Wahlteil B

Aufgabe 1

Das abgebildete Kunstwerk „Fußball“ besteht innen aus einer Styroporkugel und außen aus einer Hülle aus Leichtbeton.
Der „Fußball“ hat einen Umfang von $4,70\,\text{m}$ .

Bestimme die Oberfläche des „Fußballs“.

Die Styroporkugel hat ein Gewicht von $21,54\,\text{kg}$ und einen Durchmesser von $1,40\,\text{m}.$

Berechne das Gewicht des „Fußballs“, wenn $1\,\text{m}^3$ Leichtbeton $1050\,\text{kg}$ wiegt.
Berechne die Winkel $\alpha$ und $\beta$ im abgebildeten regelmäßigen Fünfeck.

(5 Pkt.)

Noemi baut für ihren Hund einen neuen Auslauf.
Der Auslauf soll einen Flächeninhalt von $45,5\,\text{m}^2$ haben. Er wird an $3$ Seiten von einem insgesamt $20\,\text{m}$ langen Drahtzaun begrenzt.
Entlang der Hauswand gibt es keinen Zaun.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Berechne die beiden Möglichkeiten für die Länge $a$ und die Breite $b$ des Auslaufs.

Von der Normalparabel in der Form $y=x^2+c$ sind die folgenden Werte bekannt.

$x$	$y$
$-4$	$22$
$-3$	$15$
$-2$	$10$
$-1$
$0$
$1$
$2$

Vervollständige die Wertetabelle.

(5 Pkt.)

Aufgabe 2

Eine mit $2\,\text{m}$ Abstand zum Boden installierte LED-Lampe beleuchtet eine kreisrunde Fläche auf dem Boden. (siehe Abbildung)

Berechne diese Kreisfläche.

Mit dieser LED-Lampe soll ein quadratischer Tisch mit einer Seitenlänge von $0,9\,\text{m}$ vollständig ausgeleuchtet werden.

Berechne den Mindestabstand der Lampe vom Tisch.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

In einem Haushalt muss eine defekte Glühbirne ausgetauscht werden.

Bestimme, ab welcher Leuchtdauer in Stunden sich der Einsatz von Leuchtmittel 1 im Vergleich zu Leuchtmittel 2 lohnt.

Leuchtmittel 1 (LED)

$120\,\text{ct}$

$0,2\,\text{ct}$

Leuchtmittel 2 (Halogen)

$80\,\text{ct}$

$1,2\,\text{ct}$

(5 Pkt.)

$M$ ist der Mittelpunkt des Halbkreises.

$\overline{AB}=14,0\,\text{cm}$

Berechne den Winkel $\delta$ .
Berechne die Länge der Strecke $\overline{BC}$ .
Berechne den Flächeninhalt der grauen Fläche.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Eine Parabel $p:y=0,5 x^2-1$ und die Gerade $g:y=1,5x-1$ schneiden sich.

Ermittle die Schnittpunkte.

(5 Pkt.)

Aufgabe 3

Die Länge der Grundkante und die Höhe der quadratischen Pyramide betragen jeweils $6,0\,\text{m}$ .

Berechne den Flächeninhalt einer Seitenfläche.
Berechne den Winkel $\alpha$ .
Um wievielmal größer wird das Volumen der Pyramide, wenn die Länge der Grundkanten verdoppelt wird und die Pyramidenhöhe unverändert bleibt?
Begründe deine Antwort.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(5 Pkt.)

Von Juni bis Dezember 2020 war der Mehrwertsteuersatz (MwSt.) von $19\,\%$ auf $16\,\%$ reduziert. Ein Sweatshirt kostete im Dezember 2020 einschließlich der MwSt. $49,90\,€$ .
Ab Januar 2021 wurde die MwSt. wieder auf $19\,\%$ erhöht.

Berechne den Preis des Sweatshirts im Januar 2021.

Das Geschäft kalkuliert seine Preise nach folgendem Schema.

