Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 1

Das Zelt hat etwa die Form einer Halbkugel.

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Berechne die Bodenfläche im Zelt möglichst genau.
Wie viele Quadratmeter hat die vollständig geschlossene Hülle?

(2 Pkt.)

Laura möchte sich einen neuen Computer kaufen. Dieser kostet $1\,840\,€.$
Sie hat $280\,€$ gespart. Für den Rest muss sie einen Ratenkredit aufnehmen.
Die Bank macht ihr ein Angebot: Zinssatz $4,6\,\%$ p.a.

Wie hoch ist ihre Restschuld nach fünf Monaten, wenn sie eine monatliche Rate in Höhe von $90\,€$ bezahlt?
Wie viel Euro Zinsen hat sie bis zu diesem Zeitpunkt bezahlt?
Stelle den Verlauf der Restschuld für jeden Monat in einem aussagekräftigen Diagramm dar.

(2 Pkt.)

Das Koordinatensystem zeigt fünf Parabeln.

Gib zu zwei dieser Parabeln die dazugehörige Gleichung an.
Berechne die Schnittpunkte einer neuen Parabel $y=(x-2)^2+1$ mit der eingezeichneten Geraden.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 2

Florian hält diese sieben Karten (siehe Abbildung) der gleichen Farbe in der Hand.

Wie viele Möglichkeiten mit zwei Karten gibt es, damit jeweils eine unterschiedliche Zahlenkombination entsteht?
Die Reihenfolge spielt dabei keine Rolle. Gib diese Kombinationsmöglichkeiten an.

Es werden zwei Karten (siehe Abbildung) verdeckt und ohne Zurücklegen gezogen.

Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau die Summe $17$ gezogen wird.
Die Reihenfolge muss beachtet werden.

(2 Pkt.)

Direkt nach dem Melken enthält ein Liter Milch durchschnittlich $500$ Keime.
Wird die Milch nach dem Melken nicht gekühlt, verdoppelt sich die Anzahl der Keime stündlich.

Wie viele Keime enthält ein Liter ungekühlte Milch nach fünf Stunden?

Wird die Milch sofort gekühlt, ändert sich der Wachstumsprozess der Keime.
Ein Liter gekühlte Milch enthält nach fünf Stunden nur $1000$ Keime.

Bestimme die Wachstumsrate der Keime.

Wachstumsrate
=
Prozentsatz des Wachstums

(2 Pkt.)

Wird an diesem Rechteck die kurze Seite um $3\,\text{cm}$ und die lange Seite um $5\,\text{cm}$ verlängert, so beträgt der Umfang des neuen Rechtecks $92\,\text{cm}.$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Stelle zwei Gleichungen auf.
Berechne die Länge und Breite des ursprünglichen Rechtecks.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 3

In einem Behälter liegen $30$ Kugeln.
Sie sind mit $A$ oder $B$ oder $C$ beschriftet.
Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Abbildung 1

Übertrage und vervollständige das Baumdiagramm (Abbildung 1).

Aus einem anderen Behälter (Abbildung 2) werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen blind gezogen.

Abbildung 2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Zahl größer als die zweite gezogene Zahl ist?

(2 Pkt.)

Ein gebrauchtes Auto kostet $14\,799\,€.$ Im ersten Jahr beträgt der Wertverlust $8,75\,\%,$ ab dem zweiten Jahr durchschnittlich $7,1\,\%.$

Bestimme die Restwerte jeweils zum Jahresende der ersten fünf Jahre nach dem Kauf.
Erstelle für diese Restwerte ein aussagekräftiges Diagramm.

(2 Pkt.)

Von einem Dreieck $ABC$ kennt man die Höhe $h_c= 5,2\,\text{cm},$ $\beta = 59^{\circ}$ und $\gamma= 71^{\circ}.$

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Fläche des Dreiecks.

Wenn man die Höhe $h_c$ dieses Dreiecks über die Seite $c$ hinaus auf das Doppelte verlängert, erhält man den Punkt $D.$

Berechne den Umfang des neuen Dreiecks $BCD.$

Wahlaufgabe 4

$550$ Personen wurden gefragt, wie viele Kilometer sie jährlich mit dem Fahrrad zurücklegen. Das Diagramm zeigt das Ergebnis der Umfrage.

