Potenzfunktionen

Funktionen der Form $y=x^2$ und $y=x^3$ (usw.) und dem Definitionsbereich $\mathbb{R}$ werden Potenzfunktionen genannt.

Eigenschaften:

Die Graphen der Funktionen verlaufen durch die markanten Punkte $O(0 \mid 0)$ und $P(1 \mid 1).$

Die Funktionen haben die Nullstelle $x_0=0.$

Die Nullstelle stellt den einzigen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse dar.

Der Graph der Funktion $y=x^3$ ist steigend.

Der Graph der Funktion $y=x^2$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, während der Graph der Funktion $y=x^3$ punktsymmetrisch zum Urpsrung ist.

Potenzfunktionen x2 x3 Sachsen Anhalt Mathe

Die Punkte $(x\mid y)$ gehören zum Graphen der angegebenen Funktion. Vervollständige die Tabellen mit den fehlenden Koordinaten.

$y=x^2:$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$2$
	$16$
$0,2$
	$0$
$-2$
$-4$
$-0,2$

$y=x^3:$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$4$
	$27$
$0,5$
	$0$
$-4$
$-3$
$-0,5$

Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgenden Gleichungen und vergleiche ihre Eigenschaften mit den Eigenschaften der Funktionen $y=x^2$ und $y=x^3.$

$y=x^4$

$y=x^5$

$y=x^6$

$y=x^7$

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$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$2$	$4$
$4$	$16$
$0,2$	$0,04$
$0$	$0$
$-2$	$4$
$-4$	$16$
$-0,2$	$0,04$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$4$	$16$
$3$	$27$
$0,5$	$0,125$
$0$	$0$
$-4$	$-64$
$-3$	$-27$
$-0,5$	$-0,125$

Potenzfunktionen x4 Sachsen Anhalt Mathe

Potenzfunktionen x5 Sachsen Anhalt Mathe

Potenzfunktionen x6 Sachsen Anhalt Mathe

Potenzfunktionen x7 Sachsen Anhalt Mathe

Eigenschaften

Es fällt auf, dass sich die Funktionen mit geraden Exponenten ähnlich wie die Funktion $y=x^2$ verhalten und die Funktionen mit ungeraden Exponenten ähnlich wie die Funktion $y=x^3.$ Umso größer der Exponent, desto stärker fällt und/oder steigt der Graph der Funktion.

Alle Funktionen mit geraden Exponenten sind ebenso wie $y=x^2$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, besitzen ihre einzige Nullstelle bei $O(0\mid 0)$ und verlaufen durch die Punkte $P_1(-1\mid 1)$ und $P_2(1\mid 1).$

Alle Funktionen mit ungeraden Exponenten hingegen sind ebenso wie $y=x^3$ punktsymmetrisch zum Urpsrung, besitzen ihre einzige Nullstelle bei $O(0\mid 0)$ und verlaufen durch die Punkte $P_1(-1\mid -1)$ und $P_2(1\mid 1).$ Die Graphen der Funktionen sind streng monoton steigend.

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