Einkaufspreis ( $100\,\%$ )	$+25\,\%$ Gewinn
$=$ Nettopreis (Einkaufspreis + Gewinn)		$+19\,\%$ MwSt.
$=$ Bruttopreis (Nettopreis + MwSt.)

Eine Jacke wird inkl. MwSt. (Bruttopreis) zu $149,90\,€$ verkauft.

Berechne den Einkaufspreis für diese Jacke.

Für eine Werbeaktion dürfen die Kunden ihren Rabatt auf den Bruttopreis auswürfeln. Hierzu dürfen die Kunden $2$ -mal mit einem Spielwürfel würfeln und die Ergebnisse werden addiert.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Rabatt von über $10\,\%$ .

(5 Pkt.)

Aufgabe 4

Ein Viereck hat folgende Maße:

Bestimme die Winkel $\alpha$ und $\beta$ .
Bestimme den Umfang der Figur.

$a=14\,\text{m};$ $b=15\,\text{m};$ $c=10\,\text{m}$

(Abbildung nicht maßstabsgerecht)

(5 Pkt.)

Die abgebildete Parabel $y_1=x^2-3$ wird an der Geraden $y=2,5$ gespiegelt.

Zeichne die gespiegelte Parabel in ein geeignetes Koordinatensystem ein.
Bestimme den Scheitelpunkt der gespiegelten Parabel.

In einem Koordinatensystem befinden sich die Geraden $g_1: y=2 x+5$ und $g_2$ mit der Steigung $m=-3$ und dem $y$ -Achsenabschnitt $c=2,5$ .

Bestimme den Punkt, an dem sich die beiden Geraden $g _1$ und $g _2$ schneiden.
Überprüfe, welche der Geraden $y_1=2 x-3 ; y_2=3 x+5$ oder $y_3=-2 x+5$ parallel zu $g_1$ ist. Begründe deine Aussage.

(5 Pkt.)

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Lösung 1

Oberflächeninhalt des „Fußballs“ bestimmen

Oberflächeninhalt einer Kugel: $O=4\cdot \pi\cdot r^2$

Dazu muss der Radius $r$ berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} u&=&2\cdot \pi\cdot r \\[5pt] 4,70\,\text{m}&=&2\cdot \pi\cdot r & \scriptsize \mid\;:(2\pi) \\[5pt] \dfrac{4,70\,\text{m}}{2\pi}&=&r \\[5pt] r&\approx&0,75\,\text{m} \end{array}$

$O=4\cdot \pi\cdot (0,75\,\text{m})^2$ $\approx 7,07\,\text{m}^2$

Der Oberflächeninhalt des „Fußballs“ beträgt ca. $7,07\,\text{m}^2.$

Gewicht des „Fußballs“ berechnen

Gewicht des „Fußballs“ $=$ Gewicht der Styroporkugel $+$ Gewicht der Hülle aus Leichtbeton

Gewicht der Hülle aus Leichtbeton berechnen

Rechenweg anzeigen

$V_\text{Hülle}\approx 0,33\,\text{m}^3$

Gewicht der Hülle: $0,33\cdot 1\,050\,\text{kg}=346,5\,\text{kg}$

Gesamtgewicht berechnen

$21,54\,\text{kg}+346,5\,\text{kg}=368,04\,\text{kg}$

Der „Fußball“ wiegt also ca. $368,04\,\text{kg}.$

Größe der Winkel berechnen

Winkel $\alpha$ berechnen

In einem Fünfeck beträgt die Winkelsumme $540^\circ.$ Daher kann $\alpha$ direkt berechnet werden:

$\alpha=540^\circ:5=108^\circ$

Winkel $\beta$ berechnen

Zunächst kann der Winkel $\gamma$ berechnet werden:

$\gamma=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2}=\dfrac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ$

Da die Innenwinkel $108^\circ$ groß sind, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \beta+\gamma+\gamma&=&108^\circ \\[5pt] \beta+2\gamma&=&108^\circ & \scriptsize \mid\;-2\gamma \\[5pt] \beta&=&108^\circ -2\gamma \\[5pt] &=&108^\circ -2\cdot 36^\circ \\[5pt] \beta&=&36^\circ \end{array}$

