Pflichtteil A2

Lars macht einen Zufallsversuch mit drei roten, einer gelben und zwei schwarzen Kugeln.

Überprüfe die Aussagen und begründe.
A) Es handelt sich um einen Zufallsversuch mit Zurücklegen.
B) Wahrscheinlichkeit: $P_{(\text{zwei rote Kugeln})}=20\,\%$

Das Glücksrad soll zweimal gedreht werden. Die Ergebnisse werden dann addiert.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Drehen eine Summe von höchstens $4$ zu erhalten. (Summe $\leq 4$ )

(3 Pkt.)

Der Flächeninhalt der zusammengesetzten Figur beträgt $75\,\text{m}^2$ .
Die Seite $a$ ist $6\,\text{m}$ länger als die Seite $b.$
Die Höhe $h$ beträgt $7\,\text{m}$ .

Berechne $a$ und $b;$ stelle dazu zunächst eine Gleichung auf.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(2 Pkt.)

Beim Stern von Bethlehem handelt es sich um eine Sternenkonstellation, bei der sich die Planeten Saturn und Jupiter auf ihren Umlaufbahnen nahe kommen.
Von der Erde aus kann man dann ihren Abstand kaum noch wahrnehmen.

Am 21.12.2020 lagen die beiden Planeten von der Erde aus gesehen nur $0,1^{\circ}$ auseinander.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Berechne $x$ in $\text{km}$ .

Jeder Planet unseres Sonnensystems bewegt sich auf einer Umlaufbahn um die Sonne.

Berechne die in der Tabelle fehlenden Werte.

Tabelle anzeigen

	Erde	Jupiter	Saturn
Umlaufzeit	$365$ Tage	$4\,329$ Tage
Geschwindigkeit	$107\,208\,\text{km/h}$	$47\,052\,\text{km/h}$	$34\,884\,\text{km/h}$
Länge der Umlaufbahn	$939\,142\,080\,\text{km}$		$9\,000\,909\,216\,\text{km}$

(3 Pkt.)

Für die Skizze gilt: $r=7,5\,\text{cm}$ und $\alpha=110^{\circ}$ .

Berechne $b.$

In einen weiteren Kreis mit $r=4\,\text{cm}$ wird ein Quadrat eingezeichnet.
Die vier Eckpunkte liegen auf der Kreislinie.

Erstelle eine Skizze und berechne den Flächeninhalt des Quadrates.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(3 Pkt.)

Vor drei Jahren hat Familie Kramer bei einer Bank $15\,000,00\,€$ angelegt:

Berechne, welcher Betrag Familie Kramer nach Ablauf der drei Jahre zur Verfügung steht.

Laufzeit:	$3$ Jahre
Zinssatz:	$1,5\,\%$ p.a.
(Zinsen werden mitverzinst)

Dieses Geld wurde ausbezahlt. Davon werden $14\,000,00\,€$ zum Kauf eines neuen Autos (Gesamtpreis $25\,000,00\,€$ ) als Anzahlung verwendet.
Der Rest muss über eine Bank in Form eines Annuitätendarlehens finanziert werden:

Zinssatz:	$1,44\,\%$ p.a.
Laufzeit:	$26$ Monate
Monatliche Rate:	$430,00\,€$

Berechne die Tilgung der ersten beiden Monate.

Kredithöhe Monatsanfang
Zinsen
Rate
Tilgung
Kredithöhe Monatsende

(2 Pkt.)

Ein Wasserspeicher hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel (siehe Abbildung).
In das zylinderförmige Wasserbecken passen, vollständig gefüllt, $8\,\text{m}^3$ Wasser.
Folgende weitere Maße sind bekannt:

$\alpha=40^\circ$

$s=1,35\,\text{m}$

Olga Ernst & Hp.Baumeler, Wassertank und Ausfahrsignale in Hausen im Tal, CC BY-SA 4.0

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Berechne die Höhe des Wasserbeckens.
Berechne die Gesamthöhe des Wasserspeichers.

Das Blechdach des Wasserspeichers soll ersetzt werden. Der Dachüberstand beträgt $a=15\,\text{cm}$ (siehe Abbildung).

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Berechne, wie viel $\text{m}^2$ Blech benötigt werden.

(3 Pkt.)

Die Parabel $y=-\frac{1}{4} x^2+4$ wird an der $x$ -Achse gespiegelt.
Der Scheitelpunkt wird um $2\,\text{LE}$ nach oben verschoben.

