\boldsymbol{y}$ -Achse gespiegelt.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Gib die neue Funktionsgleichung an.
Überprüfe rechnerisch, ob die Gerade mit der Funktionsgleichung $y=-4x+7$ die abgebildete Parabel $y_1$ schneidet, und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 4

Im 17. Jahrhundert besiedelten Holländer das Gebiet des heutigen New Yorks.
1626 kauften sie die Insel Manhattan von den Ureinwohnern Nordamerikas. Sie bezahlten mit Waren im Wert von $24$ Dollar.

Bestimme den Wert der Insel im Jahr 2018 bei einer angenommenen jährlichen Wertsteigerung von $5\,\%$ .

Die folgende Tabelle zeigt die Einwohnerzahlen von New York City.

Jahr	Einwohner
1800	$60\,515$
1850	$515\,547$
1900	$3\,437\,202$
1950	$7\,891\,957$
2000	$8\,008\,278$

(Quelle: NYC Government)

In welchem Zeitabschnitt war die prozentuale Zunahme der Bevölkerung am größten?
Berechne den entsprechenden Prozentsatz.

(2 Pkt.)

Patrick kauft sich einen Spielzeugsafe. Dieser hat 3 Tasten, die mit $1$ , $2$ und $3$ beschriftet sind (siehe Abbildung).

Es können damit 3-stellige Kombinationen gebildet werden.

Wie viele unterschiedliche Kombinationen gibt es, bei denen eine Zahl genau zweimal vorkommt? Die Zahlenfolge muss beachtet werden.

Der „Innenraum“ des Safes hat ein Volumen von $1\,755\,\text{cm}^3$ .
Eine quatratische Pyramide hat das gleiche Volumen.
Bei dieser Pyramide ist die Seitenlänge $a$ der Grundfläche doppelt so lang wie die Körperhöhe $h.$

Berechne die Höhe $h$ der quadratischen Pyramide.

(2 Pkt.)

Eine Bergbahn fährt von der Talstation über die Mittelstation zur Bergstation.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Streckenlänge zwischen der Tal- und der Mittelstation.

Die Strecke zwischen Mittel- und Bergstation beträgt $2\,188\,\text{m}.$

Berechne den Winkel $\beta.$
Berechne den Abstand $\overline{AB}.$

(2 Pkt.)

Lösung 1

Baumdiagramm erstellen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine schwarze und dann eine grüne Kugel zu ziehen?

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{s; g})&=&\dfrac{1}{11}\cdot \dfrac{4}{10} \\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{2}{55}} \\[5pt] &\approx&0,036=\boldsymbol{3,6\,\%} \end{array}$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kuglen zu ziehen?

$P(\text{gleiche Farbe})$

$\begin{array}[t]{rll} =&P(\text{b; b})+P(\text{g; g})+P(\text{s; s}) \\[5pt] =&\dfrac{6}{11}\cdot\dfrac{5}{10} +\dfrac{4}{11}\cdot\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{11}\cdot0 \\[5pt] =&\boldsymbol{\dfrac{21}{55}}\\[5pt] \approx&0,382=\boldsymbol{38,2\,\%} \end{array}$

Wie viele Menschen nutzten nach 24 Monaten den Messenger-Dienst?

Gegeben:

$W_0=200\,\text{Mio.}$ Nutzer
$p\,\%=6\,\%$
$n=24$ Monate

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] W_{24}&=&200\,\text{Mio.}\cdot \left(1+\dfrac{6}{100}\right)^{24} \\[5pt] W_{24}&\approx&\boldsymbol{809,8 \,\text{Mio.}} \end{array}$

Nach 24 Monaten nutzten ca. $809,8 \,\text{Mio.}$ Menschen den Messenger-Dienst.

Nach wie vielen Monaten hatte der Messenger-Dienst erstmals mehr als 300 Mio. Nutzer?

$\begin{array}{ll} \text{April}& 200\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{Mai}& 212\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{Juni}& \approx 224,7\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{Juli}& \approx 238,2\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{August}& \approx 252,5\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{September}& \approx 267,7\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{Oktober}& \approx 283,8\,\text{Mio.}\\[15pt] \text{November}& \approx 300,8\,\text{Mio.} \end{array}$

$\cdot 1,06$

Nach 7 Monaten, also im November 2013, waren es erstmals mehr als 300 Mio. Nutzer.

