Pflichtteil A1

Löse das Gleichungssystem.

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&2 x+24&=& 7y\\ \text{(II)}\quad&2 y+x-32&=&0 \end{array}$

(1 Pkt.)

Vervollständige die Formeln.

$\sin(\alpha)=\dfrac{\qquad\qquad}{\qquad}$

$\tan(\beta)=\dfrac{\qquad\qquad}{\qquad}$

(1 Pkt.)

Eine Parabel $p_1$ mit der Funktionsgleichung $y=0,5x^2-4$ wird an der Geraden $g$ gespiegelt.
Kreuze die Funktionsgleichung der gespiegelten Parabel an.

	$y_2=-0,5 x^2+4$
	$y_2=0,5 x^2+2$
	$y_2=-0,5 x^2$
	$y_2=0,5 x^2$

(1 Pkt.)

Welches dieser Dreiecke hat einen rechten Winkel? Begründe.

A) $\quad a=9\,\text{cm},$ $b=12\,\text{cm}$ und $c=15\,\text{cm}$
B) $\quad a=8\,\text{cm},$ $b=10\,\text{cm}$ und $c=20\,\text{cm}$
C) $\quad a=3\,\text{cm},$ $b=4\,\text{cm}$ und $c=6\,\text{cm}$
D) $\quad a=4\,\text{cm},$ $b=5\,\text{cm}$ und $c=6\,\text{cm}$

(1 Pkt.)

In einer Messstation zwischen Russland und Alaska wurden von Juli bis Dezember folgende monatliche Durchschnittstemperaturen gemessen.

Monat	Durchschnittstemperaturen
Jul	$10\,^\circ \text{C}$
Aug	$9\,^\circ \text{C}$
Sep	$5\,^\circ \text{C}$
Okt	$-1\,^\circ \text{C}$
Nov	$-9\,^\circ \text{C}$
Dez	$-14\,^\circ \text{C}$

Gib den Mittelwert der Messwerte von Juli bis Dezember an.
Bestimme den Temperaturunterschied zwischen Juli und Dezember.

(1 Pkt.)

Jano behauptet: „Die Gleichung $0,5 x^2-3 x+4,5=0$ hat zwei Lösungen.“

Stimmt die Aussage? Begründe.

(1 Pkt.)

Bestimme den Winkel $\alpha,$ ohne zu messen.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

Vervollständige den Streckenzug im Würfelnetz.

Streckenzug Würfel - Werkrealschulabschluss 2022

(1 Pkt.)

Berechne die Höhe des Hauses.

(Abbildung nicht maßstabsgetreu)

(1 Pkt.)

10.

Beim Memory-Spiel sind immer zwei Karten mit demselben Bild enthalten.

Der Spieler, der an der Reihe ist, darf zwei Karten umdrehen.
Jan hat die oberen Paare bereits gefunden, es sind nur noch die Karten rechts unten im Spiel.
Er ist wieder an der Reihe und hat schon eine Karte mit einer Sonne umgedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass auf der zweiten Karte eine Sonne ist.

(1 Pkt.)

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Lösungsmöglichkeit A
(Gleichsetzungsverfahren)

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&2 x+24&=& 7y\\ \text{(II)}\quad&2 y+x-32&=&0 \end{array}$

Beide Gleichungen werden nach $x$ aufgelöst:

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&x&=&3,5y-12\\ \text{(II)}\quad&x&=&32-2y \end{array}$

$\text{(I)}=\text{(II)}:$

$\begin{array}{rll} 3,5y-12&=&32-2y&\scriptsize\mid\; +2y\\[5pt] 5,5y-12&=&32&\scriptsize\mid\; +12\\[5pt] 5,5y&=&44&\scriptsize\mid\; :5,5\\[5pt] y&=&8 \end{array}$

$y=8$ in $\text{(I)}:$

$x=3,5\cdot 8-12=16$

Die Lösung lautet $x=16$ und $y=8.$

Lösungsmöglichkeit B
(Einsetzungsverfahren)

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&2x+24&=&7y\\ \text{(II)}\quad&2y+x-32&=&0 &\quad \\ \end{array}$

Erste Gleichung nach $x$ auflösen:

