Pflichtteil A2

In einem Lostopf befinden sich drei graue und sieben weiße Kugeln.
Es wird zweimal hintereinander mit Zurücklegen gezogen.

Erstelle ein vollständiges Baumdiagramm.
Für welches Ereignis ergibt sich nun eine Wahrscheinlichkeit von fast $50\,\%$ ?

(2 Pkt.)

Um die Strecken auf einer Schatzkarte zu bestimmen, wurden Hilfslinien eingezeichnet.

Berechne $\overline{AB}$ .
Berechne $\overline{CS}$ .

Es gilt:
$\overline{BK}\mid\mid\overline{AC}\mid\mid\overline{DE}$

$\overline{AK}=145\,\text{m}$
$\overline{AE}=117\,\text{m}$

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(2 Pkt.)

Die Zinssätze, die für Geldanlagen festgelegt werden, sind in den letzten Jahren deutlich gesunken.

Angebot 2003: Spar-Bank
Anlagebetrag	$5\,000,00\,€$
Zinssatz:	$5,5\,\%$ p.a. für die gesamte Anlagedauer
Anlagedauer:	drei Jahre (Zinsen werden mitverzinst)

Angebot 2020: Spar-Bank
Anlagebetrag	$5\,000,00\,€$
Zinssatz:	1. und 2. Jahr: $0,6\,\%$ p.a. 3. Jahr: $1,5\,\%$ p.a.
Anlagedauer:	drei Jahre (Zinsen werden mitverzinst)

Berechne, wie viel Zinsen bei Angebot $2020$ weniger gezahlt wurden als bei Angebot $2003.$

Mithilfe der folgenden Excel-Tabelle soll die Verzinsung eines Sparguthabens berechnet werden.

Gib die Formeln zur Berechnung der Zellen D4 und E4 ein.

(2 Pkt.)

Der Kegel des abgebildeten Körpers hat eine Körperhöhe $h_1$ von $6\,\text{cm}$ .

Berechne das Volumen des Kegels.

Insgesamt ist der zusammengesetzte Körper $12\,\text{cm}$ hoch.
Der Zylinder hat ein Volumen von $169,7\,\text{cm}^3$ .

Berechne den Radius $r_2$ .

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(3 Pkt.)

Die Vorderansicht eines Gewächshauses hat die abgebildeten Maße und annähernd die Form einer Parabel. (siehe Abbildung)

Ordne der Parabel die entsprechende Funktionsgleichung zu.
A) $\quad y=0,9 x^2+1,8$
B) $\quad y=-0,9 x^2-1,8$
C) $\quad y=-0,9 x^2+1,8$
D) $\quad y=0,9 x^2-1,8$

Gib eine mögliche Funktionsgleichung an, bei der das Gewächshaus am Boden breiter ist.
Die Höhe soll gleich bleiben.
Berechne für die Funktionsgleichung $y=0,4 x^2-3,6$ die $x$ -Werte für $y=0$ .

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(3 Pkt.)

Felix rutscht eine $145\,\text{m}$ lange Wasserrutsche in $18,3$ Sekunden hinunter.

Berechne seine Durchschnittsgeschwindigkeit in km/h.

Für den Eintritt ins Schwimmbad zahlen $4$ Erwachsene und $2$ Kinder zusammen $64,00\,€$ . $2$ Erwachsene und $2$ Kinder kosten insgesamt $40,00\,€$ .

Erstelle ein Gleichungssystem und berechne die Eintrittspreise für einen Erwachsenen und für ein Kind.

(3 Pkt.)

Die Punkte $A (-3 \mid 3), B (3 \mid-4)$ und $C (1 \mid 3)$ werden zu einem Dreieck verbunden.

Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem $(\text{LE}=1\,\text{cm})$ .
Zeichne die Höhe $h_b$ ein und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Überprüfen Sie folgende Aussage:

„Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks $ABC$ liegt außerhalb des Dreiecks.“

(3 Pkt.)

In den Jahren $2015$ bis $2018$ wurden weltweit jährlich durchschnittlich $4\,527$ Mio. $t$ (Millionen Tonnen) Erdöl gefördert.

Berechne, wie viel Mio. $t$ Erdöl $2016$ weltweit gefördert wurden.

In Deutschland wurden $2019$ insgesamt rund $2$ Mio. $t$ Erdöl gefördert.
Davon entfielen in etwa auf Schleswig-Holstein $1$ Mio. $t,$ auf Niedersachsen $0,7$ Mio. $t$ und auf Rheinland-Pfalz $0,15$ Mio. $t.$
Der Rest wurde in den übrigen Bundesländern gefördert.