Möglichkeiten der Längen berechnen

Lösung über ein Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen:

Gleichung $\text{I}$ : Der Flächeninhalt ( $a\cdot b$ ) beträgt $45,5\,\text{m}^2.$
Gleichung $\text{II}$ : Die Länge des Zauns ( $a+2b$ ) beträgt $20\,\text{m}.$

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&a\cdot b&=& 45,5\\ \text{II}\quad&a+2 b&=&20 & \scriptsize\mid\;-2 b \\ &a&=&20-2b \end{array}$

$a$ einsetzen in $\text{I}$ :

$\begin{array}[t]{rll} (20-2b)\cdot b&=&45,5\\[5pt] 20b-2b^2&=&45,5 & \scriptsize \mid\;-45,5 \\[5pt] 20b-2b^2-45,5&=&0 \\[5pt] -2b^2+20b-45,5&=&0 & \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] b^2-10b+22,75&=&0 \end{array}$

Mit der Lösungsformel wird $b$ berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} b_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-10}{2}\right)^2-22,75} \\[5pt] &=& 5 \pm 1,5 \\[5pt] b_1&=&6,5\\[5pt] b_2&=&3,5 \end{array}$

Einsetzen in $\text{II}:$

$a_1=20-2\cdot 6,5=7$
$a_2=20-2\cdot 3,5=13$

Der Auslauf ist entweder $7\,\text{m}$ lang und $6,5\,\text{m}$ breit oder $13\,\text{m}$ lang und $3,5\,\text{m}$ breit.

Wertetabelle vervollständigen

Die Funktionsgleichung lautet $y=x^2+c.$
$c$ kann mit einem Wertepaar berechnet werden:

$(-2\mid 10)$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} 10&=&(-2)^2+c \\[5pt] 10&=&4+c &\scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] c&=&6 \end{array}$

$y=x^2+6$

$x$	$y$
$-4$	$22$
$-3$	$15$
$-2$	$10$
$-1$	$7$
$0$	$6$
$1$	$7$
$2$	$10$

Lösung 2

Flächeninhalt des Kreises berechnen

Dafür wird der Radius $r$ des Kreises benötigt.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

$\begin{array}[t]{rll} \tan(30^\circ)&=&\dfrac{r}{2\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\,\text{m}\\[5pt] r&=&2\,\text{m}\cdot \tan(30^\circ)\\[5pt] r&\approx&1,15\,\text{m} \end{array}$

$A=\pi\cdot (1,15\,\text{m})^2\approx 4,15\,\text{m}^2$

Der Flächeninhalt des Kreises beträgt also ca. $4,15\,\text{m}^2.$

Mindestabstand berechnen

Damit der Tisch vollständig ausgeleuchtet werden kann, muss der Radius des Kreises mindestens so lang sein, wie die halbe Diagonale des Tisches.

Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} (2\cdot r_{\text{neu}})^2&=&(0,9\,\text{m})^2+(0,9\,\text{m})^2 \quad\scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] 2\cdot r_{\text{neu}}&=&\sqrt{(0,9\,\text{m})^2+(0,9\,\text{m})^2}\scriptsize \,\,\mid\; :2\\[5pt] r_{\text{neu}}&=&\dfrac{1}{2}\sqrt{(0,9\,\text{m})^2+(0,9\,\text{m})^2}\\[5pt] r_{\text{neu}}&\approx&0,64\,\text{m} \end{array}$

Mit dem neuen Radius des Lichtkegels lässt sich die neue Höhe des Lichtkegels berechnen:

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

$\begin{array}[t]{rll} \tan(30^\circ)&=&\dfrac{r_{\text{neu}}}{h_{\text{neu}}}\\[5pt] \tan(30^\circ)&=&\dfrac{0,64\,\text{m}}{h_{\text{neu}}} & \scriptsize \mid\;\cdot h_{\text{neu}}\,\,\mid\;: \tan(30^\circ) \\[5pt] h_{\text{neu}}&=&\dfrac{0,64\,\text{m}}{\tan(30^\circ)}\\[5pt] h_{\text{neu}}&\approx&1,11\,\text{m} \end{array}$

Der Mindestabstand beträgt damit ca. $1,11\,\text{m}.$

Leuchtdauer bestimmen

Die Kosten beider Leuchmittel können jeweils in einem Schaubild in Form von einer „Zeit-/Kosten“-Gerade dargestellt werden.

$K_1:y=120+0,2x$

$K_2:y=80+1,2x$

Rechnerisch lässt sich damit die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 120+0,2x&=&80+1,2x &\scriptsize \mid\;-80 \\[5pt] 40+0,2x&=&1,2x &\scriptsize \mid\;-0,2x \\[5pt] 40&=&x \\[5pt] x&=&40 \end{array}$

Ab diesem Zeitpunkt lohnt sich der Einsatz von Leuchtmittel 1. Gerundet in Stunden also ab 41 Stunden.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

Größe des Winkels berechnen

Da der Punkt $C$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ liegt, ist das Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig (Satz des Thales).

Somit hat der Winkel bei $C$ im Dreieck $BMC$ die Größe $90^\circ-21^\circ=69^\circ.$

Wegen dem Thaleskreis gilt $\overline{MC}=\overline{MB}$ (da $M$ Mittelpunkt des Halbkreises ist und $B$ und $C$ auf dem Halbkreis liegen). Das Dreieck $BMC$ ist also gleichschenklig. Daher gilt $\beta=69^\circ$ und $\delta=180^\circ-2\cdot 69^\circ=42^\circ.$

Der Winkel $\delta$ hat also eine Größe von $42^\circ.$

Länge der Strecke berechnen

Da das Dreieck $ABC$ rechtwinklig ist, kann die Strecke $\overline{BC}$ mit dem Kosinus berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} & \scriptsize \mid\;\cdot \overline{AB} \\[5pt] \overline{BC}&=&\overline{AB}\cdot \cos(\beta)\\[5pt] &=&14\,\text{cm}\cdot \cos(69^\circ)\\[5pt] \overline{BC}&\approx&5,02\,\text{cm} \end{array}$

Die Strecke $\overline{BC}$ ist also ca. $5,02\,\text{cm}$ lang.

Flächeninhalt berechnen

$A_\text{grau}=A_\text{Halbkreis}-A_\text{Dreieck}$

$A_\text{Halbkreis}=\dfrac{1}{2}\cdot\pi\cdot(7\,\text{cm})^2\approx 76,97\,\text{cm}^2,$ da die Fläche eines Halbkreises der Hälfte der Fläche eines Kreises ( $A=\pi\cdot r^2$ ) entspricht.

$A_\text{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot \overline{BC}\cdot \overline{AC};$ die Länge von $\overline{AC}$ muss dafür mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2-\overline{BC}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] \overline{AC}&=&\sqrt{\overline{AB}^2-\overline{BC}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(14\,\text{cm})^2-(5,02\,\text{cm})^2}\\[5pt] \overline{AC}&\approx&13,07\,\text{cm} \end{array}$

$A_\text{Dreieck}=\dfrac{1}{2}\cdot 5,02\,\text{cm}\cdot 13,07\,\text{cm}$ $\approx 32,81\,\text{cm}^2$

$\begin{array}[t]{rll} A_\text{grau}&=&A_\text{Halbkreis}-A_\text{Dreieck}\\[5pt] &=&76,97\,\text{cm}^2-32,81\,\text{cm}^2 \\[5pt] A_\text{grau}&=&44,16\,\text{cm}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt der grauen Fläche beträgt ca. $44,16\,\text{cm}^2.$

Schnittpunkte ermitteln

Die Schnittpunkte werden durch Gleichsetzen der Funktionsterme ermittelt:

$\begin{array}[t]{rll} 0,5x^2-1&=&1,5x-1 & \scriptsize \mid\;-1,5x+1 \\[5pt] 0,5x^2-1,5x&=&0 & \scriptsize \text{ ausklammern} \\[5pt] 0,5x(x-3)&=&0\\[5pt] x_1&=&0\\[5pt] x_2&=&3 \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung:

$y_1=1,5\cdot 0-1=-1$

$y_2=1,5\cdot 3-1=3,5$

Die Schnittpunkte lauten $S_1(0\mid -1)$ und $S_2(3\mid 3,5).$

Lösung 3

Flächeninhalt berechnen

Für den Flächeninhalt einer Seitenfläche $A_S$ wird die Höhe $h_s$ benötigt. Die Länge von $h_s$ wird über den Satz des Pythagoras berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} h_s^2&=&\overline{MS}^2+\overline{AM}^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h_s&=&\sqrt{\overline{MS}^2+\overline{AM}^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(6\,\text{m})^2+(3\,\text{m})^2}\\[5pt] h_s&\approx&6,71\,\text{m} \end{array}$

$A_S=\dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{m}\cdot 6,71\,\text{m}$ $=20,13\,\text{m}^2$

Der Flächeninhalt einer Seitenfläche beträgt ca. $20,13\,\text{m}^2.$

Größe des Winkels berechnen

Um die Größe von $\alpha$ zu berechnen, wird die Länge der Strecke $\overline{BM}$ benötigt, die über den Satz des Pythagoras berechnet werden kann:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BM}^2&=&(3\,\text{m})^2+(3\,\text{m})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] \overline{BM}&=&\sqrt{(3\,\text{m})^2+(3\,\text{m})^2}\\[5pt] \overline{BM}&\approx&4,24\,\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=&\dfrac{6\,\text{m}}{4,24\,\text{m}} \\[5pt] \alpha&\approx&54,75^\circ \end{array}$

Die Größe des Winkels $\alpha$ beträgt ca. $54,75^\circ.$

Faktor angeben und begründen

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich über $V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h$ $=\dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h.$

Wird $a$ verdoppelt, so gilt:

$V_{\text{neu}}=\dfrac{1}{3}\cdot (2a)^2\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot 4\cdot a^2\cdot h$ $=4\cdot\left( \dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h\right)$

Also hat sich das Volumen vervierfacht.

Preis berechnen

Dreisatz:

$:116$

$\cdot 119$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 116\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 49,90\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{49,90\,€}{116}\\[5pt] 119\,\% & \mathrel{\widehat{\approx}}& 51,19\,€ \end{array}$

$:116$

$\cdot 119$

Der Preis für ein Sweatshirt betrug ca. $51,19\,€.$

Einkaufspreis berechnen

Es gilt:

$\text{Nettopreis}\cdot 1,19=\text{Bruttopreis}$

$\text{Nettopreis}=x$

$\begin{array}[t]{rll} x\cdot 1,19&=&149,90\,€ \quad \scriptsize \mid\; :1,19\\[5pt] x&=&\dfrac{149,90\,€}{1,19}\\[5pt] x&\approx&125,97\,€ \end{array}$

Außerdem gilt:

$\text{Einkaufspreis}+0,25\cdot \text{Einkaufspreis}$ $=\text{Nettopreis}$

$\text{Einkaufspreis}=y$

$\begin{array}[t]{rll} y+0,25y&=&125,97\,€ \\[5pt] 1,25y&=&125,97\,€ &\quad \scriptsize \mid\;:1,25\\[5pt] y&=&\dfrac{125,97\,€}{1,25}\\[5pt] y&\approx&100,78\,€ \end{array}$

Der Einkaufpreis beträgt ca. $100,78\,€.$

Wahrscheinlichkeit bestimmen

Es gibt für einmal Würfeln insgesamt $6$ mögliche Ergebnisse. Für zweimal Würfeln $6\cdot 6=36$ mögliche Ergebnisse.

