Pflichtteil A2

Die Abbildung zeigt eine Bilderfolge aus Punkten.

baden württemberg werkrealschule abschlussprüfung 2023

Bestimme die Anzahl der Punkte im 11. Bild.
Mit welchem Term kann man die Anzahl der Punkte im $x-$ ten Bild bestimmen? Begründe deine Entscheidung.
$(A)\,\, 2 x^2-1 \quad$ $(B)\,\, 3+2 \cdot x \quad$ $(C)\,\, 1+2 \cdot x \quad$ $(D)\,\, x+2$
Überprüfe, ob es ein Bild mit 45 Punkten gibt.

(3 Pkt.)

Liam hat von seinem Opa zum Geburtstag 450,00 € geschenkt bekommen, die er sparen soll. Bei einer Bank bekommt er dafür 1,2 % Zinsen pro Jahr (Zinsen werden mitverzinst).

Ergänze den Pfeil in der Tabelle durch den entsprechenden Faktor.
Bestimme das Kapital nach 5 Jahren.

(2 Pkt.)

Das dargestellte Körpernetz wird gefaltet und anschließend an den grauen Flächen miteinander verklebt.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne das Volumen des Körpers.

Trifft folgende Aussage zu?
„Wenn man die Dreiecke der Grund- und Deckfläche an ihrer jeweils längsten Seite aneinanderlegt, erhält man eine Raute."

Begründe deine Entscheidung.

(2 Pkt.)

Die Parabel $p_1$ hat die Funktionsgleichung $y=\dfrac{1}{2} x^2.$

Untersuche die Parabel $p_1$ und ergänze folgenden Satz mit dem richtigen Begriff.

„Wenn man die $x$ -Werte verdoppelt, dann werden die $y$ -Werte $\text{_______}.$ “

(A) halbiert $\quad$ (B) verdoppelt $\quad$ (C) verdreifacht $\quad$ (D) vervierfacht

Die Parabel $p_1$ wird zuerst um 4 LE nach oben verschoben und dann an der $x$ -Achse gespiegelt.

Gib die Funktionsgleichung für die neue Parabel $p_2$ an.

(2 Pkt.)

Von einem achsensymmetrischen Trapez sind die Koordinaten der Eckpunkte $A(-2 \mid-3),$ $B(6 \mid-3)$ und $D(0 \mid 3)$ gegeben.

Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem $(1 \,\mathrm{LE}=1 \,\text{cm})$ und bestimme die Koordinaten des Punktes $C.$
Bestimme den Flächeninhalt des Trapezes.

Sebastian behauptet: „Die Gerade $g: y=-x+3$ teilt das achsensymmetrische Trapez in zwei kongruente (deckungsgleiche) Dreiecke“. Hat er Recht?

Begründe deine Entscheidung.

(3 Pkt.)

Familie König plant eine Fahrradtour. Ihre Route beträgt 135 km.
Sie planen mit einer durchschnittlichen Fahrgeschwindigkeit von 18 km/h.
Zusätzlich rechnen sie 2 Stunden für Pausen mit ein.
Die Familie möchte spätestens um 18 Uhr am Zielort sein.

Bestimme, um wie viel Uhr Familie König spätestens losfahren muss.

Bei einem Outdoor-Anbieter gelten folgende Preise für geführte Kanufahrten:

2 Erwachsene + 2 Kinder: 130 €

1 Erwachsener + 3 Kinder: 105 €

Erstelle ein Gleichungssystem.
Berechne die Preise für Erwachsene und Kinder.

(3 Pkt.)

Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von $60 \,\text{cm}^2.$
Seite $a$ ist $7 \,\text{cm}$ länger als Seite $b.$

Bestimme die Länge der Diagonalen des Rechtecks.

(2 Pkt.)

Ein Glücksrad hat folgende Eigenschaften:

- Die Gewinnwahrscheinlichkeit für die Farbe „Grün“ beträgt 30 %.
- Der „blaue“ Kreisausschnitt hat einen Winkel von 45°.
- Die „gelbe“ Farbe wird mit der Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{5}$ gedreht.
- Der restliche Teil des Glücksrads ist „rot".

Zeichne das Glücksrad mit einem Radius von 5 cm.

Das Glücksrad wird zweimal nacheinander gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $P$ (zuerst gelb, dann grün).

(3 Pkt.)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Anzahl der Punkte im 11. Bild bestimmen

Im 11. Bild sind 23 Punkte.

Passenden Term auswählen und begründen

Die Anzahl der Punkte im $x$ -ten Bild kann durch Term $(C)\,1+2\cdot x$ beschrieben werden.

In der oberen Reihe befinden sich immer $x$ Punkte und in der unteren $x+1$ Punkte. Insgesamt ergibt das $x+x+1=2x+1$ Punkte.

Überprüfen, ob es ein Bild mit 45 Punkten gibt

$\begin{array}[t]{rll} 1+2x&=& 45 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 2x &=& 44 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x &=& 22 \end{array}$

Das 22. Bild hat 45 Punkte.