Berechne die fehlenden Prozentwerte.
Zwei Aussagen lassen sich eindeutig belegen.
Nenne und begründe diese Aussagen.

$A_1$ :

Mehr als die Hälfte der Befragten fährt bis zu $2500$ Kilometer pro Jahr.

$A_2$ :

Jährlich fahren genau $220$ Radfahrer mehr als $2000$ Kilometer.

$A_3:$

Mindestens $190$ Radfahrer fahren weniger als $1501$ Kilometer pro Jahr.

$A_4$ :

Genau einer von $100$ Befragten fährt über $5000$ Kilometer pro Jahr.

$A_5$ :

Junge Menschen fahren mehr Fahrrad als ältere Menschen.

(2 Pkt.)

Elvira gewinnt einen Hubschrauberflug zu den bayrischen Königsschlössern Herrenchiemsee, Neuschwanstein und Linderhof.

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne die gesamte Flugstrecke.
Überprüfe die Behauptung: Der Winkel bei Schloss Linderhof ist ungefähr doppelt so groß wie die beiden anderen Winkel zusammen!

(2 Pkt.)

Am Rande unseres Sonnensystems wird ein neuer Planet vermutet. Seine Masse kann man bereits mit $5,971\cdot 10^{25}\,\text{kg}$ angeben.

Der Erdradius misst $6\,370\,\text{km}.$ Die mittlere Dichte der Erde beträgt $5,515\cdot 10^{12}\,\frac{\text{kg}}{\text{km}^3}.$

Vergleiche die Masse des neuen Planeten mit der Masse der Erde.
Bestimme den Radius des neuen Planeten anhand des Schaubilds.

Masse = Volumen $\cdot$ Dichte

Die Maßzahlen sind gerundet.
Betrachte beide Planeten als Kugeln.

Vergleich der Oberflächen der Planeten

(2 Pkt.)

Lösung 1

Die Bodenfläche berechnen

Der Maßstab bedeutet: $1\,\text{cm}$ in der Abbildung entspricht $0,80\,\text{m}$ in der Wirklichkeit.

Durch Abmessen im Bild ergibt sich für den Durchmesser: $d=9\,\text{cm}$

Hinweis: Je nach Bildschirmgröße kann die Messung variieren. Die Vorgehensweise bleibt jedoch die gleiche.

Somit gilt für den Durchmesser in der Wirklichkeit:

$\cdot 9$

$\begin{array}{rcl} 1\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 0,80\,\text{m}\\[5pt] 9\,\text{cm} & \mathrel{\widehat{=}}& 7,20\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

$:\cdot 9$

Daraus folgt für den Radius: $r=7,20\,\text{m}:2=3,60\,\text{m}$

Damit lässt sich die Bodenfläche berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Kreis}}&=&\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_{\text{Kreis}}&=&\pi\cdot (3,60\,\text{m})^2 \\[5pt] A_{\text{Kreis}}&\approx& \boldsymbol{40,7\,\text{m}^2} \\[5pt] \end{array}$

Wie viele Quadratmeter hat die vollständig geschlossene Hülle?

$\begin{array}[t]{rll} O&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt] O&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \pi\cdot (3,6\,\text{m})^2 \\[5pt] O&\approx&\boldsymbol{81,4\,\text{m}^2} \\[5pt] \end{array}$

Wie hoch ist Lauras Restschuld nach fünf Monaten?

Kredithöhe: $1\,840\,€-280\,€=1\,560\,€$

Monatlicher Zinssatz: $4,6\,\%:12=\dfrac{4,6}{12}\,\%=\dfrac{4,6}{12\cdot 100}$

Tabelle anzeigen

Monat	Schulden zu Beginn	Monatszinsen	Summe	Tilgung	Schulden am Ende
1	$1\,560,00\,€$	$5,98\,€$	$1\,565,98\,€$	$90,00\,€$	$1\,475,98\,€$
2	$1\,475,98\,€$	$5,66\,€$	$1\,481,64\,€$	$90,00\,€$	$1\,391,64\,€$
3	$1\,391,64\,€$	$5,33\,€$	$1\,396,97\,€$	$90,00\,€$	$1\,306,97\,€$
4	$1\,306,97\,€$	$5,01\,€$	$1\,311,98\,€$	$90,00\,€$	$1\,221,98\,€$
5	$1\,221,98\,€$	$4,68\,€$	$1\,226,67\,€$	$90,00\,€$	$\boldsymbol{1\,136,67\,€}$