Erstelle dazu ein Kreisdiagramm.

(2 Pkt.)

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Baumdiagramm erstellen

Das Baumdiagramm ist zweistufig: In Stufe 1 wird Grau oder Weiß gezogen, in Stufe 2 jeweils wiederum, dabei werden die Kugeln jeweils wieder zurückgelegt.
Grau wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{3}{10}$ gezogen, da es $3$ graue Kugeln von insgesamt $10$ Kugeln gibt.
Weiß wird mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{7}{10}$ gezogen, da es $7$ weiße Kugeln von insgesamt $10$ Kugeln gibt.

Ereignis angeben

Gesuchtes Ereignis: „Zweimal eine weiße Kugel ziehen“

Länge von $\overline{AB}$ berechnen

$\overline{AB}=\overline{AE}-\overline{BE}$ $=117\,\text{m}-30\,\text{m}=87\,\text{m}$

Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ beträgt $87\,\text{m}.$

Länge von $\overline{CS}$ berechnen

Hier kann der 2. Strahlensatz angewendet werden.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\overline{BK}}&=&\dfrac{\overline{CS}}{\overline{BS}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BS}\\[5pt] \dfrac{\overline{AC}}{\overline{BK}}\cdot \overline{BS}&=&\overline{CS}\\[5pt] \overline{CS}&=&\dfrac{\overline{AC}}{\overline{BK}}\cdot \overline{BS}\\[5pt] \overline{CS}&=&\dfrac{120\,\text{m}}{70\,\text{m}}\cdot 40\,\text{m}\\[5pt] \overline{CS}&\approx&68,57\,\text{m} \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{CS}$ beträgt ca. $68,57\,\text{m}.$

Berechnen, wie viel Zinsen weniger gezahlt wurden

Angebot 2003

1. Jahr: $5\,000\,€\cdot 0,055=275\,€$
2. Jahr: $5\,275\,€\cdot 0,055\approx 290,13\,€$
3. Jahr: $5\,565,13\,€\cdot 0,055\approx 306,08\,€$

Insgesamt ergeben sich an Zinsen: $275\,€+290,13\,€+306,08\,€=871,21\,€$

Angebot 2020

1. Jahr: $5\,000\,€\cdot 0,006=30\,€$
2. Jahr: $5\,030\,€\cdot 0,006\approx 30,18\,€$
3. Jahr: $5\,060,18\,€\cdot 0,015\approx 75,90\,€$

Insgesamt ergeben sich an Zinsen: $30\,€+30,18\,€+75,90\,€=136,08\,€$

Also wurden bei dem Angebot aus 2020 $871,21\,€-136,08\,€=735,13\,€$ weniger Zinsen gezahlt.

Formeln angeben

Zelle D4: =B4*C4
Zelle E4: =B4+D4

Volumen berechnen

Für das Volumen des Kegels gilt: $V_1=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r_1\cdot h_1.$ Dabei ist $h_1$ gegeben und $r_1$ muss berechnet werden.

Länge von $r_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(35^\circ)&=&\dfrac{r_1}{h_1} \quad \scriptsize \mid\;\cdot h_1 \\[5pt] r_1&=&h_1\cdot \tan(35^\circ)\\[5pt] &=&6\,\text{cm}\cdot \tan(35^\circ)\\[5pt] r_1&\approx&4,2\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$

Volumen berechnen

$V_1=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (4,2\,\text{cm})^2\cdot 6\,\text{cm}$ $\approx 110,8\,\text{cm}^3$

Das Volumen des Kegels umfasst ca. $110,8\,\text{cm}^3.$

Länge von $\boldsymbol{r_2}$ berechnen

Für das Volumen des Zylinders gilt: $V_2=\pi\cdot r_2^2\cdot h_2.$ Dabei ist $V_2$ gegeben und $h_2$ kann berechnet werden. Durch Umstellen der Formel kann dann anschließend $r_2$ berechnet werden.

$h_2=h-h_1=12\,\text{cm}-6\,\text{cm}$ $=6\text{cm},$ wobei $h$ der Gesamthöhe des Körpers entspricht.