Die monatliche Zunahme der Nutzer berechnen

Mai
$212\,\text{Mio.}-200\,\text{Mio.}=\boldsymbol{12,0\,\text{Mio.}}$

Juni
$224,7\,\text{Mio.}-212\,\text{Mio.}=\boldsymbol{12,7\,\text{Mio.}}$

Juli
$238,2\,\text{Mio.}-224,7\,\text{Mio.}=\boldsymbol{13,5\,\text{Mio.}}$

August
$252,5\,\text{Mio.}-238,2\,\text{Mio.}=\boldsymbol{14,3\,\text{Mio.}}$

September
$267,7\,\text{Mio.}-252,5\,\text{Mio.}=\boldsymbol{15,2\,\text{Mio.}}$

Oktober
$283,8\,\text{Mio.}-267,7\,\text{Mio.}=\boldsymbol{16,1\,\text{Mio.}}$

Ergebnisse in einem Diagramm darstellen

Kantenlänge des Metallwürfels berechnen

Volumen der verdrängten Flüssigkeit:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V&=&\pi\cdot (3\,\text{cm})^2\cdot 0,5\,\text{cm} \\[5pt] V&\approx&14,137\,\text{cm}^3 \end{array}$

Da das Volumen der verdrängten Flüssigkeit dem Volumen des Würfels entspricht, kann damit die Kantenlänge berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&a^3\\[5pt] a^3&=&V&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] a&=&\sqrt[3]{V} \\[5pt] a&=&\sqrt[3]{14,137\,\text{cm}^3} \\[5pt] a&\approx&\boldsymbol{2,4\,\text{cm}} \end{array}$

Volumen der beiden Würfel prozentual vergleichen

Volumen von Würfel A: $V_A=(2\cdot a)^3=8a^3$

Volumen von Würfel B: $V_B=a^3$

Prozentualer Vergleich:
Das Volumen von Würfel A ist um $7a^3$ größer als das Volumen von Würfel B, also um $\boldsymbol{700\,\%}.$

Alternativer prozentualer Vergleich:
Das Volumen von Würfel A ist 8-mal so groß wie das Volumen von Würfel B.
Das Volumen von Würfel A beträgt also $\boldsymbol{800\,\%}$ des Volumens von Würfel B.

Lösung 2

Volumen der Halbkugel ermitteln

Um den realen Durchmesser der Halbkugel berechnen zu können, werden der Durchmesser und die Größe der Person in der Abbildung abgemessen:

Durchmesser in der Abbildung: $5,2\,\text{cm}$
Größe der Person in der Abbildung: $2,1\,\text{cm}$

Hinweis: Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Mit diesen Angaben kann nun der reale Durchmesser berechnet werden:

$:2,1$

$\cdot 5,2$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 2,1\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 1,45\,\text{m}\\[5pt] 1\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{1,45}{2,1}\,\text{m}\\[5pt] 5,2\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}&\dfrac{1,45}{2,1}\cdot 5,2\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

$:2,1$

$\cdot 5,2$

$d=\dfrac{1,45}{2,1}\cdot 5,2\,\text{m}\approx 3,6\,\text{m}$

Damit folgt für den Radius: $r=d:2=3,6\,\text{m}:2=1,8\,\text{m}$

Damit folgt für das Volumen:

$\begin{array}[t]{rll} V_H&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \\[5pt] V_H&=&\dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot (1,8\,\text{m})^3 \\[5pt] V_H&\approx&\boldsymbol{12,2\,\text{m}^3} \end{array}$

Oberflächinhalt der Halbkugel ermitteln

$\begin{array}[t]{rll} O_H&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \pi\cdot r^2 &\\[5pt] O_H&=&2\cdot \pi\cdot (1,8\,\text{m})^2 &\\[5pt] O_H&\approx&\boldsymbol{20,4\,\text{m}^2} \end{array}$

