Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit

$f(x) = -\dfrac{1}{18} \cdot x^3 - \dfrac{1}{2} \cdot x^2 + 2, \, x \in \mathbb{R}.$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ .

nrw zk zum ende der ef 2024, zentrale klausur

Abbildung

Gib anhand des Graphen von $f$ den Bereich an, in dem $\(f$ gilt.

(2 Punkte)

Untersuche rechnerisch die Funktion $f$ auf Wendestellen.

(5 Punkte)

(1)

(i)

Berechne eine Gleichung der Normale $n$ des Graphen von $f$ im Punkt $W(-3|f(-3)).$

[Zur Kontrolle: $n: y = -\dfrac{2}{3} \cdot x - 3$ .]

(ii)

Zeichne die Normale $n$ in die Abbildung ein.

(2)

Zeichne die Tangente $t: y = \dfrac{3}{2} \cdot x + \dfrac{7}{2}$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ebenfalls in die Abbildung ein.

(3)

Die Normale $n$ , die Tangente $t$ und die $y$ -Achse schließen ein Dreieck ein.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

(6 + 1 + 3 Punkte)

Ausgehend von der Funktion $f$ werden nun die Gleichungen zweier transformierter Funktionen $f_1$ und $f_2$ gesucht.

Der Graph von $f$ besitzt den lokalen Tiefpunkt $T(-6 \mid-4)$ .

(1)

Der Graph der Funktion $f_1$ entsteht durch Verschiebungen aus dem Graphen der Funktion $f$ . Der lokale Tiefpunkt $T$ wird dabei in den Ursprung des Koordinatensystems verschoben.

Gib eine Gleichung von $f_1$ an.

[Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von $f_1$ ist nicht erforderlich.]

(2)

Der Graph der Funktion $f_2$ entsteht durch eine Streckung in $x$ -Richtung aus dem Graphen von $f.$ Der lokale Tiefpunkt des Graphen von $f_2$ ist $T_{\text{neu}}(-12|-4).$

Gib eine Gleichung von $f_2$ an.

[Hinweis: Eine Vereinfachung der Gleichung von $f_2$ ist nicht erforderlich.]

(2 + 2 Punkte)

Die Funktion $f$ ist die Ableitungsfunktion einer Funktion $F$ .

Gib an, wie viele lokale Minimal- und wie viele lokale Maximalstellen die Funktion $F$ besitzt, und begründe deine Angaben.

(3 Punkte)

Aufgabe 4

Abbildung 1: Holzpellets^[1]

Als Alternative zu Gas und Öl können auch Holzpellets als Brennstoff für Heizungen genutzt werden. Holzpellets werden aus Abfallprodukten der Holzindustrie hergestellt. Im Gegensatz zu Gas und Öl handelt es sich hierbei um einen nachwachsenden Rohstoff.

Der jeweilige Preis (in €) für eine Tonne Holzpellets im Jahr 2022 kann für $0 \leq t \leq 12$ näherungsweise mithilfe der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(t) = -2{,}5 \cdot t^3 + 39{,}375 \cdot t^2 - 101{,}25 \cdot t + 370$

beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Monaten angibt.

$t = 0$ entspricht dem 01.01.2022,
$t = 1$ entspricht dem 01.02.2022,
$t = 2$ entspricht dem 01.03.2022 usw.

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Funktion $f$ .

Abbildung 2

(1)

Berechne den Preis für eine Tonne Holzpellets am 01.03.2022 und am 01.05.2022.

(2)

Berechne, um wie viel Prozent der Preis in diesem Zeitraum gestiegen ist.

(2 + 2 Punkte)

Bei der Lösung einer Aufgabenstellung im gegebenen Sachzusammenhang wurden Berechnungen durchgeführt. Dabei ergab sich:

$\(f$
$f(0) = 370,$ $f(1,5) \approx 298,28,$ $f(9) \approx 825,63,$ $f(12) = 505.$

(1)

Gib eine passende Aufgabenstellung im Sachzusammenhang zu den angegebenen Berechnungen an.

(2)

Erläutere den dargestellten Lösungsweg.

(3)

Formuliere einen Antwortsatz zu deiner Aufgabenstellung.

(2 + 3 + 1 Punkte)

(1)

Zeichne in Abbildung 2 die Sekante $s$ durch den Tiefpunkt und den Hochpunkt des Graphen von $f$ ein.

(2)

Ermittle die Steigung der Sekante $s$ und interpretiere diese Steigung im Sachzusammenhang.

(1 + 4 Punkte)

Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt der Preis der Holzpellets am schnellsten gestiegen ist.

(6 Punkte)

Eine Familie wird zu einem Zeitpunkt $t$ im Jahr 2022 mit $3500 \,\text{kg}$ Pellets beliefert. Neben den Kosten für Holzpellets fallen dafür auch Lieferkosten in Höhe von 90 € an.

