Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3: Analysis (innermathematische Aufgabe)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\dfrac{1}{48}\cdot x^3 - \dfrac{3}{8} \cdot x^2 + \dfrac{27}{16} \cdot x + 1.$

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f.$

nrw zentralklausur 2016 hilfsmittel a3 abb 1

Abbildung 1

(1)

Ermittle rechnerisch eine Gleichung der Geraden $s$ durch die Punkte $H\left (3\,\bigg \vert \,\frac{13}{4} \right)$ und $T(9|1).$

[Zwischenergebnis: Die Gerade $s$ hat die Steigung $-\frac{3}{8}$ .]

(2)

Es gibt zwei Stellen, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen.
Ermittle diese Stellen auf zwei Nachkommastellen genau.

(5+4 Punkte)

Gegeben ist zusätzlich die Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(x)= \dfrac{1}{48} \cdot x^3 -\dfrac{3}{16}\cdot x^2 +\dfrac{13}{4}.$

(1)

Zeichne den Graphen von $g$ in die Abbildung 1 ein.

Der Graph der Funktion $g$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen der Funktion $f$ hervor.

(2)

Gib diese Transformation an.

(3)

Gib eine Funktionsgleichung von $g$ an, aus der die Transformation deutlich wird, durch die der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht.

(4+2+2 Punkte)

Die folgenden Abbildungen 2.1 bis 2.5 veranschaulichen, wie man den Wert der Ableitung $\(f$ näherungsweise ermitteln kann.

NRW ZK zum Ende der EF (GTR) Funktion, Sekante, Steigung

Abbildung 2.1

Abbildung 2.3

Abbildung 2.2

Abbildung 2.4

Abbildung 2.5

(1)

Gib an, welche Abbildung zum Differenzenquotienten $\frac{f(2)-f(0,8)}{2-0,8}$ gehört.

(2)

Gib an, welche geometrische Bedeutung der Wert $\(f$ hat.

Erkläre, warum in den Abbildungen 2.1 bis 2.5 veranschaulicht wird, wie dieser Wert immer genauer ermittelt werden kann.

(2+5 Punkte)

Aufgabe 4: Analysis (kontextbezogene Aufgabe)

Während seines Urlaubs im norwegischen Vardø beobachtet Noah an einem Tag Anfang August die Sonne. Dabei misst er zu jeder vollen Stunde den Sonnenhöhenwinkel $\alpha$ (siehe Abbildung 1), um so zu bestimmen, wie hoch die Sonne über dem Horizont steht.
Noah trägt seine Winkelmessungen in ein Koordinatensystem ein (siehe Abbildung 2).
Dabei entspricht $t=0$ der Uhrzeit 12:00 Uhr mittags, $t=1$ entspricht 13:00 Uhr usw.
Der Uhrzeit 11:00 Uhr entspricht $t=-1$ usw.

Abbildung 1

Abbildung 2

(1) Gib den Sonnenhöhenwinkel an, den Noah um 7:00 Uhr morgens misst.

(2) Gib an, in welchem Zeitraum Noah Sonnenhöhenwinkel misst, die mindestens 30 Grad betragen.

(2+2 Punkte)

Noah modelliert anhand seiner Daten den Sonnenhöhenwinkel im Laufe des Tages mit einer ganzrationalen Funktion 4. Grades. Er verwendet dazu für $-10\leq t \leq 10$ die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(t)=0,0031\cdot t^4-0,671\cdot t^2+36,1.$
$f(t)$ beschreibt den Sonnenhöhenwinkel in Grad zu der durch $t$ gegebenen Uhrzeit.

Die Werte, die sich bei der Modellierung mit der Funktion $f$ ergeben, weichen etwas von den Werten aus der Abbildung 2 ab.

Berechne die Abweichung zwischen dem um 7:00 Uhr morgens gemessenen Wert und dem entsprechenden Funktionswert.

(2 Punkte)

Bei der Messung von Noah erreicht die Sonne ihren höchsten Stand um 12:00 Uhr mittags (siehe Abbildung 2).

Weise rechnerisch nach, dass auch bei der Modellierung mit der Funktion $f$ die Sonne zu diesem Zeitpunkt ihren höchsten Stand erreicht.

(7 Punkte)

(1) Weise nach, dass gilt: $\(f$ .

(2) Interpretiere diese Ungleichung im Sachzusammenhang.

