Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 1

Wozu nutzt ihr die Spracheingabe bei deinem Smartphone hauptsächlich?
Mehrfachnennungen waren nicht möglich.

Eine Befragung von 7810 Personen von 14 bis 80 Jahren ergab folgendes Ergebnis:

hauptschulabschluss mathe 2019 baden-württemberg

Bestimme die Anzahl der Personen, die die Spracheingabe hauptsächlich für das „Navigieren“ nutzen.

Von den Personen, die „Verfassen einer Textnachricht“ nannten, waren $75\,\%$ zwischen 14 und 29 Jahre alt.

Wie viel Prozent aller Befragten waren dies?

(2 Pkt.)

Eine Familie möchte $5\,000\,\,€$ für fünf Jahre anlegen und vergleicht die beiden Angebote. Bei beiden Angeboten werden die Zinsen am Ende des Jahres wieder mitverzinst.

Angebot 1

Jahr: $1\,\%$
Jahr: $1,2\,\%$
Jahr: $1,2\,\%$
Jahr: $1,5\,\%$
Jahr: $2\,\%$

Angebot 2

$1,4\,\%$ jährlich
Plus $200\,€$ Bonus nach 5 Jahren

Für welches Angebot soll sich die Familie entscheiden?
Begründe deine Entscheidung.
Stelle die Kapitalentwicklung von Angebot 2 in einem geeigneten Schaubild dar.

(2 Pkt.)

Von einem großen Kegel wird, parallel zu seiner Grundfläche, ein Kegel abgeschnitten.

Berechne den Durchmesser und das Volumen des abgeschnittenen Kegels (grau eingefärbt).
Bestimme die Länge von $s.$

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 2

Bei einem Mountainbike-Rennen mit vier Schülern aus Altdorf, sechs Schülern aus Bergdorf und fünf Schülern aus Durbach starten die Teilnehmer nacheinander. Die Startreihenfolge wird ausgelost.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Starter aus dem gleichen Dorf kommen. Erstelle hierzu ein Baumdiagramm.

Beim Rennen der Schülerinnen starten Anna, Bella, Claudi, Dana, Esma und Finja.

Wie viel unterschiedliche Startaufstellungen gibt es für die beiden ersten Startplätze?

(2 Pkt.)

Während eines Abfahrtslaufs fährt ein Skirennläufer an Messpunkt A, danach an Messpunkt B vorbei. Für diese Strecke benötigt er $1,2 \,\text{s}$ (siehe Skizze).

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennläufers in diesem Streckenabschnitt.

Eine andere Abfahrtsstrecke hat folgendes Streckenprofil:

(Skizze nicht maßstabsgetreu)

Berechne, wie viele Meter Höhenunterschied der Rennläufer nach Zurücklegen der Abfahrtsstrecke $SPZ$ überwunden hat.

(2 Pkt.)

Eine Gerade schneidet eine zur $y$ -Achse symmetrische Parabel im Scheitelpunkt $S(0\mid5)$ und im Punkt $Q(2\mid1).$

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel.
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 3

Das Bild zeigt Würfel mit 12, 8 und 6 Flächen.

Für welchen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, nacheinander zwei Mal die Zahl 1 zu würfeln, am geringsten?
Bestimme diese Wahrscheinlichkeit.

Mit Würfel A wird zweimal hintereinander gewürfelt. Die beiden gewürfelten Zahlen werden addiert.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Summe 11 zu würfeln?

(2 Pkt.)

Theo möchte sich ein E-Bike zum Preis von $1\,900,00\,€$ kaufen.
Er hat bereits $350,00\,€$ angespart. Den Rest muss er über eine Bank finanzieren.

Er erhält folgendes Angebot:

Zinssatz: $4,8\,\%$ p. a
Monatliche Rate: $199,00\,€$

Erstelle eine Tabelle für die ersten 6 Monate.

Laufzeit in Monaten
Kredithöhe
Rate
Zinsen
Tilgung
Restschuld

Berechne, wie viele Zinsen in den ersten 6 Monaten insgesamt gezahlt werden.

(2 Pkt.)

Der Zaun um eine Weidefläche für Schafe (regelmäßiges Achteck) ist $560\,\text{m}$ lang.

Überprüfe rechnerisch, ob auf dieser Weidefläche 20 Mutterschafe gehalten werden können.