Beispiel zur Berechnung der Monatszinsen
$1\,560,00\,€\cdot \dfrac{4,6}{12\cdot 100}=5,98\,€$

Beispiel zur Berechnung der Summe
$1\,560,00\,€+5,98\,€=1\,565,98\,€$

Beispiel zur Berechnung der Schulden am Ende
$1\,565,98\,€-90,00\,€=1\,475,98\,€$

Lauras Restschuld nach fünf Monaten beträgt $1\,136,67\,€.$

Wie viel Euro Zinsen hat Laura bis zu diesem Zeitpunkt bezahlt?

$5,98\,€+5,66\,€+5,33\,€+5,01\,€+4,68\,€$ $=\boldsymbol{26,66\,€}$

Sie hat bis zu diesem Zeitpunkt $26,66\,€$ Zinsen bezahlt.

Den Verlauf der Restschuld in einem Diagramm darstellen

Zu zwei der Parabeln die dazugehörige Gleichung angeben

$y_1=-\dfrac{1}{4} x^2$

$y_2=-\dfrac{1}{2} x^2$

$y_3=-x^2$

$y_4=-2x^2$

$y_5=-4x^2$

Schnittpunkte berechnen

Die Funktionsgleichung der eingezeichneten Geraden: $y=-x+5$

Damit gilt:

$\begin{array}[t]{rll} (x-2)^2+1&=&-x+5 & \\[5pt] x^2-4x+4+1&=&-x+5 & \\[5pt] x^2-4x+5&=&-x+5 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] x^2-3x+5&=&5 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] x^2-3x&=&0 &\\[5pt] x\cdot (x-3)&=&0 & \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x_1-3=0\quad \Rightarrow x_1=3$

$x_2=0$

$y$ -Werte berechnen:

$y_1=-3+5=2$

$y_2=-0+5=5$

Somit gilt für die Schnittpunkte: $\boldsymbol{S_1(3\mid 2)}$ und $\boldsymbol{S_2(0\mid 5)}$

Lösung 2

Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Es gibt 8 Kombinationsmöglichkeiten.

Karte 1	Karte 2
7	8
7	9
7	10
8	8
8	9
8	10
9	9
9	10

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird genau die Summe 17 gezogen?

Es gilt:

$P(7)=\dfrac{1}{7}$
$P(8)=\dfrac{2}{7}$
$P(9)=\dfrac{2}{7}$
$P(10)=\dfrac{2}{7}$

Daraus folgt:

$P(\text{Summe 17})$

$\begin{array}[t]{rll} &=& P(7;10)+P(10;7)+P(8;9)+P(9;8)\\[5pt] &=& \dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{7}\cdot \dfrac{2}{6}\\[5pt] &=& \boldsymbol{\dfrac{2}{7}}\\[5pt] &\approx& 0,286=\boldsymbol{28,6\,\%}\\[5pt] \end{array}$

Wie viele Keime enthält ein Liter ungekühlte Milch nach fünf Stunden?

$500\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=500\cdot 2^5=\boldsymbol{16\,000}$

Nach 5 Stunden enthält ein Liter Milch $16\,000$ Keime.

Die Wachstumsrate bestimmen

Gegeben:

$W_0=500$
$n=5$
$W_n=1\,000$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_n&=&W_0\cdot q^n & \\[5pt] W_5&=&W_0\cdot q^5 &\quad \scriptsize \mid\;:W_0 \\[5pt] \dfrac{W_5}{W_0}&=&q^5 \\[5pt] q^5&=& \dfrac{W_5}{W_0}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,\,} \\[5pt] q&=& \sqrt[5]{\dfrac{W_5}{W_0}}& \\[5pt] q&=& \sqrt[5]{\dfrac{1\,000}{500}}& \\[5pt] q&\approx&1,149& \\[5pt] \end{array}$