Gib eine Gleichung der Funktion $p$ an, durch die der Gesamtpreis $p(t)$ (in €) für diese Lieferung in Abhängigkeit vom Zeitpunkt $t$ gegeben ist.

(3 Punkte)

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Lösung 3

Der Graph von $f$ steigt im Bereich $[-6;0],$ dort gilt daher $\(f$

$f(x)=-\dfrac{1}{18} \cdot x^3-\dfrac{1}{2} \cdot x^2+2$

$\(f$

Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Hinreichendes Kriterium für Wendestellen überprüfen:

$\(f$

Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=-3$ eine Wendestelle.

(1)

(i)

$f(-3)=-\dfrac{1}{18} \cdot(-3)^3-\dfrac{1}{2} \cdot(-3)^2+2$ $=-1$

Die Normale verläuft also durch den Punkt $W(-3\mid -1).$

Für die Steigung der Funktion $f$ an dieser Stelle gilt:

$\(f$

Für die Steigung der Normalen an dieser Stelle folgt:

$m=-\dfrac{1}{\frac{3}{2}}=-\dfrac{2}{3}$

Die Normalengleichung ist also von der Form $n:y=-\dfrac{2}{3}x+c.$ Einsetzen der Koordinaten von $W$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -1&=& -\dfrac{2}{3}\cdot (-3)+c \\[5pt] -1&=& 2+c \quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -3&=& c \end{array}$

Damit ergibt sich die Gleichung der Normale zu:

$n:y=-\dfrac{2}{3}x-3$

(ii)

(2)

(3)

Die Tangente schneidet die $y$ -Achse bei:

$\dfrac{3}{2}\cdot 0+\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{2}$

Die Normale schneidet die $y$ -Achse bei:

$-\dfrac{3}{2}\cdot 0-3=-3$

Die Grundseite des Dreiecks halt also die Länge $g=\dfrac{7}{2}-(-3)=\dfrac{13}{2}$

Durch die Koordinaten des Punktes $W$ folgt außerdem die Höhe $h=3.$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{13}{2}\cdot 3 \\[5pt] &=& \dfrac{39}{4} \,\text{[FE]} \end{array}$

(1)

Der Graph von $f$ muss um 6 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach oben verschoben werden:

Funktionsgleichung anzeigen

$f_1(x)= f(x-6)+4$

(2)

Der Graph von $f$ muss mit dem Faktor 2 in $x$ -Richtung gestreckt werden. Dazu wird $x$ mit dem Faktor $\dfrac{1}{2}$ multipliziert:

$\begin{array}[t]{rll} f_2&=& f\left(\dfrac{x}{2}\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{18} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^3-\dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{x}{2}\right)^2+2 \end{array}$

Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von - nach + der Funktion $f$ sind lokale Minimalstellen der Funktion $F.$ Der Abbildung kann entnommen werden, dass $F$ daher eine lokale Minimalstelle hat.

Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von + nach - der Funktion $f$ sind lokale Maximalstellen der Funktion $F.$ Der Abbildung kann entnommen werden, dass $F$ daher zwei lokale Maximalstellen hat.

Lösung 4

(1)

$f(2)=305$

$f(4)=435$

Am 01.03.2022 kostet eine Tonne Holzpellets 305 €, am 01.05.2022 kostet sie 435 €.

(2)

$:305$

$\cdot 435$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 305\,\text{€} & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,\text{€} & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{305}\,\%\\[5pt] 435\,\text{€} & \mathrel{\widehat{\approx}}& 143\,\% \end{array}$

$:305$

$\cdot 435$

Der Preis ist in diesem Zeitraum um $143\,\%-100\,\%=43\,\%$ gestiegen.

(1)

Ermittle die Zeitpunkte im Jahr 2022, zu denen die Preise für eine Tonne Holzpellets am höchsten bzw. am geringsten waren.

(2)

Zunächst wird die notwendige Bedingung für Extremstellen angewandt, um die lokalen Extremstellen zu bestimmen.

Anschließend werden die Funktionswerte an den ermittelten Extremstellen berechnet. Außerdem werden die Funktionswerte an den Randwerten berechnet, um mögliche Randextrema zu bestimmen.

(3)

Mitte Februar 2022 war der Preis für eine Tonne Holzpellets am niedrigsten, Anfang Oktober 2022 war der Preis am höchsten.

(1)

(2)

Rechenweg anzeigen

$m=\approx 70,31$

Während der Preissteigerung vom niedrigsten auf den höchsten Preis des Jahres 2022 stieg der Preis für eine Tonne Holzpellets durchschnittlich um ungefähr $70 \,\text €$ pro Monat.