Grundkenntnisse

Das abgebildete Glücksrad wird einmal gedreht.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad auf einem Jokerfeld stehen bleibt.

(1 Pkt.)

Löse die Gleichung.

$2,5x-7,5=x^2-16,5$

(1 Pkt.)

Im Jahr 2000 trank jeder Einwohner in Deutschland durchschnittlich $100,3$ Liter Mineralwasser. 2016 waren es $148,2$ Liter.

Berechne die durchschnittliche jährliche Zunahme der Verbrauchsmenge in Prozent.

(1 Pkt.)

Berechne die Strecke $c.$

$a=2,4\,\text{cm}$

$b=3,2 \,\text{cm}$

$\beta=72^{\circ}$

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&3x-17&=&5y\\ \text{(II)}\quad&4&=&x-y &\quad \end{array}$

(1 Pkt.)

Eine Parabel mit der Funktion $y=0,6(x+2)^2-2,5$ (siehe Abbildung) hat nach der/den Spiegelung(en) die Funktion $y=-0,6(x-2)^2+2,5$ .

Wie wurde gespiegelt? Kreuze an.

	Nur an der $x$ -Achse
	Nur an der $y$ -Achse
	An der $x$ - und $y$ -Achse
	Es wurde gar nicht gespiegelt

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

Berechne die Länge einer der senkrechten Strecken $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5.$

$a=25\,\text{cm}$

$x_1=180\,\text{cm}$

$x_1\mid\mid x_2\mid\mid x_3\mid\mid x_4\mid\mid x_5$

(Abbildund nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Weltbevölkerung auf verschiedene Erdteile.
Kreuze die Aussage/n an, die dem Diagramm entspricht/entsprechen.

	In Asien leben genau doppelt so viele Menschen wie auf allen anderen Erdteilen zusammen.
	Der Anteil Australiens an der Weltbevölkerung entspricht dem Nordamerikas.
	Ca. $\frac{4}{10}$ der Weltbevölkerung leben nicht in Asien.
	Europa hat mehr Bewohner als Latein- und Nordamerika.

Verteilung der Weltbevölkerung

(1 Pkt.)

Eine Kugel mit einem Durchmesser von $12\,\text{cm}$ rollt die Strecke von $A$ nach $B.$
$\overline{AB}= 942,48 \,\text{cm}$ .
Berechne die Anzahl der Umdrehungen, die die Kugel zurücklegt.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

10.

Kreuze die richtige Funktionsgleichung der abgebildeten Geraden an.

	$y=-1,5x+5$
	$y=-x$
	$y=-2x+5$
	$y=x+5$

(1 Pkt.)

Es gibt insgesamt 12 Felder. Davon sind 3 Felder mit „Joker“ beschriftet.

$P(\text{Joker})=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0,25=\boldsymbol{25\,\%}$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $25\,\%.$

$\begin{array}[t]{rll} 2,5x-7,5&=& x^2-16,5 \quad\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-2,5x \\[5pt] -7,5&=& x^2-2,5x-16,5 \quad\quad\quad \scriptsize \mid\;+7,5 \\[5pt] 0&=& x^2-2,5x-9 \\[5pt] x_{1/2}&=& -\dfrac{-2,5}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-2,5}{2}\right)^2+9} \\[5pt] x_{1/2}&=& 1,25\pm\sqrt{(-1,25)^2+9} \\[5pt] x_{1/2}&=& 1,25\pm\sqrt{10,5625} \\[5pt] x_{1/2}&=& 1,25\pm 3,25 \\[5pt] x_{1}&=& 1,25+3,25=\boldsymbol{4,5} \\[5pt] x_{2}&=& 1,25-3,25=\boldsymbol{-2} \\[5pt] \end{array}$

Gegeben:

$W_0=100,3\,\ell$
$n=16$
$W_{16}=148,2\,\ell$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} W_{16}&=&W_0\cdot q^{16} \\[5pt] 148,2\,\ell&=&100,3\,\ell\cdot q^{16}&\quad \scriptsize \mid\;:100,3\,\ell \\[5pt] \dfrac{148,2\,\ell}{100,3\,\ell}&=&q^{16} \\[5pt] q^{16}&=&\dfrac{148,2\,\ell}{100,3\,\ell} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[16]{\,\,} \\[5pt] q&=&\sqrt[16]{\dfrac{148,2\,\ell}{100,3\,\ell} }&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[16]{\,\,} \\[5pt] q&\approx&1,025 \\[5pt] \end{array}$