$\Rightarrow \boldsymbol{p\,\%=14,9\,\%}$

Die Wachstumsrate beträgt $14,9\,\%.$

Zwei Gleichungen aufstellen

$\begin{array}[t]{rll} \text{(I)}&x\cdot y&=&360 \\[5pt] \text{(II)}&2\cdot (x+5)+2\cdot (y+3)&=&92\\[5pt] \end{array}$

Länge und Breite des ursprünglichen Rechtecks berechnen

Gleichung $\text{(I)}$ nach $x$ auflösen

$\(\begin{array}[t]{rll} \text{(I)}&x\cdot y&=&360 &\quad \scriptsize \mid\;:y \\[5pt] \text{(I$

Gleichung $\(\text{(I$ in Gleichung $\text{(II)}$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (x+5)+2\cdot (y+3)&=&92& \\[5pt] 2\cdot \left(\dfrac{360}{y}+5\right)+2\cdot (y+3)&=& 92 \\[5pt] \dfrac{720}{y}+10+2y+6&=&92\\[5pt] \dfrac{720}{y}+2y+16&=&92&\quad \scriptsize \mid\;-92 \\[5pt] \dfrac{720}{y}+2y-76&=&0&\quad \scriptsize \mid\;\cdot y\\[5pt] 720+2y^2-76y&=&0&\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] y^2-38y+360&=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} y_{1/2}&=&-\dfrac{-38}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-38}{2}\right)^2-360}&\\[5pt] y_{1/2}&=&19\pm\sqrt{1}&\\[5pt] y_{1}&=&19+1=20&\\[5pt] y_{2}&=&19-1=18&\\[5pt] \end{array}$

$y_1=20$ in Gleichung $\(\text{(I$ einsetzen

$x_1=\dfrac{360}{y_1}=\dfrac{360}{20}=18$

$y_2=18$ in Gleichung $\(\text{(I$ einsetzen

$x_2=\dfrac{360}{y_2}=\dfrac{360}{18}=20$

Die Seitenlängen des ursprünglichen Rechtecks sind $\boldsymbol{20\,\text{cm}}$ und $\boldsymbol{18\,\text{cm}}.$

Lösung 3

Baumdiagramm vervollständigen

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Zahl größer als die zweite gezogene Zahl ist?

Es gilt:

$P(1)=\dfrac{3}{12}$
$P(2)=\dfrac{5}{12}$
$P(3)=\dfrac{4}{12}$

Daraus folgt:

$P(\text{erste Zahl größer})$

$\begin{array}[t]{rll} &=&P(2;1)+P(3;1)+P(3;2) &\\[5pt] &=&\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{3}{11}+\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{3}{11}+\dfrac{4}{12}\cdot \dfrac{5}{11} &\\[5pt] &=&\boldsymbol{\dfrac{47}{132}} &\\[5pt] &\approx& 0,356=\boldsymbol{35,6\,\%} &\\[5pt] \end{array}$

Restwerte jeweils zum Jahresende der ersten fünf Jahre bestimmen

Tabelle anzeigen

Jahr	Wert zu Beginn	Wertverlust in %	Wertverlust in €	Restwert
1	$14\,799,00\,€$	$8,75\,\%$	$1\,294,91\,€$	$\boldsymbol{13\,504,09\,€}$
2	$13\,504,09\,€$	$7,10\,\%$	$958,79\,€$	$\boldsymbol{12\,545,30\,€}$
3	$12\,545,30\,€$	$7,10\,\%$	$890,72\,€$	$\boldsymbol{11\,654,58\,€}$
4	$11\,654,58\,€$	$7,10\,\%$	$827,48\,€$	$\boldsymbol{10\,827,11\,€}$
5	$10\,827,11\,€$	$7,10\,\%$	$768,72\,€$	$\boldsymbol{10\,058,38\,€}$