$\begin{array}[t]{rll} 169,7\,\text{cm}^3&=&\pi\cdot r_2^2\cdot 6\,\text{cm}\quad \scriptsize \mid\;:(\pi\cdot 6\,\text{cm}) \\[5pt] \dfrac{169,7\,\text{cm}^3}{\pi\cdot 6\,\text{cm}}&=&r_2^2\\[5pt] r_2^2&=&\dfrac{169,7\,\text{cm}^3}{\pi\cdot 6\,\text{cm}}\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}\\[5pt] r_2&\approx&3\,\text{cm} \end{array}$

Der Radius $r_2$ hat also eine Länge von ca. $3\,\text{cm}.$

Parabel Funktionsgleichung zuordnen

Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt $S(0\mid 1,8).$

Daher ist C) mit $y=-0,9x^2+1,8$ die richtige Lösung.

Mögliche Funktionsgleichung angeben

Je kleiner $\mid a\mid$ wird, desto breiter wird die Parabel. Eine mögliche Funktionsgleichung ist also z.B. $y=-0,2x^2+1,8.$

Werte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&0,4x^2-3,6 & \scriptsize \mid\;+3,6 \\[5pt] 3,6&=&0,4x^2 & \scriptsize \mid\;:0,4 \\[5pt] 9&=&x^2 \\[5pt] x^2&=&9 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] x_1&=&3\\[5pt] x_2&=&-3 \end{array}$

Für $x_1=3$ und $x_2=-3$ ist die Gleichung also erfüllt.

Durchschnittsgeschwindigkeit berechnen

Die Geschwindigkeit berechnet sich über $v=\frac{s}{t}.$ Dabei gilt: $3,6\,\frac{\text{m}}{\text{s}}=1\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ . Um also $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ umzurechnen, muss mit $3,6$ multipliziert werden.

$\dfrac{145\,\text{m}}{18,3\,\text{s}}=\dfrac{145}{18,3}\cdot 3,6\dfrac{\text{km}}{\text{h}}\approx 28,52\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Felix' Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt also ca. $28,52\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}.$

Gleichungssystem aufstellen

Zunächst werden die Variablen festgelegt:

$E:$ Erwachsener
$K:$ Kind

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&4\cdot E + 2\cdot K&=&64\\ \text{II}\quad&2\cdot E + 2\cdot K&=&40 & \scriptsize\mid\;:2\\ &E + K&=&20 & \scriptsize\mid\;-K\\ &E&=&20-K \end{array}$

$E$ in $\text{I}$ einsetzen:

Rechenweg anzeigen

$K=8$

$K=8$ in $\text{II}$ einsetzen:

$E=20-8=12$

Die Eintrittspreise betragen also $12\,€$ für einen Erwachsenen und $8\,€$ für ein Kind.

Dreieck zeichnen, Höhe und Schnittpunkt mit Mittelsenkrechten einzeichnen

Flächeninhalt berechnen

$A=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot h_b$ $=\dfrac{1}{2}\cdot 4\,\text{cm}\cdot 7\,\text{cm}=14\,\text{cm}^2$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $14\,\text{cm}^2.$

Aussage überprüfen

Durch Einzeichnen der Mittelsenkrechten ist erkennbar, dass der Schnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Tonnen Erdöl berechnen

Der Durchschnitt berechnet sich über die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Durchschnitt der Jahre $2015$ bis $2018:$

Rechenweg anzeigen

$x=4\,512$

Es wurden $2016$ also $4\,512\,\text{Mio. t}$ Erdöl gefördert.

Kreisdiagramm erstellen

Ein Kreisdiagramm besteht aus einem Kreis mit $360^\circ.$ Die Anteile der Bundesländer bzw. Winkel der einzelnen Kreisausschnitte müssen berechnet werden.

Schleswig-Holstein:

$\dfrac{1\,\text{Mio. t}}{2\,\text{Mio. t}}=\dfrac{1}{2}=0,5;$ demnach also $360^\circ\cdot 0,5=180^\circ$

Niedersachsen:

$\dfrac{0,7\,\text{Mio. t}}{2\,\text{Mio. t}}=\dfrac{0,7}{2}=0,35;$ demnach also $360^\circ\cdot 0,35=126^\circ$

Rheinland-Pfalz:

$\dfrac{0,15\,\text{Mio. t}}{2\,\text{Mio. t}}=\dfrac{0,15}{2}=0,075;$ demnach also $360^\circ\cdot 0,075=27^\circ$

Übrige Bundesländer:

$360^\circ-180^\circ-126^\circ-27^\circ=27^\circ$

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