$\begin{array}{lrll} \text{(I)}\quad&2x+24&=&7y&\scriptsize \mid\; -24\\ &2x&=&7y-24&\scriptsize \mid\; :2\\ &x&=&3,5y-12 \end{array}$

$x=3,5y-12$ in $\text{(II)}:$

$\begin{array}[t]{rll} 2y+(3,5y)-12)-32&=&0\\[5pt] 5,5y-44&=&0 & \scriptsize \mid\;+44 \\[5pt] 5,5y&=&44 &\scriptsize \mid\;:5,5 \\[5pt] y&=&8 \end{array}$

$y=8$ in $\text{(I)}:$

$x=3,5\cdot 8-12=16$

Die Lösung lautet $x=16$ und $y=8.$

$\sin(\alpha)=\dfrac{a}{c},$ $\tan(\beta)=\dfrac{b}{a}$

	$y_2=-0,5 x^2+4$
	$y_2=0,5 x^2+2$
	$y_2=-0,5 x^2$
	$y_2=0,5 x^2$

Der Scheitelpunkt wird auf den Ursprung gespiegelt, d.h. es gilt $c=0.$ Zudem ist die gespiegelte Parabel nach unten geöffnet.

Ist ein Dreieck rechtwinklig, gilt der Satz des Pythagoras: $a^2+b^2=c^2$

Dreieck $A:$

$\begin{array}[t]{rll} (9\,\text{cm})^2+(12\,\text{cm})^2&=&(15\,\text{cm})^2\\[5pt] 81\,\text{cm}^2+144\,\text{cm}^2&=&225\,\text{cm}^2\\[5pt] 225\,\text{cm}^2&=&225\,\text{cm}^2 \end{array}$

Dreieck $A$ ist also rechtwinklig. Die Überprüfung der anderen Dreiecke ist nicht mehr notwendig.

Mittelwert

Beim Mittelwert wird die Summe aller Werte durch deren Anzahl geteilt:

Rechenweg anzeigen

$0\,^\circ\text{C}$

Temperaturunterschied

$10\,^\circ\text{C}-(-14\,^\circ\text{C})=24\,^\circ\text{C}$

Dabei muss auf das Vorzeichen geachtet werden, da $-(-14)=+14$ gilt.

Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die zunächst umgeformt werden kann:

$\begin{array}[t]{rll} 0,5x^2-3x+4,5&=&0&\scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] x^2-6x+9&=&0\\[5pt] \end{array}$

Die Gleichung kann mit der Lösungsformel gelöst werden:

$x_{1,2}=-\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

Dabei gilt $p=-6$ und $q=9.$

Die Gleichung hat dann zwei Lösungen, wenn der Term unter der Wurzel (die Diskriminante $D$ ) größer Null ist:

$D=\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-9$ $=9-9=0$

Die Behauptung von Jano ist also falsch, da der Term unter der Wurzel gleich Null ist.

Im unteren Dreieck liegen alle Eckpunkte auf einem Thaleskreis. Es besitzt daher einen rechten Winkel.
Zudem ist es gleichschenklig. Wegen der Winkelsumme sind die anderen beiden Winkel daher $45\,^\circ$ groß.

Das obere Dreieck ist gleichseitig. Daher dort sind alle Innenwinkel gleich groß und somit $60\,^\circ$ groß.

Also gilt für die Größe von $\alpha:$ $\alpha=45\,^\circ+60\,^\circ=105\,^\circ$

Da die Haushöhe $h$ parallel zur Höhe von $2\,\text{m}$ ist, kann der Strahlensatz genutzt werden.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{h}{4\,\text{m}+20\,\text{m}}&=&\dfrac{2\,\text{m}}{4\,\text{m}}\\[5pt] \dfrac{h}{24\,\text{m}}&=&\dfrac{1}{2} &\scriptsize \mid\;\cdot 24\,\text{m} \\[5pt] h&=&12\,\text{m} \end{array}$

Das Haus ist also $12\,\text{m}$ hoch.

10.

Jede Karte wird mit der gleichen Wahrscheinlichkeit aufgedeckt. Es sind nur noch fünf Karten verdeckt, auf jeder dieser Karten kann die Sonne sein.

$P(\text{2. Karte ist Sonne})=\dfrac{1}{5}$

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