Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3: Analysis (innermathematische Aufgabe)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = x^3 -6\cdot x^2 + 9\cdot x +1.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f.$

Abbildung

Ermittle auf drei Nachkommastellen genau die Nullstelle der Funktion $f.$

(2 Punkte)

Ermittle rechnerisch den lokalen Hochpunkt und den lokalen Tiefpunkt des Graphen von $f.$

(7 Punkte)

Zeichne in die Abbildung die Sekante $s$ durch die Punkte $P\,(2 \mid 3)$ und $Q\,(3 \mid 1)$ ein.

Ermittle rechnerisch eine Gleichung dieser Sekante $s.$

(6 Punkte)

Ein Schüler möchte am Beispiel der Funktion $f$ in einem Referat erklären, wie deren Ableitung $\(f$ an einer Stelle $a$ näherungsweise ermittelt werden kann. Dazu hat er eine Tabelle angelegt.

Term	Wert
$\dfrac{f(2,4)-3}{2,4-2}$	$-2,84$
$\dfrac{f(2,3)-3}{2,3-2}$	$-2,91$
$\dfrac{f(2,2)-3}{2,2-2}$	$-2,96$
$\dfrac{f(2,1)-3}{2,1-2}$	$-2,99$

Gib an, um welche Stelle $a$ es sich hier handelt.

Erkläre, warum die Tabellenwerte sich immer mehr der Ableitung $\(f$ annähern.

(4 Punkte)

Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(x) = x^3 - 9 \cdot x^2 + 24 \cdot x - 18.$

Ermittle, durch welche Transformationen der Graph der Funktion $g$ aus dem Graphen der Funktion $f$ hervorgeht, und beschreibe deine Vorgehensweise.

(5 Punkte)

Aufgabe 4: Analysis (kontextbezogene Aufgabe)

Früher wurden in den Städten auf Hügeln oder kleineren Bergen Wassertürme gebaut. Durch das in den Türmen gespeicherte Wasser konnte ein ausreichender Wasserdruck für die Versorgung der Wohnungen mit Trinkwasser sichergestellt werden.

Im Folgenden soll die Wassermenge im Speicher eines Wasserturms untersucht werden.

Um den nötigen Wasserdruck zu gewährleisten, soll dafür gesorgt werden, dass ständig mindestens $1000\,\text{m}^3$ Wasser (Sollwert) im Speicher des Turmes vorhanden sind. Die maximale Füllmenge beträgt $2000\,\text{m}^3.$

Für einen bestimmten Tag wird die Wassermenge im Speicher des Turmes im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 7:30 Uhr für $0 \leq t\leq 1,5$ durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(t) = 1000 \cdot t^3 - 1000 \cdot t^2 - 687 \cdot t + 1467$

modelliert. Dabei bezeichnet $t$ die Zeit in Stunden, die seit 6:00 Uhr vergangen ist, und $f(t)$ die Wassermenge im Speicher des Turmes in $\text{m}^3.$

Der Graph der Funktion $f$ ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abbildung

Mit der Funktion $f$ ist es möglich, die folgenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten.

(1) Zeige, dass um 7:00 Uhr nur noch $780\,\text{m}^3$ Wasser im Speicher des Turmes vorhanden sind.

(2) Ermittle näherungsweise die Zeiträume, in denen die Wassermenge über dem Sollwert von $1000\,\text{m}^3$ liegt.

(2 + 4 Punkte)

Ermittle rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Wassermenge im Speicher des Turmes minimal ist.

Berechne, um wie viele $\text{m}^3$ Wasser der Sollwert zu diesem Zeitpunkt unterschritten wird.

(8 Punkte)

Berechne $\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}$ und $\(f$ und interpretiere die berechneten Werte im Sachzusammenhang.

(4 Punkte)

Gegeben ist nun zusätzlich die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(t) = -1000 \cdot t^3 + 1000 \cdot t^2 + 687 \cdot t + 533.$

(1) Zeichne den Graphen von $g$ in die Abbildung ein.

(2) Erkläre, welche Bedeutung die Funktionswerte $g(t)$ mit $0 \leq t \leq 1,5$ im Sachzusammenhang haben.

(4 + 2 Punkte)

Lösung 3

$f(x)=x^3-6x^2+9x+1 = 0$

Diese Gleichung kann mit Hilfe des CAS gelöst werden.

menu 3: Algebra 1: Löse

Mathematische Gleichung in einem Software-Interface mit Lösung für x.

Der CAS liefert die Nullstelle $x\approx -0,104$ .

1. Schritt: Funktion ableiten

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+9x+1 & \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{(-4)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3}\\[5pt] &=& 2\pm\sqrt{1} \\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 3 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium überprüfen

$\(f$

An der Stelle $x_1=1$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $\(f$ von + nach - und damit ein lokaler Hochpunkt vor.
An der Stelle $x_2=3$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $\(f$ von - nach + und damit ein lokaler Tiefpunkt vor.