(2+2 Punkte)

An einem Tag Ende August beobachtet Noah noch einmal die Sonne in Vardø. Um 04:00 Uhr morgens während des Sonnenaufgangs misst er den Sonnenhöhenwinkel 0 Grad, um 12:00 Uhr mittags ist der Sonnenhöhenwinkel mit 29 Grad maximal.
Noah möchte für diesen Tag den Sonnenhöhenwinkel mit einer ganzrationalen Funktion $g$ modellieren.

(1)

Skizziere in der Abbildung 2 den Verlauf eines möglichen Graphen von $g$ .

(2)

Für die Funktionsgleichung von $g$ wählt Noah den Ansatz: $g(t)=a\cdot f(b\cdot t)$

Ermittle für $a$ und $b$ jeweils einen zu seiner Messung passenden Wert.

(3+4 Punkte)

Lösung 3

(1)

1. Schritt: Steigung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{y_T-y_H}{x_T-x_H} &\quad \\[5pt] m&=&\dfrac{1-\frac{13}{4}}{9-3} &\quad \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{8} \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{T(9\mid 1)}$ und $\boldsymbol{m}$ in die Geradengleichung einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m \cdot x + t &\quad \\[5pt] 1&=& -\dfrac{3}{8} \cdot 9 + t &\quad \\[5pt] 1&=&-\dfrac{27}{8} + t \quad \scriptsize \mid\; +\dfrac {27}{8} \\[5pt] \dfrac{35}{8} &=& t \end{array}$

Die Geradengleichung lautet also wie folgt:

$s(x)=-\dfrac{3}{8}\cdot x + \dfrac{35}{8}$

(2)

Die Tangenten sollen parallel zur Geraden verlaufen, daher müssen sie die gleiche Steigung wie die Gerade $s$ besitzen, also $-\dfrac{3}{8}.$

1. Schritt: $\boldsymbol{f(x)}$ ableiten

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{1}{48}\cdot x^3 - \dfrac{3}{8} \cdot x^2 + \dfrac{27}{16} \cdot x + 1 &\quad \\[5pt] f$

2. Schritt: Schnittpunkte berechnen

Werden die Funktion $\(f$ und die Steigung $m=-\dfrac{3}{8}$ im CAS definiert, lassen sich die Schnittpunkte wie folgt berechnen.

menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 4: Schnittpunkt

Graf einer Funktion mit einem blauen Parabelverlauf und markiertem Punkt bei (4.27, -0.375).

Schnittpunkt 1

Graph einer Parabel mit Koordinaten und Achsenbeschriftung.

Schnittpunkt 2

Die Stellen, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $s$ verlaufen sind $x_1\approx4,27$ und $x_2\approx7,73.$

(1)

Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln Koordinatensystem Graph

Graph von $g(x)$

(2)

Koordinaten der Extrempunkte vergleichen, um genaue Transformation anzugeben:

menu $\rightarrow$ 6: Graph analysieren $\rightarrow$ 3: Maximum

Der Hochpunkt von $f(x)$ liegt bei $(3\mid3,25)$ , der Hochpunkt von $g(x)$ liegt bei $(0\mid3,25)$ .

Der Tiefpunkt von $f(x)$ liegt bei $(9\mid 1)$ , der Tiefpunkt von $g(x)$ liegt bei $(6\mid 1)$ .

Der Graph von $g$ geht also aus dem Graphen von $f$ hervor, indem der Graph von $f$ um $3$ Einheiten in negative $x$ -Richtung verschoben wird.

(3)

$(x+3)$ für jedes $x$ im Funktionsterm von $f$ einsetzen:

g(x) anzeigen

(1)

Allgemeine Formel des Differenzquotienten: $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Der Punkt $(2 \mid f(2))$ ist in jeder Abbildung ein Eckpunkt des Steigungsdreiecks. Der zweite Eckunkt ist im vorgegebenen Differenzenquotienten $\dfrac{f(2)-f(0,8)}{2-0,8}$ durch $(0,8 \mid f(0,8))$ gegeben. Der Differenzenquotient gehört daher zu Abbildung 2.3.

(2)

$\(f$ entspricht geometrisch der Steigung der Tangente an dem Graphen der Funktion im Punkt $P(2\mid f(2))$ .