$10$ Mutterschafe pro $10\,000 \,\text{m}^2$ Weidefläche

Eine rechteckige Wiese hat eine Fläche von $3\,036\,\text{m}^2.$ Die lange Seite ist um $20\,\text{m}$ länger als die kurze Seite.

Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.

(2 Pkt.)

Wahlaufgabe 4

Es wird erwartet, dass die Einwohnerzahl von Berlin in den nächsten 20 Jahren von derzeit 3,5 Mio. auf 4 Mio. Einwohner ansteigen wird.

Bestimme das durchschnittliche prozentuale Wachstum pro Jahr.

Für das Jahr 2015 liegen für München und Karlsruhe folgende Daten vor:

	Einwohner	Fläche
München	$1\,450\,381$	$310,7\,\text{km}^2$
Karlsruhe	$307\,755$	$173,5\,\text{km}^2$

Die Bevölkerungsdichte gibt an, wie viele Einwohner durchschnittlich auf einem Quadratkilometer leben.
(Einwohner/ $\text{km}^2$ )

Vergleiche die Bevölkerungsdichte der beiden Städte prozentual.

(2 Pkt.)

In der Zeichnung siehst du eine Windkraftanlage.

Für die Berechnungen sind folgende Maße bekannt:

$\overline{AD}=10\,\text{m}$
$\overline{DF}=120\,\text{m}$
$\overline{AB}=142\,\text{m}$
$\overline{DE}=6\,\text{m}$
$\alpha= 35^{\circ}$
$\beta= 30^{\circ}$
$\overline{DE}\mid\mid\overline{BF}$

Wie viele Meter befinden sich die Rotorblätter an der tiefsten Stelle über dem Boden $(\overline{BF})$ ?
Berechne $h_b$ und $\overline{BC}$ (Durchmesser des Drehkreises).

(2 Pkt.)

Die abgebildete Halbkugel hat ein Volumen von $4\,090,5\,\text{cm}^3.$

Berechne den Radius der Halbkugel.

Das Volumen des abgebildeten Kegels ist genau doppelt so groß wie das Volumen der Halbkugel $(V_{\text{Kegel}}= 2\cdot V_{\text{Halbkugel}}).$

Berechne die Oberfläche des Kegels.

(2 Pkt.)

Lösung 1

Anzahl der Personen bestimmen, die die Spracheingabe hauptsächlich für das „Navigieren“ nutzen

Lösungsweg 1

Alle Angaben in Prozent addieren: $8,7\,\%+19,1\,\%+56,3\,\%=84,1\,\%$

$84,1\,\%$ von $7\,810$ Personen sind $0,841\cdot 7\,810\approx 6\,568$ Personen.

Somit nutzen $7\,810-6\,568=1\,242$ Personen die Spracheingabe für Suchanfragen im Internet und zum Navigieren.

Davon nutzen $715$ Personen die Spracheingabe für Suchanfragen im Internet.

Also nutzen $1\,242-715=\boldsymbol{527}$ Personen die Spracheingabe zum Navigieren.

Lösungsweg 2

$715$ Personen in Prozent angeben: $\dfrac{715}{7\,810}\approx0,092=9,2\,\%$

Personen, die die Spracheingabe zum Navigieren nutzen, in Prozent: $100\,\%-8,7\,\%-9,2\,\%-19,1\,\%-56,3\,\%=6,7\,\%$

Also nutzen $0,067\cdot 7\,810\approx \boldsymbol{523}$ Personen die Spracheingabe zum Navigieren.

Hinweis: Rundungsbedingt kommt es je nach Lösungsweg zu Abweichungen im Ergebnis.

Wie viel Prozent aller Befragten, die „Verfassen einer Textnachricht“ nannten, waren zwischen 14 und 29 Jahre?

Anzahl aller Befragten, die „Verfassen einer Textnachricht“ nannten: $0,191\cdot 7\,810\approx 1\,492$

Anzahl aller Befragten, die „Verfassen einer Textnachricht“ nannten und zwischen 14 und 29 Jahre waren: $0,75\cdot 1\,492=1\,119$

In Prozent angeben: $\dfrac{1\,119}{7\,810}\approx0,143=\boldsymbol{14,3\,\%}$

$14,3\,\%$ aller Befragten, die „Verfassen einer Textnachricht“ nannten, waren zwischen 14 und 29 Jahre.