Flächeninhalt des größtmöglichen regelmäßigen Fünfecks bestimmen

Ein regelmäßiges Fünfeck besteht aus $5$ kongruenten Dreiecken mit dem Mittelpunktswinkel $\alpha=360^{\circ}:5=72^{\circ}$ und den Schenkeln $r=2,4\,\text{cm}.$

Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Fünfecks: $A=5\cdot \dfrac{g\cdot h}{2}$

Dafür wird zunächst die Höhe $h$ berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)&=& \dfrac{h}{r}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot r \\[5pt] \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cdot r&=& h& \\[5pt] h&=& \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\cdot r& \\[5pt] h&=& \cos(36^{\circ})\cdot 2,4\,\text{m}& \\[5pt] h&\approx& 1,94\,\text{m} \end{array}$

Damit kann die Länge von $g$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{g}{2}\right)^2+h^2&=&r^2 &\scriptsize \mid\;-h^2 \\[5pt] \left(\dfrac{g}{2}\right)^2&=&r^2-h^2 &\scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \dfrac{g}{2}&=&\sqrt{r^2-h^2} \\[5pt] \dfrac{g}{2}&=&\sqrt{(2,4\,\text{m})^2-(1,94\,\text{m})^2} \\[5pt] \dfrac{g}{2}&\approx&1,41\,\text{m}&\scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] g&=&2,82\,\text{m} \end{array}$

Damit folgt für den Flächeninhalt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 5\cdot \dfrac{g\cdot h}{2} \\[5pt] A&=& 5\cdot \dfrac{2,82\,\text{m}\cdot 1,94\,\text{m}}{2} \\[5pt] A&=& \boldsymbol{13,677\,\text{m}^2} \end{array}$

Tabelle für die ersten sechs Monate der Kreditlaufzeit ergänzen

Da Julian bereits $2\,000\,€$ von seinen Eltern bekommen hat, muss er nur noch einen Kredit in Höhe von $6\,500\,€-2\,000\,€=4\,500\,€$ aufnehmen.

Tabelle anzeigen

Monat	Kredit in € Monatsanfang	Rate in €	Zins in €	Tilgung in €	Kredit in € Monatsende
1	$4\,500,00$	$100,00$	$13,50$	$86,50$	$4\,413,50$
2	$4\,413,50$	$100,00$	$13,24$	$86,76$	$4\,326,74$
3	$4\,326,74$	$100,00$	$12,98$	$87,02$	$4\,239,72$
4	$4\,239,72$	$100,00$	$12,72$	$87,28$	$4\,152,44$
5	$4\,152,44$	$100,00$	$12,46$	$87,54$	$4\,064,90$
6	$4\,064,90$	$100,00$	$12,19$	$87,81$	$3\,977,09$

Welcher Betrag des Kredits ist nach 6 Monaten getilgt?

$86,50\,€+86,76\,€+87,02\,€+87,28\,€$ $+87,54\,€+87,81\,€=\boldsymbol{522,91\,€}$

Abstand zwischen Punkt $A$ und Punkt $B$ berechnen

Da $A$ und $B$ die Nullpunkte der Parabel bilden, wird die Funkionsgleichung der Parabel gleich Null gesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} -0,05\cdot(x-20)^2+45&=& 0&\\[5pt] -0,05\cdot(x^2-40x+400)+45&=& 0& \\[5pt] -0,05x^2+2x-20+45&=& 0&\\[5pt] -0,05x^2+2x+25&=& 0& \scriptsize \mid\;:(-0,05) \\[5pt] x^2-40x-500&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=& -\dfrac{-40}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-40}{2}\right)^2+500}& \\[5pt] x_{1/2}&=& 20\pm\sqrt{900}& \\[5pt] x_{1}&=& 20+30=50& \\[5pt] x_{2}&=& 20-30=-10 \end{array}$