4. Schritt: $\boldsymbol y$ -Werte bestimmen

$f(1)= 1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1+1 = 5$

$f(3)= 3^3-6\cdot3^2+9\cdot3+1= 1$

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei $H\,(1\mid5)$ und einen lokalen Tiefpunkt bei $T\,(3\mid1)$ .

Die Allgemeine Funktionsgleichung der Sekante ist gegeben durch $s: y=m\cdot x+c.$ Die Steigung $m$ lässt sich wie folgt berechnen:

$m=\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\dfrac{1-3}{3-2}=-2$

Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $P$ in die allgemeine Funktionsgleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 3&=& -2\cdot 2+c \quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 7&=& c\end{array}$

Damit ist die Gleichung der Sekante gegeben durch $s:y=-2\cdot x+7.$

Es handelt sich um die Stelle $a=2.$

Der Grenzwert $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$ definiert die Ableitung von $f$ an der Stelle $x=2.$ Die Tabellenwerte starten bei dem Wert $x=2,4$ und nähern sich dann immer mehr dem Wert $x=2$ an. Damit nähern sich die Tabellenwerte auch immer mehr der Ableitung $\(f$ an.

Zeichnet man beide Graphen mit dem CAS, kann man erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach unten und nach rechts verschoben.

Graph einer mathematischen Funktion mit blauer und roter Kurve in einem Koordinatensystem.

Um die genaue Verschiebung zu berechnen, werden die Koordinaten der Extrempunkte verglichen.

6. Graph analysieren 3: Maximum

6. Graph analysieren 2: Minimum

Der CAS liefert $H_f(1\mid 5),$ $T_f(3\mid 1),$ $H_g(2\mid 2)$ und $T_g(4\mid -2).$

Der Vergleich der Koordinaten zeigt, dass der Graph der Funktion $g$ aus dem Graph der Funktion $f$ hervorgeht, indem der Graph um $1$ Einheit in positive $x$ -Richtung und um $3$ Einheiten in negative $y$ -Richtung verschoben wird.

Lösung 4

(1)

Der CAS liefert $f(1)=780.$

Eine Stunde nach Messbeginn, also um 7:00 Uhr, beträgt der Wasserstand im Turm $780\,\text{m}^3$ .

(2)

Zunächst werden die Stellen berechnet, an denen die Wassermenge genau dem Sollwert entspricht.

Der CAS liefert für $f(t)=100$ die Lösungen $t_1\approx -0,75,$ $t_2\approx 0,5$ und $t_3\approx 1,25,$ wobei $t_1$ nicht im betrachteten Zeitraum liegt.

Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Wasserstand zwischen $t_2$ und $t_3$ unterhalb des Sollwerts liegt. Daher liegt der Wasserstand ungefähr zwischen 6:00 Uhr und 6:30 Uhr sowie zwischen 7:15 Uhr und 7:30 Uhr über dem Sollwert.

Zeitpunkt der minimalen Wassermenge bestimmen

1. Schritt: Ableitung berechnen

$f(x)=1\,000\cdot t^3-1\,000\cdot t^2-687\cdot t+1\,467$

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden

Rechenweg anzeigen

$x_1\approx 0,92, \, x_2\approx -0,25$

Da $x_2$ außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion liegt, wird im Folgenden nur der Wert $x_1=0,92$ betrachtet.

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium überprüfen

$\(f$

An der Stelle $x_1=0,92$ liegt ein Vorzeichenwechsel von - nach + und damit ein lokaler Tiefpunkt vor. Wegen $f(0)=1467$ und $f(1,5)=1561,5$ liegt bei $x_1$ sogar ein globaler Tiefpunkt vor.

$x_2=6:00\,\text{Uhr}+60\,\text{min}\cdot0,92$ $=6:00\,\text{Uhr}+55\text{min}$ $=6:55\,\text{Uhr}$

Folglich ist die Wassermenge um ca. 6:55 Uhr minimal.

Unterschreitung des Sollwerts berechnen

$f(0,92)\approx 767,2$

$1\,000\,\text{m}^3-767,2\,\text{m}^3=232,8\,\text{m}^3$

Der minimale Wasserstand im Speicher des Turms liegt $232,8\,\text{m}^3$ unter dem Sollwert.

$\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{780-1\,467}{1}=-687$

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Wassermenge zwischen 6:00 Uhr und 7:00 Uhr durchschnittlich mit $687\,\text{m}^3$ pro Stunde abnimmt.

$\(f$

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die momentane Zuflussgeschwindigkeit des Wassers um 7:00 Uhr $(t=1)$ bei $313\text{m}^3$ pro Stunde liegt.

(1)

(2)

Die Funktionswerte von $f$ und $g$ an einer Stelle $t$ ergeben in Summe immer den Wert $2\,000.$ Das entspricht genau der maximalen Füllmenge des Wasserturms. Der Graph der Funktion $f$ gibt die Wassermenge, die zu einem Zeitpunkt $t$ im Wasserturm vorhanden ist, an.