Für welches Angebot soll sich die Familie entscheiden?

Angebot 1

Tabelle anzeigen

Jahr	Startkapital	Zinssatz	Zinsen	Endkapital
1	$5\,000,00\,€$	$1,0\,\%$	$50,00\,€$	$5\,050,00\,€$
2	$5\,050,00\,€$	$1,2\,\%$	$60,60\,€$	$5\,110,60\,€$
3	$5\,110,60\,€$	$1,2\,\%$	$61,33\,€$	$5\,171,93\,€$
4	$5\,171,93\,€$	$1,5\,\%$	$77,58\,€$	$5\,249,51\,€$
5	$5\,249,51\,€$	$2,0\,\%$	$104,99\,€$	$\boldsymbol{5\,354,50\,€}$

Beispiel zur Berechnung der Zinsen
$5\,000,00\,€\cdot 1,0\,\%=5\,000,00\,€\cdot 0,01=50,00\,€$

Beispiel zur Berechnung des Endkapitals
$5\,000,00\,€+50,00\,€=5\,050,00\,€$

Angebot 2

Tabelle anzeigen

Jahr	Startkapital	Zinssatz	Zinsen	Endkapital
1	$5\,000,00\,€$	$1,4\,\%$	$70,00\,€$	$5\,070,00\,€$
2	$5\,070,00\,€$	$1,4\,\%$	$70,98\,€$	$5\,140,98\,€$
3	$5\,140,98\,€$	$1,4\,\%$	$71,97\,€$	$5\,212,95\,€$
4	$5\,212,95\,€$	$1,4\,\%$	$72,98\,€$	$5\,285,94\,€$
5	$5\,285,94\,€$	$1,4\,\%$	$74,00\,€$	$5\,359,94\,€$
	$\boldsymbol{5\,559,94\,€}$ (inkl. Bonus)

Die Familie sollte sich für Angebot 2 entscheiden, da hier das Endkapital höher ist als bei Angebot 1.

Die Kapitalentwicklung von Angebot 2 in einem geeigneten Schaubild darstellen

Durchmesser des abgeschnittenen Kegels berechnen

Den 2. Strahlensatz anwenden, um die Länge von $r_2$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h_2}{h_1}&=&\dfrac{r_2}{r_1} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot r_1 \\[5pt] \dfrac{h_2}{h_1}\cdot r_1&=& r_2 \\[5pt] r_2 &=& \dfrac{h_2}{h_1}\cdot r_1\\[5pt] r_2&=& \dfrac{12\,\text{cm}}{20\,\text{cm}}\cdot 7,5\,\text{cm} \\[5pt] r_2&=&4,5\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt für den Durchmesser $d_2=2\cdot 4,5\,\text{cm}=\boldsymbol{9\,\text{cm}}$

Volumen des abgeschnittenen Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot (4,5\,\text{cm})^2\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] V&\approx&\boldsymbol{254,47\,\text{cm}^3} \end{array}$

Länge von $\boldsymbol{s}$ bestimmen

Satz des Pythagoras anwenden:
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& h_2^{\,\,\,2}+r_2^{\,\,\,2}\\[5pt] s^2&=& (12\,\text{cm})^2+(4,5\,\text{cm})^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] s&=& \sqrt{(12\,\text{cm})^2+(4,5\,\text{cm})^2} \\[5pt] s&\approx& \boldsymbol{12,8\,\text{cm}} \end{array}$

Lösung 2

Baumdiagramm erstellen

Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die ersten beiden Starter aus dem gleichen Dorf kommen $(=A)$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{4}{15}\cdot\dfrac{3}{14}+\dfrac{6}{15}\cdot\dfrac{5}{14}+\dfrac{5}{15}\cdot\dfrac{4}{14} \\[5pt] P(A)&=& \dfrac{31}{105} \\[5pt] P(A)&\approx& 0,295 \\[5pt] P(A)&=& \boldsymbol{29,5\,\%} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt $29,5\,\% .$

Wie viel unterschiedliche Startaufstellungen gibt es für die beiden ersten Startplätze?

Für die erste Starterin gibt es $6$ Möglichkeiten. Für die zweite Starterin gibt es dann noch $5$ Möglichkeiten.

Daraus ergeben sich $6\cdot 5=\boldsymbol{30}$ Möglichkeiten für die Startaufstellungen.

Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennläufers berechnen

Für die Durchschnittsgeschwindigkeit wird zunächst die Länge der Strecke $s$ benötigt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(40^{\circ})&=&\dfrac{26\,\text{m}}{s} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \sin(40^{\circ})\cdot s&=&26\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:\sin(40^{\circ})\\[5pt] s&=&\dfrac{26\,\text{m}}{\sin(40^{\circ})} &\\[5pt] s&\approx&40,45\,\text{m} \end{array}$

Damit kann nun die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} v&=& \dfrac{s}{t} \\[5pt] v&=& \dfrac{40,45\,\text{m} }{1,2\,\text{s}} \\[5pt] v&\approx& 33,7\,\dfrac{\text{m} }{\text{s}} \\[5pt] v&=& 3,6\cdot 33,7\,\dfrac{\text{km} }{\text{h}}\approx\boldsymbol{121,3\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}} \end{array}$

Wie viele Meter Höhenunterschied hat der Rennläufer überwunden?

Höhenunterschied $a$ berechnen

$2\,300\,\text{m}-1\,850\,\text{m}=450\,\text{m}$

Höhenunterschied $b$ berechnen

Zunächst wird die Größe des Winkels $\beta$ benötigt:

$\alpha=175^{\circ}+30^{\circ}-180^{\circ}=25^{\circ}$
$\Rightarrow \beta=90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$

Damit kann nun der Höhenunterschied $b$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{b}{\overline{PZ}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{PZ} \\[5pt] \cos(\beta)\cdot \overline{PZ}&=&b & \\[5pt] b&=&\cos(\beta)\cdot \overline{PZ} &\\[5pt] b&=&\cos(65^{\circ})\cdot 500\,\text{m} & \\[5pt] b&\approx&211,3\,\text{m} & \\[5pt] \end{array}$

Gesamthöhenunterschied berechnen

$450\,\text{m}+211,3\,\text{m}=\boldsymbol{661,3\,\text{m}}$

Funktionsgleichung der Parabel bestimmen

Überlegungen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion lautet $y=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d\mid e).$
Da die Parabel symmetrisch zur $y$ -Achse ist, ist die Parabel nicht nach links oder rechts verschoben. Also ist $d=0.$
Die Parabel hat also folgende Funktionsgleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& a(x-d)^2+e \\[5pt] y&=&a(x-0)^2+e \\[5pt] y&=&ax^2+e \end{array}$

1. Schritt: Scheitelpunkt $S(0\mid 5)$ in die Funktionsgleichung einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&ax^2+e \\[5pt] 5&=&a\cdot 0^2+e \\[5pt] 5&=&e \\[5pt] e&=&5 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt: $y=ax^2+5$

2. Schritt: Punkt $Q(2\mid 1)$ in die Funktionsgleichung einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+5& \\[5pt] 1&=& a\cdot 2^2+5& \\[5pt] 1&=& 4a+5&\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] -4&=& 4a&\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] -1&=& a \\[5pt] a&=& -1 \end{array}$

Somit lautet die Funktionsgleichung der Parabel $\boldsymbol{y=-x^2+5}.$

Funktionsgleichung der Geraden bestimmen

Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+b.$

Da die Gerade die $y$ -Achse im Punkt $S(0\mid5)$ schneidet, gilt für den $y$ -Achsenabschnitt: $b=5$

Daraus folgt: $y=mx+5$

Für die Steigung $m$ gilt: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{5-1}{0-2}=\dfrac{4}{-2}=-2$

Somit lautet die Funktionsgleichung der Geraden $\boldsymbol{y=-2x+5}.$

Lösung 3

Für welchen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, nacheinander zwei Mal die Zahl 1 zu würfeln, am geringsten?

Würfel A hat die meisten Flächen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, damit eine bestimmte Würfelseite zu würfeln, am geringsten.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Summe 11 zu würfeln?

Die Summe 11 kann mit folgenden Wurfkombinationen erzielt werden:

1. Wurf	2. Wurf
1	10
2	9
3	8
4	7
5	6
6	5
7	4
8	3
9	2
10	1

Da die Wahrscheinlichkeit für jede Kombination $P=\dfrac{1}{12}\cdot \dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{144}$ beträgt und es insgesamt $10$ Kombinationen gibt, gilt: $P(\text{Summe 11})=10\cdot\dfrac{1}{144}=\dfrac{5}{72}\approx 0,069=\boldsymbol{6,9\,\%}$

Eine Tabelle für die ersten 6 Monate erstellen

Kredithöhe
Da Theo bereits $350,00\,€$ angespart hat, muss er nur noch einen Kredit in Höhe von $1\,900,00\,€-350,00\,€=1\,550,00\,€$ aufnehmen.