Daraus folgt: $A(50\mid 0)$ und $B(-10\mid 0)$

Der Abstand zwischen $A$ und $B$ beträgt $\boldsymbol{60\,\text{m}}.$

Strecke $\boldsymbol{a}$ auf der $\boldsymbol{y}$ -Achse berechnen

Die Strecke $a$ bildet den vertikalen Abstand zwischen dem Scheitelpunkt der Parabel und ihrem Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$ -Achse bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -0,05\cdot (x-20)^2+45& \\[5pt] y&=& -0,05\cdot (0-20)^2+45&\\[5pt] y&=& -0,05\cdot 20^2+45& \\[5pt] y&=& -20+45& \\[5pt] y&=& 25 \end{array}$

$\Rightarrow D(0\mid 25)$

Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel bestimmen:

Eine Parabel mit $y=a\cdot (x-d)^2+e$ hat den Scheitelpunkt $S(d\mid e).$

Somit kann der Scheitelpunkt anhand der Funktionsgleichung $y=-0,05\cdot (x-20)^2+45$ abgelesen werden.

$\Rightarrow S(20\mid 45)$

Daraus folgt: $\boldsymbol{a=20}$

Lösung 3

Länge von $\boldsymbol{\overline{EF}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot\overline{BE} \\[5pt] \tan(\beta)\cdot\overline{BE}&=&\overline{EF}& \\[5pt] \overline{EF}&=&\tan(\beta)\cdot\overline{BE}&\\[5pt] \overline{EF}&=&\tan(33^{\circ})\cdot3,8\,\text{m} \\[5pt] \overline{EF}&\approx&\boldsymbol{2,47\,\text{m}} \end{array}$

Maximale Länge von $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen

Länge von $\overline{AD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{DG}}{\overline{AD}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AD} \\[5pt] \tan(\alpha)\cdot \overline{AD}&=&\overline{DG}&\quad \scriptsize \mid\;: \tan(\alpha)\\[5pt] \overline{AD}&=&\dfrac{\overline{DG}}{\tan(\alpha)}\\[5pt] \overline{AD}&=&\dfrac{2,2\,\text{m}}{\tan(55^{\circ})}\\[5pt] \overline{AD}&\approx&1,54\,\text{m} \end{array}$

Länge von $\overline{BE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{\overline{EF}}{\overline{BE}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BE} \\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{BE}&=&\overline{EF} &\quad \scriptsize \mid\;: \tan(\beta)\\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{\overline{EF}}{\tan(\beta)} &\\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{2,2\,\text{m}}{\tan(33^{\circ})} &\\[5pt] \overline{BE}&\approx&3,39\,\text{m} \end{array}$

Maximale Länge von $\overline{DE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DE}&=&\overline{AB}-\overline{AD}-\overline{BE}\\[5pt] \overline{DE}&=&8,5\,\text{m}-1,54\,\text{m}-3,39\,\text{m}\\[5pt] \overline{DE}&=&\boldsymbol{3,57\,\text{m}} \end{array}$

Das durchschnittliche jährliche Wachstum in Prozent berechnen

Gegeben:

$W_0=6\,600\,\text{t}$ Kaffee
$n=5$ Jahre
$W_5=20\,900\,\text{t}$ Kaffee

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=& W_0\cdot q^n \\[5pt] W_5&=& W_0\cdot q^5&\quad \scriptsize \mid\;:W_0 \\[5pt] \dfrac{W_5}{W_0}&=& q^5\\[5pt] q^5&=&\dfrac{W_5}{W_0}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,\,} \\[5pt] q&=&\sqrt[5]{\dfrac{W_5}{W_0}}\\[5pt] q&=&\sqrt[5]{\dfrac{20\,900\,\text{t}}{6\,600\,\text{t}}}\\[5pt] q&\approx&1,259 \end{array}$

Das durchschnittliche Wachstum beträgt:

$p=(1,259-1)\cdot 100=25,9$

$\Rightarrow p\,\%=\boldsymbol{25,9\,\%}$

Wie viele Kapseln werden im Jahr 2018 verkauft?