Für über $10\,\%$ Rabatt gibt es die drei günstigen Ergebnisse $(5\mid 6),(6\mid 5)$ und $(6\mid 6).$

$P(\text{über 10 %)}=\dfrac{3}{36}\approx 0,083=8,3\,\%$

Ein Kunde erhält mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $8,3\,\%$ einen Rabatt von über $10\,\%.$

Lösung 4

(Abbildung nicht maßstabsgerecht)

Das Viereck $ABCD$ wird in die beiden rechtwinkligen Dreiecke $ABD$ und $BCD$ unterteilt.

Größe der Winkel bestimmen

1. Schritt: Größe von $\alpha_1$ und $\beta_1$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha_1)&=&\dfrac{15\,\text{m}}{10\,\text{m}}\\[5pt] \alpha_1&\approx&56,31^\circ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\beta_1)&=&\dfrac{10\,\text{m}}{15\,\text{m}}\\[5pt] \beta_1&\approx&33,69^\circ \end{array}$

2. Schritt: Größe von $\alpha_2$ und $\beta_2$ berechnen

Dazu wird zunächst die Länge der Strecke $\overline{DB}$ mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DB}^2&=&b^2+c^2 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{DB}&=&\sqrt{b^2+c^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(15\,\text{m})^2+(10\,\text{m})^2}\\[5pt] \overline{DB}&\approx&18,03\,\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha_2)&=&\dfrac{14\,\text{m}}{18,03\,\text{m}}\\[5pt] \alpha_2&\approx&50,94^\circ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta_2)&=&\dfrac{14\,\text{m}}{18,03\,\text{m}}\\[5pt] \beta_2&\approx&39,06^\circ \end{array}$

3. Schritt: Größe von $\alpha$ und $\beta$ berechnen

$\alpha=\alpha_1+\alpha_2$

$\alpha=56,31^\circ+50,94^\circ=107,25^\circ$

$\beta=\beta_1+\beta_2$

$\beta=33,69^\circ+39,06^\circ=72,75^\circ$

Umfang der Figur bestimmen

Dazu wird die Länge der Strecke $d$ benötigt:

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&\overline{DB}^2-a^2 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] d&=&\sqrt{\overline{DB}^2-a^2}\\[5pt] &=&\sqrt{(18,03\,\text{m})^2-(14\,\text{m})^2}\\[5pt] d&\approx&11,36\,\text{m} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} u&=&a+b+c+d \\[5pt] &=&14\,\text{m}+15\,\text{m}+10\,\text{m}+11,36\,\text{m} \\[5pt] u&=&50,36\,\text{m} \\[5pt] \end{array}$

Der Umfang der Figur beträgt ca. $50,36\,\text{m}.$

Gespiegelte Parabel zeichnen + Scheitelpunkt bestimmen

Der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $S_1(0\mid -3)$ und der Geraden $y=2,5$ beträgt $5,5\,\text{LE}.$ Der neue Scheitelpunkt lautet also $S_2(0\mid 8),$ da dieser den gleichen Abstand zur Geraden haben muss. Zudem ist die gespiegelte Parabel nach unten geöffnet.

Schnittpunkt bestimmen

Geradengleichung $g_2$ aufstellen:

$g_2:y=-3x+2,5$

Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} 2x+5&=&-3x+2,5 & \scriptsize \mid\;+3x-5 \\[5pt] 5x&=&-2,5 & \scriptsize \mid\;:5\\[5pt] x&=&-0,5 \end{array}$

$x=-0,5$ in $g_1$ einsetzen:

$y=2\cdot (-0,5)+5=4$

Die beiden Geraden schneiden sich also im Punkt $(-0,5\mid 4).$

Überprüfen

Damit Geraden parallel sind, müssen sie die gleiche Steigung, aber unterschiedliche $y$ -Achsenabschnitte aufweisen. Das trifft nur auf die Gerade $y_1=2x-3$ zu.

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