Zinssatz pro Monat
$4,8\,\%:12=0,4\,\%$

Tabelle anzeigen

Laufzeit in Monaten	Kredithöhe	Rate	Zinsen	Tilgung	Restschuld
1	$1\,550,00\,€$	$199,00\,€$	$6,20\,€$	$192,80\,€$	$1\,357,20\,€$
2	$1\,357,20\,€$	$199,00\,€$	$5,43\,€$	$193,57\,€$	$1\,163,63\,€$
3	$1\,163,63\,€$	$199,00\,€$	$4,65\,€$	$194,35\,€$	$969,28\,€$
4	$969,28\,€$	$199,00\,€$	$3,88\,€$	$195,12\,€$	$774,16\,€$
5	$774,16\,€$	$199,00\,€$	$3,10\,€$	$195,90\,€$	$578,26\,€$
6	$578,26\,€$	$199,00\,€$	$2,31\,€$	$196,69\,€$	$381,57\,€$

Beispiel zu Berechnung der Zinsen
$1\,550,00\,€\cdot 0,4\,\%=1\,550,00\,€\cdot 0,004=6,20\,€$

Beispiel zur Berechnung der Tilgung
$199,00\,€-6,20\,€=192,80€$

Beispiel zur Berechnung der Restschuld
$1\,550,00\,€-192,80€=1\,357,20\,€$

Wie viele Zinsen werden in den ersten 6 Monaten insgesamt gezahlt?

$6,20\,€+5,43\,€+4,65\,€$ $+3,88\,€+3,10\,€+2,31\,€=\boldsymbol{25,57\,€}$

In den ersten 6 Monaten werden insgesamt $25,57\,€$ Zinsen gezahlt.

Können auf dieser Weidefläche 20 Mutterschafe gehalten werden?

Um die Aussage zu überprüfen, muss der Weideflächeninhalt berechnet werden. Dazu wird das Achteck zu einem Quadrat ergänzt:

Länge von $a$ berechnen

Hierfür wird die Formel zur Berechnung des Umfangs nach $a$ umgestellt:

$\begin{array}[t]{rll} u&=&8\cdot a &\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] \dfrac{u}{8}&=& a &\\[5pt] a&=& \dfrac{u}{8} &\\[5pt] a&=& \dfrac{560\,\text{m}}{8} &\\[5pt] a&=& 70\,\text{m} \end{array}$

Länge von $b$ berechnen

Satz des Pythagoras anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} b^2+b^2&=& a^2& \\[5pt] 2b^2&=& a^2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] b^2&=& \dfrac{a^2}{2}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] b&=& \sqrt{\dfrac{a^2}{2}}& \\[5pt] b&=& \sqrt{\dfrac{(70\,\text{m})^2}{2}}& \\[5pt] b&\approx& 49,50\,\text{m}& \\[5pt] \end{array}$

Flächeninhalt der vier Dreiecke berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=&4\cdot \dfrac{g\cdot h}{2} \\[5pt] A_D&=&4\cdot \dfrac{b\cdot b}{2} \\[5pt] A_D&=&4\cdot \dfrac{49,50\,\text{m}\cdot 49,50\,\text{m}}{2} \\[5pt] A_D&=&4\,900,50\,\text{m}^2 \end{array}$

Flächeninhalt des Quadrats berechnen

Für die Seitenlänge des Quadrats gilt: $70\,\text{m}+49,50\,\text{m}+49,50\,\text{m}=169,00\,\text{m}$

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=&169,00\,\text{m}\cdot 169,00\,\text{m} & \\[5pt] A_Q&=&28\,561,00\,\text{m}^2 & \\[5pt] \end{array}$

Weideflächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_W&=& A_Q-A_D&\\[5pt] A_W&=& 28\,561,00\,\text{m}^2-4\,900,50\,\text{m}^2&\\[5pt] A_W&=& 23\,660,50\,\text{m}^2&\\[5pt] \end{array}$

$20$ Mutterschafe benötigen $2\cdot 10\,000\,\text{m}^2 =20\,000\,\text{m}^2$ Weidefläche. Somit können $20$ Mutterschafe auf dieser Weidefläche gehalten werden.

