Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x)=\dfrac{1}{2} \cdot x^3-3 \cdot x^2+\dfrac{9}{2} \cdot x-1, x \in \mathbb{R} .$

Der Graph von $f$ ist in der folgenden Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Die Funktion $f$ besitzt neben der in der Abbildung 1 ablesbaren Nullstelle $x=2$ zwei weitere Nullstellen.

Berechne diese und gib die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

(2 Punkte)

Gib $\(f$ an und bestimme rechnerisch - ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden - die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f.$

(7 Punkte)

Für die gegebene Funktion $f$ gilt die folgende Aussage:

Die Anzahl der lokalen Extremstellen ist um eins geringer als die Anzahl der Nullstellen.

Entscheide, ob diese Aussage für alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades gilt, und begründe deine Entscheidung.

(3 Punkte)

(1)

Ermittle rechnerisch eine Gleichung der Geraden $g,$ die durch die Punkte $P(1 \mid f(1))$ und $Q(3 \mid f(3))$ verläuft.

[Zur Kontrolle: $g: y=-x+2.$ ]

(2)

Die Gerade $g$ schneidet den Graphen von $f$ in einem weiteren Punkt $R.$ Bestimme die Koordinaten von $R.$

(3)

Es gibt Stellen, an denen der Graph von $f$ Tangenten hat, die parallel zur Geraden $g$ verlaufen.

Berechne diese Stellen und gib die Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen gerundet an.

(3+2+2 Punkte)

In den folgenden Abbildungen 2.1 bis 2.3 sind für verschiedene Werte von $h\,(h>0)$ die zugehörigen Differenzenquotienten $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ veranschaulicht.

Abbildung 2.1

Abbildung 2.2

Abbildung 2.3

(1)

Entscheide, welche der Abbildungen 2.1 oder 2.3 zu dem Wert $h=0,25$ gehört.

(2)

Gib an, welcher Wert von $h$ zu der Abbildung 2.2 gehört.

(3)

Wenn $h$ immer kleiner wird, dann nähert sich der Wert des Differenzenquotienten $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ einer bestimmten Zahl an.

Gib diese Zahl an und begründe deine Angabe.

(1+1+3 Punkte)

Aufgabe 4

Der Ederstausee in Hessen ist einer der größten Stauseen in Deutschland. Wenn er bis zum Überlauf gefüllt ist (Vollstau), dann enthält er eine Wassermenge von 200 Millionen $\text{m}^3.$

Im Sommer 2022 herrschte in Deutschland eine extreme Trockenheit. Dadurch nahm die Wassermenge im Ederstausee immer weiter ab.

Die Füllmenge des Ederstausees in Millionen $\mathrm{m}^3$ von Anfang Januar 2022 bis Mitte September 2022 kann für $0 \leq t \leq 8,5$ näherungsweise mithilfe der Funktion $f$ mit

Funktionsgleichung anzeigen

$f(t)= \, ...$

beschrieben werden, wobei $t$ die Zeit in Monaten angibt.

( $t=0$ entspricht dem 01. Januar 2022, $t=1$ entspricht dem 01. Februar, $t=2$ entspricht dem 01. März usw.)

Der Graph von $f$ ist in der Abbildung 3 für $0 \leq t \leq 8,5$ dargestellt.

Abbildung 3

Berechne die Füllmenge des Ederstausees am 01. April 2022.

(2 Punkte)

Bei der Entstehung des Ederstausees vor mehr als 100 Jahren wurden Bauwerke überflutet. Einige davon werden bei Niedrigwasser wieder sichtbar, das „Edersee-Atlantis“. Das am besten erhaltene Bauwerk ist die Aseler Brücke.

nrw zk zum ende der ef 2023, aseler brücke

Abbildung 4: Aseler Brücke bei Niedrigwasser des Ederstausees

Die Aseler Brücke ist begehbar, wenn der Ederstausee nur noch $43 \,\%$ der Füllmenge enthält, die bei Vollstau vorliegt.

Bestimme, ab wann die Aseler Brücke im Jahr 2022 begehbar war.

[Hinweis: Die Angabe eines exakten Datums ist nicht erforderlich.]

(4 Punkte)

Berechne $\frac{f(7)-f(5)}{7-5}$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 Punkte)

Gib $\(f$ an und bestimme rechnerisch - ohne dabei an Funktionsgraphen abgelesene Werte oder Zusammenhänge zu verwenden - die geringste Füllmenge des Ederstausees im Zeitraum von Anfang Januar 2022 bis Mitte September 2022.

(8 Punkte)

In der Abbildung 5 ist neben dem Graphen von $f$ noch der Graph einer Funktion $g$ dargestellt. Mit der Funktion $g$ wird die aus den Daten der letzten dreißig Jahre ermittelte mittlere Füllmenge des Ederstausees von Anfang Januar bis Mitte September modelliert.

Abbildung 5

(1)

Gib für $0 \leq t \leq 8,5$ näherungsweise die Bereiche an, in denen $f(t)\lt g(t)$ gilt, und interpretiere die Bedeutung dieser Bereiche im Sachzusammenhang.

(2)

Für $t \approx 8,0$ liegt der größte vertikale Abstand (Abstand in $y$ -Richtung) der Graphen von $f$ und $g$ im Bereich $0 \leq t \leq 8,5$ vor.