Kaffee im Jahr 2018 in Tonnen berechnen

Gegeben:

$W_0=20\,900\,\text{t}$ Kaffee
$n=3$ Jahre
$p\,\%=23\,\%$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=& W_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n\\[5pt] W_3&=& 20\,900\,\text{t}\cdot \left(1+\dfrac{23}{100}\right)^3\\[5pt] W_3&\approx& 38\,892,12\,\text{t} \end{array}$

Anzahl der Kaffee-Kapseln im Jahr 2018 berechnen

$38\,892,12\,\text{t}=38\,892\,120\,\text{kg}=38\,892\,120\,000\,\text{g}$

$38\,892\,120\,000\,\text{g}:7\,\text{g}\approx 5\,556\,017\,143$

Im Jahr 2018 wurden $\boldsymbol{5\,556\,017\,143}$ Kaffee-Kapseln verkauft.

Neue Funktionsgleichung angeben

$\boldsymbol{y=-(x+1,5)^2-1}$

Rechnerisch überprüfen, ob die Gerade die abgebildete Parabel schneidet

$\begin{array}[t]{rll} (x-1,5)^2+1&=& -4x+7 \\[5pt] x^2-3x+2,25+1&=& -4x+7\\[5pt] x^2-3x+3,25&=& -4x+7&\quad \scriptsize \mid\;+4x \\[5pt] x^2+x+3,25&=&7&\quad \scriptsize \mid\;-7 \\[5pt] x^2+x-3,75&=&0\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+3,75}\\[5pt] x_{1/2}&=&-0,5\pm\sqrt{4}\\[5pt] x_{1}&=&-0,5+2=1,5\\[5pt] x_{2}&=&-0,5-2=-2,5 \end{array}$

Somit schneiden sich die Gerade und die Parabel: Einmal an der Stelle $x_1=1,5$ und an der Stelle $x_2=-2,5.$

Um die Schnittpunkte zu bestimmen, muss noch jeweils die $y$ -Koordinate berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} y_1&=&-4\cdot x_1+7 \\[5pt] y_1&=&-4\cdot 1,5+7 \\[5pt] y_1&=&1 \end{array}$

$\Rightarrow \boldsymbol{S_1(1,5\mid 1)}$

$\begin{array}[t]{rll} y_2&=&-4\cdot x_1+7 \\[5pt] y_2&=&-4\cdot (-2,5)+7 \\[5pt] y_2&=&17 \end{array}$

$\Rightarrow \boldsymbol{S_2(-2,5\mid 17)}$

Lösung 4

Wert der Insel im Jahr 2018 bestimmmen

Gegeben:

$W_0=24\,\text{Dollar}$
$n=2018-1626=392$ Jahre
$p\,\%=5\,\%$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n \\[5pt] W_{392}&=&24\,\text{Dollar}\cdot \left(1+\dfrac{5}{100}\right)^{392} \\[5pt] W_{392}&=&4\,857\,541\,024 \\[5pt] W_{392}&\approx&\boldsymbol{4,858\,\text{Mrd. Dollar}} \end{array}$

In welchem Zeitabschnitt war die prozentuale Zunahme der Bevölkerung am größten?

Formel zur Berechnung der prozentualen Zunahme: $p\,\%=\dfrac{P\cdot 100}{G}\,\%$

1800 - 1850

Absolute Zunahme: $515\,547-60\,515=455\,032$
Prozentuale Zunahme: $p\,\%=\dfrac{455\,032\cdot 100}{60\,515}\,\%\approx \boldsymbol{752\,\%}$

1850 - 1900

Absolute Zunahme: $3\,437\,202-515\,547=2\,921\,655$
Prozentuale Zunahme: $p\,\%=\dfrac{2\,921\,655\cdot 100}{515\,547}\,\%\approx \boldsymbol{567\,\%}$

1900 - 1950

Absolute Zunahme: $7\,891\,957-3\,437\,202=4\,454\,755$
Prozentuale Zunahme: $p\,\%=\dfrac{4\,454\,755\cdot 100}{3\,437\,202}\,\%\approx \boldsymbol{130\,\%}$

1950 - 2000

Absolute Zunahme: $8\,008\,278-7\,891\,957=116\,321$
Prozentuale Zunahme: $p\,\%=\dfrac{116\,321\cdot 100}{7\,891\,957}\,\%\approx \boldsymbol{1,5\,\%}$

Von 1800 bis 1850 gab es prozentual die größte Zunahme der Bevölkerung. Sie betrug $\boldsymbol{752\,\%}.$

Wie viele unterschiedliche Kombinationen gibt es, bei denen eine Zahl genau zweimal vorkommt?