Die Seitenlängen des Rechtecks berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&a\cdot b & \\[5pt] A&=&a\cdot (a+20) &\\[5pt] A&=&a^2+20\cdot a & \\[5pt] 3\,036&=&a^2+20\cdot a &\quad \scriptsize \mid\;-3\,036 \\[5pt] 0&=&a^2+20\cdot a-3\,036 &\\[5pt] a_{1/2}&=&-\dfrac{20}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{20}{2}\right)^2+3\,036} &\\[5pt] a_{1/2}&=&-10\pm\sqrt{100+3\,036} &\\[5pt] a_1&=&-10+56=46 &\\[5pt] a_2&=&-10-56=-66 \end{array}$

Da eine Seitenlänge nicht negativ sein kann, gilt: $\boldsymbol{a=46\,\text{m}}$

Daraus folgt für die andere Seitenlänge: $b=a+20\,\text{m}=46\,\text{m}+20\,\text{m}=\boldsymbol{66\,\text{m}}$

Lösung 4

Das durchschnittliche prozentuale Wachstum pro Jahr bestimmen

Gegeben:

$W_0=3,5\,\text{Mio.}$ Einwohner
$n=20$
$W_{20}=4\,\text{Mio.}$ Einwohner

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_{20}&=&W_0\cdot q^{20} &\quad \scriptsize \mid\;:W_0 \\[5pt] \dfrac{W_{20}}{W_0}&=&q^{20} &\\[5pt] q^{20}&=&\dfrac{W_{20}}{W_0} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[20]{\,\,} \\[5pt] q&=&\sqrt[20]{\dfrac{W_{20}}{W_0}} & \\[5pt] q&=&\sqrt[20]{\dfrac{4\,\text{Mio.}}{3,5\,\text{Mio.}}} & \\[5pt] q&\approx&1,007 & \\[5pt] \end{array}$

$\Rightarrow \boldsymbol{p\,\%=0,7\,\%}$

Das durchschnittliche prozentuale Wachstum pro Jahr beträgt etwa $0,7\,\%.$

Die Bevölkerungsdichte der beiden Städte prozentual vergleichen

Bevölkerungsdichte von München

$\dfrac{1\,450\,381\,\text{Einwohner}}{310,7\,\text{km}^2}\approx4\,668\,\dfrac{\text{Einwohner}}{\text{km}^2}$

Bevölkerungsdichte von Karlsruhe

$\dfrac{307\,755\,\text{Einwohner}}{173,5\,\text{km}^2}\approx1\,774\,\dfrac{\text{Einwohner}}{\text{km}^2}$

Prozentualer Vergleich

$:4\,668$

$\cdot 1\,774$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 4\,668 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{4\,668}\,\%\\[5pt] 1\,774 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{4\,668}\cdot1\,774\,\% \end{array}$

$:4\,668$

$\cdot 1\,774$

$\dfrac{100}{4\,668}\cdot1\,774\,\%\approx38\,\%$

Karlsruhe hat also $100\,\%-38\,\%=\boldsymbol{62\,\%}$ weniger Einwohner pro $\text{km}^2$ als München.

Alternativer prozentualer Vergleich

$:1\,774$

$\cdot 4\,668$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 1\,774 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{1\,774}\,\%\\[5pt] 4\,668& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{1\,774}\cdot4\,668\,\% \end{array}$

$:1\,774$

$\cdot 4\,668$

$\dfrac{100}{1\,774}\cdot4\,668\,\%\approx263\,\%$

München hat also $263\,\%-100\,\%=\boldsymbol{163\,\%}$ mehr Einwohner pro $\text{km}^2$ als Karlsruhe.

Wie viele Meter befinden sich die Rotorblätter an der tiefsten Stelle über dem Boden?