Die Gerade in den Abbildungen verläuft außerdem durch einen weiteren Punkt, der sich im Laufe der Abbildungen an den Punkt $P$ annähert. Die Steigung der Sekante kommt also in jeder Abbildung näher an die der Tangente im Punkt $P.$

Lösung 4

(1)

Da 12:00 Uhr $t=0$ entspricht, gilt für 7:00 Uhr morgens $t=-5.$

Ablesen des $y$ -Werts bei $x=-5$ aus Abbildung 2 zeigt, dass der Sonnenhöhenwinkel um 7:00 Uhr morgens $20^{\circ}$ beträgt.

(2)

Der Sonnenhöhenwinkel liegt zwischen $t=-3$ und $t=3$ bei mindestens $30^{\circ}.$ $t=-3$ entspricht der Uhrzeit 9:00 Uhr und $t=3$ der Uhrzeit 15:00 Uhr.
Folglich misst Noah im Zeitraum von 9:00 - 15:00 Uhr Sonnenhöhenwinkel, die mindestens $30^{\circ}$ betragen.

Graphen der Funktion im CAS aufzeichnen lassen und den $y$ -Wert zu $x=-5$ berechnen lassen:

menu $\rightarrow$ 8: Geometry $\rightarrow$ 1: Punkte und Geraden $\rightarrow$ 1: Punkt

Graf einer Funktion mit Punkten und Achsenbeschriftung.

$y$ -Wert zum Zeitpunkt $t=-5$

$f(-5)\approx21,3$

Bei der Modellierung der Funktion liegt der Sonnenhöhenwinkel bei $21,3^{\circ}$ statt bei $20^{\circ}$ . Der Funktionswert weicht also um $1,3^{\circ}$ vom gemessenen Wert ab.

1. Schritt: $\boldsymbol{f(t)}$ ableiten

$\(\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 0,0031\cdot t^4-0,671 \cdot t^2+36,1&\quad \scriptsize \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung anwenden

Rechenweg anzeigen

$t_1=0, \, t_{2,3}\approx \pm 10,40$

Da $t_2=10,40$ und $t_3=-10,40$ bei $0^{\circ}$ nicht im Zeitraum der Messungen liegen, wird nur mit $t=0$ weitergerechnet.

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium prüfen

$\(f$
$\(f$

An der Stelle $t=0$ liegt also ein Vorzeichenwechsel der Ableitung von + nach - und somit ein lokales Maximum von $f$ vor. Überprüfen der Randwerte liefert:

$f(-10)=0=f(10)$

Somit liegt an der Stelle $t=0$ ein absolutes Maximum vor. Da $t=0$ den Sonnenhöhenwinkel um 12:00 Uhr beschreibt, gilt für die Modellierung der Funktion $f,$ dass sie an dieser Stelle ihren höchsten Stand erreicht.

(1)

Beide Werte für $t$ in die erste Ableitung einsetzen und ausrechnen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Es ist $\(f$ daher stimmt die Aussage.

(2)

Die Ableitungen an den Stellen $t=-9$ und $t=-2$ beschreiben die Steigung des Graphen der Funktion $f$ an diesen Stellen.
Zum Zeitpunkt $t=-9$ steigt die Funktion $f$ stärker als zum Zeitpunkt $t=-2,$ also nimmt der Sonnenhöhenwinkel um 3:00 Uhr $(t=-9)$ schneller zu als um 10:00 Uhr $(t=-2).$

(1)

Skizze mit Hilfe markanter Punkte erstellen, bspw. mit den Koordinaten des Hochpunkts $H(0\mid 29)$ und der Nullstellen $t=-8$ und $t=8:$

Graph von $g$

(2)

Wert $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Der Wert $a$ stellt den Stauchungsfaktor in $y$ -Richtung dar. Er kann durch das Verhältnis der Funktionswerte bei $t=0$ berechnet werden:

Die Funktion wird also um den Faktor $a= \dfrac{29}{36,1}\approx0,8$ in $y$ -Richtung gestaucht.

Wert $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Analog kann durch Betrachtung der Nullstellen die Stauchung der Funktion in $x$ -Richtung bestimmt werden.

Die Funktion wird also um den Faktor $b=\dfrac{10}{8}=1,25$ in $x$ -Richtung gestaucht.

Funktionsgleichung aufstellen

$g(t)=0,8\cdot f(1,25\cdot t)$