Nenne die Funktionsgleichung für die neue Parabel.
Zeichne die Parabel $y=-\frac{1}{4} x^2+4$ in ein geeignetes Koordinatensystem ein.

(2 Pkt.)

Die Grafik zeigt die Kostenentwicklung beim Bau eines Großflughafens.

Berechne, um wie viel Prozent die Kosten von $2010$ bis $2020$ angestiegen sind.
Bestimme, in welchen beiden aufeinanderfolgenden Jahren der Kostenanstieg prozentual am größten war.

Kostenentwicklung beim Bau eines Großflughafens

Die durchschnittliche jährliche Kostensteigerung von $2010$ bis $2020$ betrug $9,86\,\%.$

Berechne, auf welchen Betrag eine Geldanlage von $25\,000,00\,€$ mit diesem jährlichen Zinssatz von $2010$ bis $2020$ angestiegen wäre.
(Die Zinsen werden mitverzinst.)

(2 Pkt.)

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Aussagen überprüfen und begründen

Aussage A) ist falsch.
Zunächst wird aus sechs Kugeln gezogen und anschließend aus fünf Kugeln. Der Nenner verändert sich von $6$ auf $5$ und deshalb wird die gezogene Kugel also nicht zurückgelegt.

Aussage B) ist richtig.
$P(\text{2x rot})=\dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}=20\,\%$

Wahrscheinlichkeit für Summe berechnen

Mögliche Ergebnisse für Summe höchstens 4:
$(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(1;3),(3;1)$

$P(\text{Summe höchstens 4})=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2}{8}$ $+\dfrac{2}{8}\cdot \dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{8}\cdot \dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{8}\cdot \dfrac{1}{8}$

$P(\text{Summe höchstens 4})=\dfrac{1}{64}+\dfrac{2}{64}$ $+\dfrac{2}{64}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{4}{64}+\dfrac{4}{64}=\dfrac{17}{64}$

Um beim zweimaligen Drehen eine Summe von höchstens 4 zu erhalten, beträgt die Wahrscheinlichkeit $\frac{17}{64}.$

Für den gesamten Flächeninhalt gilt: $A=A_\text{Rechteck}+A_\text{Dreieck}$

In Abhängkeit von $a$ und $b$ bedeutet das:

$A=a\cdot b+\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h$

Es gilt $b=a-6$ und $h=7,$ also folgt:

$A=a\cdot (a-6)+\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 7$

Der Flächeninhalt beträgt $75,$ die Formel wird also mit $75$ gleichgesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot (a-6)+\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot 7&=&75 \\[5pt] a^2-6a+3,5a&=&75 \\[5pt] a^2-2,5a&=&75 & \scriptsize \mid\; -75\\[5pt] a^2-2,5a-75&=&0\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-2,5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2,5}{2}\right)^2-(-75)} \\[5pt] &=& 1,25 \pm \sqrt{\left(-1,25\right)^2+75} \\[5pt] a_{1,2}&=& 1,25 \pm 8,75\\[5pt] a_1&=&10\\[5pt] a_2&=&-7,5 \end{array}$

$a_1$ ist die einzige Lösung, da $a_2$ keine Längenangabe ist (wegen negativem Vorzeichen)

Daraus folgt für $b:$

$b=a-6=10-6=4$

Die Strecken sind also $a=10\,\text{cm}$ und $b=4\,\text{cm}$ lang.

$\boldsymbol{x}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$1\,096\,066\,\text{km}$

Fehlende Werte berechnen

Länge Umlaufbahn Jupiter

Umrechnung der $4\,329$ Tage in Stunden: $4\,329\cdot 24\,\text{h}=103\,896\,\text{h}$

$v=\dfrac{s}{t}$ ( $v$ ist die Geschwindigkeit), diese Gleichung umgeformt ergibt: $s=v\cdot t$

Länge der Umlaufbahn: $47\,052\,\text{km/h}\cdot 103\,896\,\text{h}$ $=4\,888\,514\,592\,\text{km}$

Der Jupiter hat eine Umlaufbahn mit der Länge $4\,888\,514\,592\,\text{km}.$

Umlaufzeit Saturn

$v=\dfrac{s}{t}$ umgestellt ergibt $t=\dfrac{s}{v}$

Umlaufzeit: $t=\dfrac{9\,000\,909\,216\,\text{km}}{34\,884\,\text{km/h}}$ $=258\,024\,\text{h}$

Umrechnung in Tage: $258\,024:24=10\,751$

Die Umlaufzeit des Saturns beträgt $10\,751$ Tage.