Den 2. Strahlensatz anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AD}}{\overline{DE}}&=&\dfrac{\overline{AF}}{\overline{BF}} &\\[5pt] \dfrac{\overline{AD}}{\overline{DE}}&=&\dfrac{\overline{AD}+\overline{DF}}{\overline{BF}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BF} \\[5pt] \dfrac{\overline{AD}}{\overline{DE}}\cdot \overline{BF}&=&\overline{AD}+\overline{DF} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} \\[5pt] \overline{BF}&=&(\overline{AD}+\overline{DF})\cdot \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AD}} & \\[5pt] \overline{BF}&=&(10\,\text{m}+120\,\text{m})\cdot \dfrac{6\,\text{m}}{10\,\text{m}} & \\[5pt] \overline{BF}&=&\boldsymbol{78\,\text{m}} \end{array}$

Die Rotorblätter befinden sich an der tiefsten Stelle $78\,\text{m}$ über dem Boden.

$\boldsymbol{h_b}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{h_b}{\overline{AB}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AB} \\[5pt] \sin(\alpha)\cdot \overline{AB}&=& h_b & \\[5pt] h_b&=&\sin(\alpha)\cdot \overline{AB}& \\[5pt] h_b&=&\sin(35^{\circ})\cdot 142\,\text{m}& \\[5pt] h_b&\approx&\boldsymbol{81,45\,\text{m}}& \\[5pt] \end{array}$

$\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\beta)&=& \dfrac{h_b}{\overline{BC}}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{BC} \\[5pt] \sin(\beta)\cdot \overline{BC}&=& h_b&\quad \scriptsize \mid\;:\sin(\beta) \\[5pt] \overline{BC}&=& \dfrac{h_b}{\sin(\beta)}&\\[5pt] \overline{BC}&=& \dfrac{81,45\,\text{m}}{\sin(30^{\circ})}&\\[5pt] \overline{BC}&=&\boldsymbol{162,9\,\text{m}} \end{array}$

Radius der Halbkugel berechnen

Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel: $V_K=\dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$

Formel zur Berechnung des Volumens einer Halbkugel: $V_H=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3=\dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3$

Daraus ergibt sich für den Radius:
$\begin{array}[t]{rll} V_H&=& \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{3}{2} \\[5pt] V_H\cdot \dfrac{3}{2} &=& \pi\cdot r^3&\quad \scriptsize \mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{V_H\cdot \dfrac{3}{2}}{\pi} &=& r^3&\\[5pt] r^3 &=& \dfrac{V_H\cdot \dfrac{3}{2}}{\pi}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[3]{\,\,} \\[5pt] r &=& \sqrt[3]{\dfrac{V_H\cdot \dfrac{3}{2}}{\pi}} \\[5pt] r &=& \sqrt[3]{\dfrac{4\,090,5\,\text{cm}^3\cdot \dfrac{3}{2}}{\pi}} \\[5pt] r &\approx& \boldsymbol{12,5\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Oberflächeinhalt des Kegels berechnen

Formel zur Berechnung des Oberflächeinhalts eines Kegels: $O=G+M=\pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot s$

$r$ ist bereits gegeben mit $r=d:2=21\,\text{cm}\cdot 2=10,5\,\text{cm}$

Somit fehlt nur noch die Länge von $s$ .

Dazu wird zunächst die Länge von $h$ berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot h\cdot r^2&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] 3\cdot V&=& \pi \cdot h\cdot r^2&\quad \scriptsize \mid\;: \pi \\[5pt] \dfrac{3\cdot V}{\pi}&=&h\cdot r^2&\quad \scriptsize \mid\;:r^2 \\[5pt] \dfrac{3\cdot V}{\pi\cdot r^2}&=&h&\\[5pt] h&=&\dfrac{3\cdot V}{\pi\cdot r^2}&\\[5pt] h&=&\dfrac{3\cdot (2\cdot 4\,090,5\,\text{cm}^3)}{\pi\cdot (10,5\,\text{cm})^2}&\\[5pt] h&\approx&70,86\,\text{cm}&\\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz des Pythagoras kann nun die Länge von $s$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& r^2+h^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] s&=& \sqrt{r^2+h^2} \\[5pt] s&=& \sqrt{(10,5\,\text{cm})^2+(70,86\,\text{cm})^2} \\[5pt] s&\approx&71,63\,\text{cm} \end{array}$

Mit diesen Angaben kann der Oberflächeninhalt des Kegels berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} O&=& \pi\cdot r^2+\pi\cdot r\cdot s \\[5pt] O&=& \pi\cdot (10,5\,\text{cm})^2+\pi\cdot 10,5\,\text{cm}\cdot 71,63\,\text{cm} \\[5pt] O&\approx&\boldsymbol{2\,709\,\text{cm}^2} \end{array}$