Beispiel zur Berechnung des Wertverlusts

$14\,799,00\,€\cdot 8,75\,\%=14\,799,00\,€\cdot 0,0875$ $\approx 1\,294,91\,€$

Beispiel zur Berechnung des Restwerts

$14\,799,00\,€-1\,294,91\,€=13\,504,09\,€$

Für die Restwerte ein Diagramm erstellen

Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

Größe des Winkels $\alpha$ berechnen

$\alpha=180^{\circ}-\beta-\gamma=180^{\circ}-59^{\circ}-71^{\circ}=50^{\circ}$

Länge von $\overline{AE}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{\overline{h_c}}{\overline{AE}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AE} \\[5pt] \tan(\alpha)\cdot \overline{AE}&=& h_c&\quad \scriptsize \mid\;:\tan(\alpha) \\[5pt] \overline{AE}&=& \dfrac{h_c}{\tan(\alpha)} \\[5pt] \overline{AE}&=& \dfrac{5,2\,\text{cm}}{\tan(50^{\circ})} \\[5pt] \overline{AE}&\approx& 4,36\,\text{cm} \end{array}$

Länge von $\overline{EB}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta)&=&\dfrac{h_c}{\overline{EB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{EB} \\[5pt] \tan(\beta)\cdot \overline{EB}&=&h_c &\quad \scriptsize \mid\; :\tan(\beta)\\[5pt] \overline{EB}&=&\dfrac{h_c}{\tan(\beta)} &\\[5pt] \overline{EB}&=&\dfrac{5,2\,\text{cm}}{\tan(59^{\circ})} &\\[5pt] \overline{EB}&\approx&3,12\,\text{cm} \end{array}$

Länge von c berechnen

$\begin{array}[t]{rll} c&=& \overline{AE}+\overline{EB}& \\[5pt] &=& 4,36\,\text{cm}+3,12\,\text{cm}& \\[5pt] &=& 7,48\,\text{cm} \end{array}$

Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{c\cdot h_c}{2}\\[5pt] A&=& \dfrac{7,48\,\text{cm}\cdot 5,2\,\text{cm}}{2}\\[5pt] A&\approx& \boldsymbol{19,45\,\text{cm}^2} \end{array}$

Umfang des neuen Dreiecks berechnen

Länge von $\overline{BC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}^2&=&h_c^{\,\,\,2}+\overline{EB}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{h_c^{\,\,\,2}+\overline{EB}^2} & \\[5pt] \overline{BC}&=&\sqrt{(5,2\,\text{cm})^{2}+(3,12\,\text{cm})^2} & \\[5pt] \overline{BC}&\approx&6,1\,\text{cm} \end{array}$

Umfang berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot h_c+2\cdot\overline{BC} \\[5pt] u&=&2\cdot 5,2\,\text{cm}+2\cdot6,1\,\text{cm} \\[5pt] u&=&\boldsymbol{22,6\,\text{cm}} \end{array}$

Lösung 4

Fehlende Prozentwerte berechnen

Prozentwert für das Segment „1501 bis 2500 km“

$\dfrac{127}{550}\approx0,231=\boldsymbol{23,1\,\%}$

Prozentwert für das Segment „501 bis 1500 km“

$100\,\%-10,50\,\%-23,1\,\%-30,00\,\%-8,80\,\%$ $=\boldsymbol{27,6\,\%}$

Zwei Aussagen nennen, die sich eindeutig belegen lassen

Aussage $A_1$ lässt sich belegen

Es fahren $8,80\,\%+27,6\,\%+23,1\,\%=59,5\,\%$ der Befragten bis zu $2\,500\,\text{km}$ pro Jahr. Das ist mehr als die Hälfte der Befragten.

Aussage $A_3$ lässt sich belegen

Es fahren $8,80\,\%+27,6\,\%=36,4\,\%$ der Befragten weniger als $1501\,\text{km}$ pro Jahr. Das sind $0,364\cdot 550\approx200$ Personen, also mindestens $190.$

Gesamte Länge der Flugstrecke berechnen

Länge von $\overline{NA}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(12,4^{\circ})&=& \dfrac{\overline{NA}}{15,54\,\text{km}}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 15,54\,\text{km} \\[5pt] \cos(12,4^{\circ})\cdot 15,54\,\text{km} &=& \overline{NA}\\[5pt] \overline{NA}&=& \cos(12,4^{\circ})\cdot 15,54\,\text{km} \\[5pt] \overline{NA}&\approx& 15,18\,\text{km} \\[5pt] \end{array}$

