Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=\dfrac{27}{125}\cdot x^3-\dfrac{27}{25}\cdot x^2+5, x\in \mathbb{R}.$

Der Graph von $f$ ist in der Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Prüfe, ob der Punkt $P\left(\dfrac{3}{2}\,\bigg \vert \, \dfrac{16}{5}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegt.

(2 Punkte)

Gib $\(f$ an und bestimme rechnerisch - ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden - die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f.$

[Zur Kontrolle: Der lokale Tiefpunkt liegt an der Stelle $x_T=\dfrac{10}{3}.$ ]

(7 Punkte)

(1)

Ermittle rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $Q (5\mid f(5)).$

[Zur Kontrolle: $t: y=\dfrac{27}{5}\cdot x-22.$ ]

(2)

Die Tangente $t$ und der Graph von $f$ besitzen einen weiteren gemeinsamen Punkt $R.$

Bestimme die Koordinaten von $R.$

(4 + 3 Punkte)

Für eine Funktion $g$ gilt: $g(x)= f(x)+a, x\in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R}.$

(1)

Begründe, warum die Graphen von $\(g$ und $\(f$ identisch sind.

(2)

Wenn der Graph von $g$ genau drei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse besitzen soll, dann dürfen für $a$ nur Werte aus einem bestimmten Bereich eingesetzt werden.

Gib diesen Bereich an.

(2 + 3 Punkte)

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $h$ mit $h(x)= f(x-b)+c, x\in \mathbb{R}.$

Abbildung 2

Ermittle $b$ und $c.$

(3 Punkte)

Aufgabe 4

Ein „Pumptrack“ ist eine speziell geschaffene Mountainbike-Strecke. Auf einem Pumptrack ist es das Ziel, am Rad allein durch Heben und Senken des Körpers Geschwindigkeit aufzubauen.

Das seitliche Profil für einen Abschnitt eines Pumptracks wird für $0\leq x \leq 8$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x)=-0,01\cdot x^3+0,24\cdot x^2-1,545\cdot x+2,12$ mit $x\in\mathbb{R}$

modelliert.

Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Koordinatensystem 1 m in der Realität. Die $x$ -Achse entspricht dem Niveau des Geländes, das den Pumptrack umgibt.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f.$

Abbildung 1

Die Aufgaben a) und b) beziehen sich auf das mit dem Graphen der Funktion $f$ modellierte seitliche Profil des Pumptrack-Abschnitts.

(1)

Gib die genaue Höhe des Punktes A über dem Niveau des umgebenden Geländes an.

(2)

Die durchschnittliche Steigung zwischen dem Punkt A und dem Punkt B (siehe Abbildung 1) wird mit -0,265 angegeben.

Prüfe diese Angabe.

(3)

Erkläre, warum die durchschnittliche Steigung nur wenig über den Verlauf des Pumptrack-Abschnitts aussagt.

(4)

Die durchschnittliche Steigung -0,265 kommt auch als Steigung in einem Punkt des seitlichen Profils vor.

Gib $\(f$ an und berechne die Koordinaten dieses Punktes.

(1 + 3 + 2 + 4 Punkte)

Bestimme rechnerisch - ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden -, wie tief unterhalb des Niveaus des umgebenden Geländes der niedrigste Punkt des Pumptrack-Abschnitts liegt.

(7 Punkte)

Das seitliche Profil für den weiteren Verlauf des Pumptracks wird für $8\leq x\leq x_c$ durch den Graphen der Funktion $g$ mit der Gleichung

$g(x)=0,015\cdot x^3-0,51\cdot x^2+ 5,655\cdot x-20,28$ mit $x\in\mathbb{R}$

modelliert. Dabei ist $x_c$ die Stelle im Bereich $x\gt 8,$ an der der Graph von $g$ den gemeinsamen Punkt C mit der $x$ -Achse besitzt. Eine Längeneinheit in dem Koordinatensystem entspricht weiterhin 1 m in der Realität.

Die Abbildung 2 zeigt die durch die Funktion $f$ und $g$ modellierten Abschnitte des Pumptracks.

Abbildung 2

(1)

Für einen glatten Übergang müssen die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ knickfrei ineinander übergehen.

[„An einer Stelle knickfrei ineinander übergehen“ bedeutet: An dieser Stelle besitzen die Funktionen den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung.]

Weise rechnerisch nach, dass die Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ an der Stelle $x=8$ knickfrei ineinander übergehen.

(2)

Ermittle rechnerisch die horizontale Länge des zweiten Abschnitts (siehe Abbildung 2).

(4 + 3 Punkte)

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Aufgabe 3

$x$ -Koordinate von $P\left(\dfrac{3}{2}\,\bigg \vert \, \dfrac{16}{5} \right)$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

$f\left(\dfrac{3}{2}\right)= 3,299 \neq 3,2=\dfrac{16}{5}$

Der Punkt $P$ liegt also nicht auf dem Graphen der Funktion $f.$

1. Schritt: $\(\boldsymbol{f$ angeben

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{27}{125}\cdot x^3-\dfrac{27}{25}\cdot x^2+5 \\[5pt] f$

2. Schritt: $\(\boldsymbol{f$ setzen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{81}{125} \cdot x^2 - \dfrac{54}{25} \cdot x&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] x\cdot \left(\dfrac{81}{125} \cdot x - \dfrac{54}{25}\right)&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt $x_1=0.$ Für die zweite Nullstelle gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{81}{125} \cdot x_2 - \dfrac{54}{25}&=& 0\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{54}{25}\\[5pt] \dfrac{81}{125} \cdot x_2 &=& \dfrac{54}{25} \quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{81}{125} \\[5pt] x_2&=& \dfrac{10}{3} \end{array}$

3. Schritt: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x_1=0$ liegt also ein Vorzeichenwechsel von positiven zu negativen Funktionswerten von $\(f$ und damit ein lokales Maximum von $f$ vor. An der Stelle $x_2=\dfrac{10}{3}$ liegt ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten von $\(f$ und damit ein lokales Minimum von $f$ vor.

4. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \dfrac{27}{125}\cdot 0^3-\dfrac{27}{25}\cdot 0^2+5&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$f\left(\dfrac{10}{3}\right)=1$

Daraus folgt, dass $H(0 \mid 5)$ der lokale Hochpunkt und $T\left(\dfrac{10}{3} \mid 1\right)$ der lokale Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.

(1)

Form einer Tangentengleichung: $t: y=m\cdot x+b$

1. Schritt: Steigung $\boldsymbol{ m}$ an der Stelle $\boldsymbol{5}$ berechnen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: $\boldsymbol{ y}$ -Koordinate von Punkt $\boldsymbol{ Q}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& \dfrac{27}{125}\cdot 5^3-\dfrac{27}{25}\cdot 5^2+5 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(5)&=& 5 = y \end{array}$

3. Schritt: $\boldsymbol{b}$ durch Einsetzen in die Tangentengleichung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} 5&=& \dfrac{27}{5}\cdot 5+b&\quad \scriptsize \mid\; - \dfrac{27}{5}\cdot 5\\[5pt] b&=& 5 -\dfrac{27}{5}\cdot 5&\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -22 \end{array}$

Die Gleichung der Tangente lautet also $t:y=\dfrac{27}{5}\cdot x-22.$

(2)

$f(x)=g(x)$

Der solve-Befehl des CAS liefert $x_1=-5$ und $x_2=5.$

Mit $f(-5)=-49$ folgt $R(-5\mid-49).$

(1)

Da additive Konstanten beim Ableiten wegfallen, gilt $\(g$ Die Graphen von $\(g$ und $\(f$ sind daher identisch.

(2)

Wenn der Graph von $g$ genau drei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse besitzen soll, dann dürfen für $a$ nur Werte eingesetzt werden, die größer als $-5$ und kleiner als $-1$ sind.

Ein Vergleich mit dem Graphen von $f$ zeigt, dass der Graph von $h$ um $\dfrac{2}{3}$ Einheiten nach rechts und um $2$ Einheiten nach unten verschoben ist.

Es gilt also $b=\dfrac{2}{3}$ und $c=-2.$

Aufgabe 4

(1)

Der Punkt $A$ befindet sich an der Stelle $x=0.$

$f(0)=2,12$

Der Punkt $A$ liegt auf einer Höhe von 2,12 m über dem Niveau des umgebenden Geländes.

(2)

$\quad \dfrac{f(x_2) -f(x_1)}{x_2 -x_1}$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \dfrac{f(8)-f(0)}{8 -0}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{0-2,12}{8} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -0,265 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Angabe ist also richtig.

(3)

Die durchschnittliche Steigung ergibt sich nur aus den Koordinaten zweier Punkte. Über den Verlauf des Abschnitts zwischen diesen Punkten, beispielsweise über das steilste Gefälle im Abschnitt, kann daraus keine Aussage abgeleitet werden.

(4)

1. Schritt: $\(\boldsymbol{f$ angeben

$\(f$

2. Schritt: $\(\boldsymbol{f$ mit der angegebenen Steigung gleichsetzen

Rechenweg anzeigen

$x_1=12,64 \quad x_2=3,38$

Zum Weiterrechnen wird nur $x_2= 3,38$ genutzt, da sich $x_1=12,62$ nicht im Modellierungsbereich befindet.

3. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinate des Punkts berechnen

$f(3,38)\approx -0,75$

Der Punkt des seitlichen Profils, in dem die durchschnittliche Steigung als Steigung vorkommt, hat ungefähr die Koordinaten $(3,38\mid -0,75).$

1. Schritt: Lokale Extremstellen berechnen

$\(f$ setzen:

Rechenweg anzeigen

$x_1=11,54\quad x_2=4,46$

Zum Weiterrechnen wird nur $x_2= 4,46$ genutzt, da sich $x_1=11,54$ nicht im Modellierungsbereich befindet.

2. Schritt: Das Vorzeichenwechsel-Kriterium anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An der Stelle $x_2=4,46$ liegt also ein Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten von $\(f$ und damit ein lokales Minimum von $f$ vor.

3. Schritt: $\boldsymbol{f(4,46)}$ berechnen

$f(4,46)\approx -0,88$

Wegen $f(0)=2,12,$ $f(4,46)\approx-0,88$ und $f(8)=0$ liegt bei $x_2=4,46$ auch das absolute Minimum von $f$ im Intervall $[0;8]$ vor.

Daher liegt der niedrigste Punkt des Pumptrack-Abschnitts ca. $0,88\,\text{m}$ unterhalb des Niveaus des umgebenden Geländes.

(1)

$f(8)=0=g(8)$

An der Übergangsstelle $x=8$ besitzen die Funktionen $f$ und $g$ also den gleichen Funktionswert.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

An der Übergangsstelle $x=8$ besitzen die Funktionen $f$ und $g$ also auch die gleiche Steigung. Die Graphen der beiden Funktionen gehen daher an der Stelle $x=8$ knickfrei ineinander über.

(2)

Die Punkte, die für die horizontale Länge des zweiten Abschnitts gebraucht werden, sind die Nullstellen der Funktion $g$ und können durch Lösen der Gleichung $g(x)=0$ berechnet werden.

Der solve-Befehl des CAS liefert $x_1=8$ und $x_2=13.$

Der zweite Abschnitt hat also eine horizontale Länge von $13\,\text{m}-8\,\text{m}=5\,\text{m}.$

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