Ermittle näherungsweise diesen Abstand und interpretiere den ermittelten Wert im Sachzusammenhang.

(3+3 Punkte)

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Lösung 3

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\dfrac{9}{2}\cdot x-1&=& 0 \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgen die beiden weiteren Nullstellen $x_2\approx 0,27$ und $x_3\approx 3,73.$

$\(f$

Extremstellen von $f$ sind Nullstellen von $\(f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der pq-Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-3} \\[5pt] &=& 2 \pm \sqrt{4-3} \\[5pt] &=& 2\pm 1 \\[5pt] x_1&=& 1 \\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1^3-3\cdot 1^2+\dfrac{9}{2}\cdot 1-1 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(3)&=& \dfrac{1}{2}\cdot 3^3-3\cdot 3^2+\dfrac{9}{2}\cdot 3-1 \\[5pt] &=& -1 \end{array}$

Die lokalen Extrempunkte haben die Koordinaten $H(1\mid 1)$ und $T(3\mid -1).$

Die Aussage gilt nicht für alle ganzrationalen Funktionen dritten Grades. Verschiebt man beispielsweise den Graphen der Funktion $f$ um zwei Einheiten in positive $y$ -Richtung, so hat die zugehörige Funktion dritten Grades nur noch eine Nullstelle, aber weiterhin zwei lokale Extremstellen.

(1)

Die allgemeine Geradengleichung lautet $y=m\cdot x+c.$ Die Steigung $m$ lässt sich über den Differenzenquotienten berechnen:

$m=\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{-1-1}{2}=-1$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -1\cdot x+c \\[5pt] 1 &=& -1\cdot 1+c \quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 2 &=& c \end{array}$

Die gesuchte Geradengleichung lautet $y=-x+2.$

(2)

$f(x)=g(x)$

Der solve-Befehl des CAS liefert als weitere Schnittstelle $x=2.$

$f(2)=0$

Die Koordinaten des dritten Schnittpunkts sind gegeben durch $R(2\mid 0).$

(3)

An den gesuchten Stellen muss der Graph von $f$ die gleiche Steigung wie die Gerade haben. Es muss also $\(f$ gelten.

Der solve-Befehl des CAS liefert $x_1\approx 1,42$ und $x_2 \approx 2,58.$

(1)

Zu $h=0,25$ gehört die Abbildung 2.3.

(2)

Zu Abbildung 2.2 gehört der Wert $h=0,5.$

(3)

Der Differenzenquotient nähert sich für kleine $h$ der Ableitung von $f$ an der Stelle $x=3$ an. An der Stelle $x=3$ besitzt der Graph von $f$ einen Tiefpunkt, weshalb die Ableitung an dieser Stelle gleich null ist.

Der gegebene Differenzenquotient nähert sich für kleine $h$ also der Zahl $0$ an.

Lösung 4

$t=3$ entspricht dem 01. April 2022.

Rechenweg anzeigen

$f(3)=191,82$

Bei Vollstau enthält der Ederstausee eine Wassermenge von $200$ Millionen $\text{m}^3.$

$200 \,\text{Mio.} \,\text{m}^3\cdot 0,43= 86\,\text{Mio.} \,\text{m}^3$

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $f(t)=86.$

Der solve-Befehl des CAS liefert $t\approx 6,99.$ Die anderen beiden Lösungen liegen nicht im betrachteten Bereich von $t.$ Die Brücke war also ungefähr ab August wieder begehbar.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{f(7)-f(5)}{7-5}&=& \dfrac{85,3-192}{2}\\[5pt] &=& -53,35 \end{array}$

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass die Wassermenge im Ederstausee zwischen dem 01. Juni und dem 01. August im Schnitt um $53,35\,\text{Mio.} \,\text{m}^3$ pro Monat abgenommen hat.

Ableitung anzeigen

$\( f$

Die geringste Füllmenge entspricht dem globalen Minimum der Funktion $f$ im Bereich $0\leq t \leq 8,5.$

$\(f$

Der solve-Befehl des CAS liefert $t_1=4,2$ und $t_2\approx 8,21.$

$\(f$

An der Stelle $t_1=4,2$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ vor, also ein Maximum von $f.$

$\(f$

An der Stelle $t\approx 8,21$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ und damit ein lokales Minimum von $f.$

Es müssen noch die Intervallränder überprüft werden:

$f(8,21)\approx 24,94$

$f(0)= 93$

$f(8,5)\approx 31,07$

Die geringste Füllmenge des Ederstausees betrug ca. $24,94$ Millionen $\text{m}^3.$

(1)

Ungefähr für $0\lt t\lt 0,2$ und $5,9\lt t \lt 8,5$ gilt $f(t)\lt g(t).$

In diesen Bereichen war im Jahr 2022 weniger Wasser im Ederstausee als im Durchschnitt in den letzen dreißig Jahren.

(2)

Der Abbildung kann entnommen werden, dass der Abstand ca. $70$ beträgt.

Im Sachzusammenhang bedeutet das, dass Anfang September ungefähr $70$ Millionen $\text{m}^3$ Wasser weniger im Stausee waren als die letzten $30$ Jahre im Durchschnitt. Das entspricht der größten Differenz im Zeitraum von Januar bis Mitte September.

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