1 doppelt	2 doppelt	3 doppelt
$112$	$221$	$331$
$121$	$212$	$313$
$113$	$223$	$332$
$131$	$232$	$323$
$211$	$122$	$133$
$311$	$322$	$233$

Es gibt 18 unterschiedliche Kombinationen.

Höhe $\boldsymbol{h}$ der quadratischen Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h& \\[5pt] V&=& \dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h& \\[5pt] V&=& \dfrac{1}{3}\cdot (2h)^2\cdot h& \\[5pt] V&=& \dfrac{1}{3}\cdot 4h^2\cdot h& \\[5pt] V&=& \dfrac{1}{3}\cdot 4h^3&\\[5pt] V&=& \dfrac{4}{3}\cdot h^3&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{3}{4} \\[5pt] \dfrac{3}{4} \cdot V&=& h^3&\\[5pt] h^3&=&\dfrac{3}{4} \cdot V&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] h&=&\sqrt[3]{\dfrac{3}{4} \cdot V}& \\[5pt] h&=&\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}\cdot 1\,755\,\text{cm}^3} & \\[5pt] h&\approx&11\,\text{cm} \end{array}$

Die Höhe der Pyramide beträgt ca. $\boldsymbol{11\,\text{cm}}.$

Streckenlänge zwischen der Tal- und der Mittelstation berechnen

Streckenlänge von $\overline{CM}$ berechnen

$\overline{CM}=2\,219\,\text{m}-1\,557\,\text{m}=662\,\text{m}$

Streckenlänge von $\overline{AM}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\overline{CM}}{\overline{AM}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AM} \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot \overline{AM}&=&\overline{CM}&\quad \scriptsize \mid\;:\sin(\alpha)\\[5pt] \overline{AM}&=&\dfrac{\overline{CM}}{\sin(\alpha)}&\\[5pt] \overline{AM}&=&\dfrac{662\,\text{m}}{\sin(25^{\circ})}&\\[5pt] \overline{AM}&\approx&\boldsymbol{1\,566\,\text{m}} \end{array}$

Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen

Streckenlänge von $\overline{DE}$ berechnen

$\overline{DE}=2\,663\,\text{m}-2\,219\,\text{m}=444\,\text{m}$

Größe des Winkels $\beta$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\overline{DE}}{\overline{ME}} \\[5pt] \sin(\beta)&=&\dfrac{444\,\text{m}}{2\,188\,\text{m}} \\[5pt] \sin(\beta)&\approx&0,2029&\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \beta&\approx&\boldsymbol{11,7^{\circ}} \end{array}$

Abstand $\boldsymbol{\overline{AB}}$ berechnen

Streckenlänge von $\overline{AC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2+\overline{CM}^2&=& \overline{AM}^2\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-\overline{CM}^2 \\[5pt] \overline{AC}^2&=& \overline{AM}^2-\overline{CM}^2 \quad\quad\quad\scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{AC}&=& \sqrt{(1\,566\,\text{m})^2-(662\,\text{m})^2}\\[5pt] \overline{AC}&\approx& 1\,419,19\,\text{m} \end{array}$

Streckenlänge von $\overline{MD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{MD}^2+\overline{DE}^2&=& \overline{ME}^2&\scriptsize \mid\; -\overline{DE}^2\\[5pt] \overline{MD}^2&=& \overline{ME}^2-\overline{DE}^2&\scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{MD}&=& \sqrt{\overline{ME}^2-\overline{DE}^2}\\[5pt] \overline{MD}&=& \sqrt{2\,188\,\text{m}^2-444\,\text{m}^2}\\[5pt] \overline{MD}&\approx& 2\,142,48\,\text{m} \end{array}$

Abstand von $\overline{AB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=&\overline{AC}+\overline{BC} \\[5pt] \overline{AB}&=&1\,419,19\,\text{m}+2\,142,48\,\text{m} \\[5pt] \overline{AB}&=&\boldsymbol{3\,561,67\,\text{m}} \end{array}$