Länge von $\overline{AH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AH}&=&\overline{NH}-\overline{NA} \\[5pt] &=&128,13\,\text{km}-15,18\,\text{km} \\[5pt] &=&112,95\,\text{km} \end{array}$

Länge von $\overline{AL}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(12,4^{\circ})&=&\dfrac{\overline{AL}}{15,54\,\text{km}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 15,54\,\text{km}\\[5pt] \sin(12,4^{\circ}) \cdot 15,54\,\text{km}&=&\overline{AL}\\[5pt] \overline{AL}&=&\sin(12,4^{\circ}) \cdot 15,54\,\text{km}\\[5pt] \overline{AL}&\approx&3,34\,\text{km} \end{array}$

Länge von $\overline{LH}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{LH}^2&=&\overline{AL}^2+\overline{AH}^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{LH}&=&\sqrt{\overline{AL}^2+\overline{AH}^2}\\[5pt] \overline{LH}&=&\sqrt{(3,34\,\text{km})^2+(112,95\,\text{km})^2}\\[5pt] \overline{LH}&\approx&113\,\text{km} \end{array}$

Gesamte Länge der Flugstrecke berechnen

$\overline{NL}+\overline{LH}+\overline{NH}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& 15,54\,\text{km}+113\,\text{km}+128,13\,\text{km} \\[5pt] &=&\boldsymbol{256,67\,\text{km}} \end{array}$

Behauptung überprüfen

Größe des Winkels bei Schloss Herrenchiemsee

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{\overline{AL}}{\overline{AH}} \\[5pt] \tan(\alpha)&=&\dfrac{3,34\,\text{km}}{112,95\,\text{km}} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\dfrac{3,34\,\text{km}}{112,95\,\text{km}} \\[5pt] \alpha&\approx&\boldsymbol{1,7^{\circ}} \end{array}$

Größe des Winkels bei Schloss Linderhof

$\beta=180^{\circ}-12,4^{\circ}-1,7^{\circ}=\boldsymbol{165,9^{\circ}}$

Die Winkel bei Schloss Herrenchiemsee und Neuschwanstein ergeben zusammen: $12,4^{\circ}+1,7^{\circ}=14,1^{\circ}.$

Das Doppelte von $14,1^{\circ}$ ist $28,2^{\circ}.$ Somit ist die Behauptung falsch.

Masse des neuen Planeten mit der Masse der Erde vergleichen

Volumen der Erde berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 &\\[5pt] V&=&\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (6\,370\,\text{km})^3 &\\[5pt] V&\approx&1,083\cdot 10^{12}\,\text{km}^3 &\\[5pt] \end{array}$

Masse der Erde berechnen

$\begin{array}[t]{rll} m&=&1,083\cdot 10^{12}\,\text{km}^3 \cdot 5,515\cdot 10^{12}\,\frac{\text{kg}}{\text{km}^3} \\[5pt] m&\approx&0,597\cdot 10^{25}\,\text{kg} \end{array}$

Der neue Planet ist ca. 10-mal schwerer als die Erde.

Radius des neuen Planeten bestimmen

Oberflächeninhalt der Erde berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=&4\cdot \pi\cdot r^2 \\[5pt] O&=&4\cdot \pi\cdot (6\,370\,\text{km})^2 \\[5pt] O&\approx&509\,904\,364\,\text{km}^2 \\[5pt] \end{array}$

Oberflächeninhalt des neuen Planeten berechnen

$:7,3$

$\cdot 100$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 7,3\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 509\,904\,364\,\text{km}^2\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 69\,849\,912,88\,\text{km}^2\\[5pt] 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 6\,984\,991\,288\,\text{km}^2 \end{array}$

$:7,3$

$\cdot 100$

Radius des neuen Planeten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=&4\cdot \pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] \dfrac{O}{4}&=& \pi\cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{O}{4\cdot \pi}&=& r^2 \\[5pt] r^2&=& \dfrac{O}{4\cdot \pi} &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] r&=& \sqrt{\dfrac{6\,984\,991\,288\,\text{km}^2}{4\cdot \pi}} \\[5pt] r&\approx& \boldsymbol{23\,576\,\text{km}^2} \end{array}$