Länge von $\boldsymbol{b}$ berechnen

Rechenweg anzeigen

$b\approx 12,3\,\text{cm}$

Skizze erstellen und Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt des Quadrats lässt sich berechnen über $A=a^2.$

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich $a$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=&(4\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] a&=&\sqrt{32\,\text{cm}^2}=\sqrt{32}\,\text{cm} \end{array}$

$A=\left(\sqrt{32}\,\text{cm}\right)^2=32\,\text{cm}^2$

Betrag berechnen

$K_3=15\,000\,€\cdot (1,015)^3$

$K_3\approx 15\,685,18\,€$

Nach Ablauf der drei Jahre, stehen Familie Kramer also $15\,685,18\,€$ zur Verfügung.

Tilgung berechnen

Kredithöhe Monatsanfang	$11\,000\,€$	$10\,583,20\,€$
Zinsen	$13,20\,€$	$12,70\,€$
Rate	$430\,€$	$430\,€$
Tilgung	$416,80\,€$	$417,30\,€$
Kredithöhe Monatsende	$10\,583,20\,€$	$10\,165,90\,€$

In den ersten beide Monaten werden also $416,80\,€$ und $417,30\,€$ getilgt.

Höhe des Wasserbeckens berechnen

1. Schritt: Radius $r$ des Wasserbeckens berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(40^\circ)&=&\dfrac{r}{1,35\,\text{m}} &\scriptsize \mid\;\cdot 1,35\,\text{m} \\[5pt] r&=&\cos(40^\circ)\cdot 1,35\,\text{m}\\[5pt] r&\approx& 1,03\,\text{m} \end{array}$

2. Schritt: Höhe $h_1$ des Wasserbeckens berechnen

$V_\text{Zylinder}=\pi\cdot r^2\cdot h_1$

$V_\text{Zylinder}=8\,\text{m}^3$

$\begin{array}[t]{rll} \pi\cdot (1,03\,\text{m})^2\cdot h_1&=&8\,\text{m}^3 \quad \scriptsize \mid\;:(\pi\cdot (1,03\,\text{m})^2) \\[5pt] h_1&=&\dfrac{8\,\text{m}^3}{\pi\cdot (1,03\,\text{m})^2}\\[5pt] h_1&\approx&2,4\,\text{m} \end{array}$

Das Wasserbecken ist also ca. $2,4\,\text{m}$ hoch.

Gesamthöhe des Wasserspeichers berechnen

1. Schritt: Höhe $h_2$ des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \sin(40^\circ)&=&\dfrac{h_2}{1,35\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot 1,35\,\text{m} \\[5pt] \sin(40^\circ)\cdot 1,35\,\text{m} &=&h_2 \\[5pt] h_2&\approx&0,87\,\text{m} \end{array}$

2. Schritt: Gesamthöhe $h$ berechnen

$h=h_1+h_2$

$h=2,4\,\text{m}+0,87\,\text{m}=3,27\,\text{m}$

Der gesamte Wasserspeicher ist $3,27\,\text{m}$ hoch.

Benötigte Fläche an Blech berechnen

Das Blechdach stellt eine Mantelfläche ( $M$ ) eines Kegels dar.

1. Schritt: Streckenlängen von $r_1$ und $r_2$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(40^\circ)&=&\dfrac{r_1}{0,15\,\text{m}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 0,15\,\text{m}\\[5pt] r_1&=&\cos(40^\circ)\cdot 0,15\,\text{m}\\[5pt] r_1&\approx&0,11\,\text{m} \end{array}$

$r_2=1,03\,\text{m}+0,11\,\text{m}=1,14\,\text{m}$

2. Schritt: Blechbedarf berechnen

$s_2=s+0,15\,\text{m}$ $=1,35\,\text{m}+0,15\,\text{m}$ $=1,5\,\text{m}$

$\begin{array}[t]{rll} M&=&\pi\cdot r_2\cdot s_2 \\[5pt] &=&\pi\cdot 1,14\,\text{m} \cdot 1,5\,\text{m}\\[5pt] M&\approx&5,37\,\text{m}^2 \end{array}$

Es werden also ca. $5,4\,\text{m}^2$ Blech benötigt.

Funktionsgleichung nennen

Zunächst wird die Parabel an der $x$ -Achse gespiegelt und hat dann die Funktionsgleichung $y=\dfrac{1}{4}x^2-4.$ Anschließend wird diese um $2\,\text{LE}$ nach oben verschoben. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet damit: $y=\dfrac{1}{4}x^2-2$

Parabel zeichnen