Der Graph der Funktion $g$ gibt folglich die Größe des freien Raums im Wasserturm zum Zeitpunkt $t$ an.

Lösung 3

$f(x)=x^3-6x^2+9x+1 = 0$

Diese Gleichung kann mit Hilfe des CAS gelöst werden.

Analysis G-Solve Root

Graph einer kubischen Funktion mit einem Wurzelpunkt und Koordinatengitter.

Der CAS liefert die Nullstelle $x\approx -0,104$ .

1. Schritt: Funktion ableiten

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3-6x^2+9x+1 & \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{(-4)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3}\\[5pt] &=& 2\pm\sqrt{1} \\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 3 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium überprüfen

$\(f$

4. Schritt: $\boldsymbol y$ -Werte bestimmen

$f(1)= 1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1+1 = 5$

$f(3)= 3^3-6\cdot3^2+9\cdot3+1= 1$

Die Funktion hat einen lokalen Hochpunkt bei $H\,(1\mid5)$ und einen lokalen Tiefpunkt bei $T\,(3\mid1)$ .

Die Allgemeine Funktionsgleichung der Sekante ist gegeben durch $s: y=m\cdot x+c.$ Die Steigung $m$ lässt sich wie folgt berechnen:

$m=\dfrac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}=\dfrac{1-3}{3-2}=-2$

Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $P$ in die allgemeine Funktionsgleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 3&=& -2\cdot 2+c \quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 7&=& c\end{array}$

Damit ist die Gleichung der Sekante gegeben durch $s:y=-2\cdot x+7.$

Es handelt sich um die Stelle $a=2.$

Zeichnet man beide Graphen mit dem CAS, kann man erkennen, dass der Graph von $g$ den selben Verlauf wie der Graph von $f$ hat. Er ist im Vergleich zu $f$ nach unten und nach rechts verschoben.

Graph mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem. X- und Y-Achse sind sichtbar.

Um die genaue Verschiebung zu berechnen, werden die Koordinaten der Extrempunkte verglichen.

Analysis G-Solve Max

Analysis G-Solve Min

Der CAS liefert $H_f(1\mid 5),$ $T_f(3\mid 1),$ $H_g(2\mid 2)$ und $T_g(4\mid -2).$

Lösung 4

(1)

Der CAS liefert $f(1)=780.$

Eine Stunde nach Messbeginn, also um 7:00 Uhr, beträgt der Wasserstand im Turm $780\,\text{m}^3$ .

(2)

Zunächst werden die Stellen berechnet, an denen die Wassermenge genau dem Sollwert entspricht.

Der CAS liefert für $f(t)=100$ die Lösungen $t_1\approx -0,75,$ $t_2\approx 0,5$ und $t_3\approx 1,25,$ wobei $t_1$ nicht im betrachteten Zeitraum liegt.

Zeitpunkt der minimalen Wassermenge bestimmen

1. Schritt: Ableitung berechnen

$f(x)=1\,000\cdot t^3-1\,000\cdot t^2-687\cdot t+1\,467$

$\(f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden

Rechenweg anzeigen

$x_1\approx 0,92, \, x_2\approx -0,25$

Da $x_2$ außerhalb des Definitionsbereiches der Funktion liegt, wird im Folgenden nur der Wert $x_1=0,92$ betrachtet.

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium überprüfen

$\(f$

An der Stelle $x_1=0,92$ liegt ein Vorzeichenwechsel von - nach + und damit ein lokaler Tiefpunkt vor. Wegen $f(0)=1467$ und $f(1,5)=1561,5$ liegt bei $x_1$ sogar ein globaler Tiefpunkt vor.

$x_2=6:00\,\text{Uhr}+60\,\text{min}\cdot0,92$ $=6:00\,\text{Uhr}+55\text{min}$ $=6:55\,\text{Uhr}$

Folglich ist die Wassermenge um ca. 6:55 Uhr minimal.

Unterschreitung des Sollwerts berechnen

$f(0,92)\approx 767,2$

$1\,000\,\text{m}^3-767,2\,\text{m}^3=232,8\,\text{m}^3$

Der minimale Wasserstand im Speicher des Turms liegt $232,8\,\text{m}^3$ unter dem Sollwert.

$\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}=\dfrac{780-1\,467}{1}=-687$

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Wassermenge zwischen 6:00 Uhr und 7:00 Uhr durchschnittlich mit $687\,\text{m}^3$ pro Stunde abnimmt.

$\(f$

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die momentane Zuflussgeschwindigkeit des Wassers um 7:00 Uhr $(t=1)$ bei $313\text{m}^3$ pro Stunde liegt.

(1)

(2)

Der Graph der Funktion $g$ gibt folglich die Größe des freien Raums im Wasserturm zum Zeitpunkt $t$ an.