$\Rightarrow \boldsymbol{p\,\%\approx 2,5\,\%}$

Die durchschnittliche jährliche Zunahme der Verbrauchsmenge beträgt $2,5\,\%.$

Figur in zwei Teilfiguren zerlegen

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{DE}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\beta)&=& \dfrac{\overline{DE}}{b}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot b \\[5pt] \cos(\beta)\cdot b&=& \overline{DE} \\[5pt] \overline{DE}&=& \cos(\beta)\cdot b \\[5pt] \overline{DE}&=& \cos(72^{\circ})\cdot 3,2\,\text{cm} \\[5pt] \overline{DE}&\approx& 1\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Strecke $\boldsymbol{c}$ berechnen

$c=a-\overline{DE}=2,4\,\text{cm}-1\,\text{cm}=\boldsymbol{1,4\,\text{cm}}$

Lösung über das Einsetzungsverfahren

Gleichung $\boldsymbol{\text{(II)}}$ nach $x$ auflösen

$\(\begin{array}[t]{rll} \text{(II)}\quad&4&=&x-y &\quad \scriptsize \mid\;+y \\[5pt] \text{(II$

Gleichung $\(\boldsymbol{\text{(II$ in Gleichung $\boldsymbol{\text{(I)}}$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} 3x-17&=&5y \\[5pt] 3\cdot (4+y)-17&=&5y \\[5pt] 12+3y-17&=&5y \\[5pt] 3y-5&=&5y&\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] 3y&=&5y+5&\quad \scriptsize \mid\;-5y \\[5pt] -2y&=&5&\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] \boldsymbol{y}&=&\boldsymbol{-2,5} \end{array}$

$y=-2,5$ in Gleichung $\(\boldsymbol{\text{(II$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} x&=&4+y \\[5pt] x&=&4+(-2,5) \\[5pt] \boldsymbol{x}&=&\boldsymbol{1,5} \\[5pt] \end{array}$

	Nur an der $x$ -Achse
	Nur an der $y$ -Achse
	An der $x$ - und $y$ -Achse
	Es wurde gar nicht gespiegelt

Strecke $x_2$ mithilfe des 2. Strahlensatzes berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6a}{x_1}&=&\dfrac{5a}{x_2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x_2 \\[5pt] \dfrac{6a}{x_1}\cdot x_2 &=&5a &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{x_1}{6a} \\[5pt] x_2 &=&5a\cdot \dfrac{x_1}{6a} \\[5pt] x_2 &=&\dfrac{5a\cdot x_1}{6a} \\[5pt] x_2 &=&\dfrac{5\cdot x_1}{6} \\[5pt] x_2 &=&\dfrac{5\cdot 180\,\text{cm}}{6} \\[5pt] \boldsymbol{x_2} &=&\boldsymbol{150\,\text{cm}} \\[5pt] \end{array}$

Die Strecken $x_3,$ $x_4$ und $x_5$ lassen sich auf die gleiche Art und Weise berechnen.
Die dazugehörigen Ergebnisse:

$\boldsymbol{x_3}=\boldsymbol{120\,\text{cm}}$
$\boldsymbol{x_4}=\boldsymbol{90\,\text{cm}}$
$\boldsymbol{x_5}=\boldsymbol{60\,\text{cm}}$

	In Asien leben genau doppelt so viele Menschen wie auf allen anderen Erdteilen zusammen.
	Der Anteil Australiens an der Weltbevölkerung entspricht dem Nordamerikas.
	Ca. $\frac{4}{10}$ der Weltbevölkerung leben nicht in Asien.
	Europa hat mehr Bewohner als Latein- und Nordamerika.

Umfang der Kugel berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=& \pi\cdot d \\[5pt] u&=& \pi\cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Anzahl der Umdrehungen berechnen

$\dfrac{u}{\pi\cdot 12\,\text{cm}}=\dfrac{942,48 \,\text{cm}}{\pi\cdot 12\,\text{cm}}\approx\boldsymbol{25}$

Die Kugel legt etwa 25 Umdrehungen zurück.

10.

	$y=-1,5x+5$
	$y=-x$
	$y=-2x+5$
	$y=x+5$