Pfeil ergänzen

Kapital nach 5 Jahren bestimmen

$K_5=450,00\,€\cdot 1,012^5=477,66\,€$

Volumen des Körpers berechnen

1. Schritt: Höhe der dreieckigen Grundfläche berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras gilt füt die Höhe $h_G:$

Rechenweg anzeigen

$h_G \approx 5,48\,\text{cm}$

2. Schritt: Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h_D \\[5pt] &\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 13\,\text{cm}\cdot 5,48\,\text{cm} \\[5pt] &=& 35,62\,\text{cm}^2 \end{array}$

3. Schritt: Volumen berechnen

Mit der Formel für das Volumen eines Prismas gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h \\[5pt] &\approx& 35,62\,\text{cm}^2\cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 356,20\,\text{cm}^3 \end{array}$

Aussage beurteilen und begründen

Die Aussage stimmt.

Da alle Seiten gleich lang, gegenüberliegende Seiten parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß sind, handelt es sich um eine Raute.

Satz ergänzen

„Wenn man die $x$ -Werte verdoppelt, dann werden die $y$ -Werte vervierfacht.“

Funktionsgleichung für $\boldsymbol{p_2}$ angeben

$p_2:y=-\dfrac{1}{2}x^2-4$

Punkte einzeichnen und Koordinaten von $\boldsymbol{C}$ angeben

Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $C(4\mid 3).$

Flächeninhalt des Trapezes bestimmen

Höhe: 6 cm
Länge untere Seite: 8 cm
Länge obere Seite: 4 cm

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{4\,\text{cm}+8\,\text{cm}}{2}\cdot 6\,\text{cm} \\[5pt] &=& 36\,\text{cm}^2 \end{array}$

Behauptung beurteilen und begründen

Die Aussage ist falsch.

Die Gerade verläuft durch die Punkte $B$ und $D.$ Ein Trapez ist an seiner Diagonalen jedoch nicht achsensymmetrisch. Daher können die beiden entstehenden Dreiecke nicht kongruent sein.

Uhrzeit bestimmen

Fahrzeit berechnen:

$t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{135\,\text{km}}{18\,\text{km}/\text{h}}=7,5\,\text{h}$

Mit den zusätzlichen 2 Stunden Pause muss Familie König spätestens 9,5 Stunden vor 18 Uhr losfahren. Das ist um 8:30 Uhr.

Gleichungssystem erstellen

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad& 2x+2y &=& 130 \\ \text{(II)}\quad& x+3y &=& 105 \end{array}$

Dabei gibt $x$ den Preis für Erwachsene und $y$ den Preis für Kinder an.

Preise berechnen

Lösungsmöglichkeit A (Gleichsetzungsverfahren)

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad& 2x+2y &=& 130 \\ \text{(II)}\quad& x+3y &=& 105 \end{array}$

Beide Gleichungen werden nach $x$ aufgelöst:

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad& x &=& 65-y \\ \text{(II)}\quad& x &=& 105-3y \end{array}$

$\text{(I)}=\text{(II)}:$

$\begin{array}[t]{rll} 65-y&=& 105-3y \quad \scriptsize \mid\; +3y\\[5pt] 65+2y&=& 105 \quad \scriptsize \mid\; -65\\[5pt] 2y&=& 40 \quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] y&=& 20 \end{array}$

$y=20$ in $\text{(I)}:$

$x=65-20=45$

Der Preis für Kinder beträgt 20 €, der für Erwachsene 45 €.

Lösungsmöglichkeit B (Einsetzungsverfahren)

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad& 2x+2y &=& 130 \\ \text{(II)}\quad& x+3y &=& 105 \end{array}$

Zweite Gleichung nach $x$ auflösen:

$\begin{array}[t]{rll} \text{(II)}\quad x+3y&=& 105 \quad \scriptsize \mid\;-3y \\[5pt] x&=& 105-3y \end{array}$

$x=105-3y$ in $\text{(I)}$

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (105-3y)+2y&=& 130 \\[5pt] 210-4y&=& 130 \quad \scriptsize \mid\; -210\\[5pt] -4y&=& -80 \quad \scriptsize \mid\; :(-4)\\[5pt] y&=& 20 \end{array}$

$y=20$ in $\text{(II)}:$

$x=105-3\cdot 20=45$

Der Preis für Kinder beträgt 20 €, der für Erwachsene 45 €.

Seitenlängen des Rechtecks berechnen

Mit $b=a-7$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 60 \\[5pt] a\cdot (a-7)&=& 60\\[5pt] a^2-7a&=& 60 \quad \scriptsize \mid\; -60\\[5pt] a^2-7a-60&=& 0 \end{array}$

Lösungsformel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2}&=& -\dfrac{-7}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-7}{2}\right)^2-(-60)} \\[5pt] &=& 3,5\pm 8,5\\[5pt] a_1&=& 12\\[5pt] a_2&=& -5 \end{array}$

In diesem Kontext ist nur $a=12$ möglich. Daraus folgt $b=a-7=5.$

Das Rechteck hat also die Seitenlängen $a=12\,\text{cm}$ und $b=5\,\text{cm}.$

Länge der Diagonalen berechnen

Mit dem Satz des Pythagoras gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& (12\,\text{cm})^2+(5\,\text{cm})^2 \\[5pt] d^2&=& 169\,\text{cm}^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] d&=& 13\,\text{cm} \end{array}$

Die Diagonale des Rechtecks ist 13 cm lang.

Glücksrad zeichnen

Hinweis: Die Länge des Radius kann je nach Bildschirmgröße variieren.

Grün: $0,3\cdot 360^°=108^°$

Gelb: $\dfrac{1}{5}\cdot 360^°=72^°$

Rot: $360^°-108^°-72^°-45^°=135^°$

Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(\text{zuerst gelb, dann grün})$ $=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{50}=6\,\%$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?