Prüfungsteil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1

Gegeben ist die Ableitungsfunktion $\(f$ mit

$\(f$

$\(f$ ist die Ableitung einer Funktion $f$ .

Berechne $\(f$

(1 Punkt)

Berechne die beiden Nullstellen der Ableitungsfunktion $\(f$

(2 Punkte)

Für die Ableitungsfunktion $\(f$ gilt:

$\color{#ffffff}{x}$	$-3$	$-2$	$1$	$4$	$5$
$\(\color{#ffffff}{f$	$7$	$0$	$-9$	$0$	$7$

Die Funktion $f$ besitzt zwei lokale Extremstellen.

(1)

Gib diese an.

(2)

Entscheide begründet anhand der Tabelle, um welche Art von lokaler Extremstelle es sich jeweils handelt.

(1+2 Punkte)

Aufgabe 2

Der Fußballer Lionel Messi ist der Kapitän der argentinischen Weltmeistermannschaft. Er ist enorm torgefährlich.

In der Saison 2018/2019 hat Lionel Messi in der spanischen Liga 18 Heimspiele $(H)$ und 16 Auswärtsspiele $(A)$ für den FC Barcelona bestritten. Dabei hat er in 14 Heimspielen Tore erzielt $(T).$ In 7 Auswärtsspielen hat er nicht getroffen $(\overline{T}).$

(1)

Vervollständige die folgende Vierfeldertafel.

	$\color{#ffffff}{H}$	$\color{#ffffff}{A}$
$\color{#ffffff}{T}$	$14$
$\color{#ffffff}{\overline T}$		$7$
$\color{#ffffff}{\text{Summe}}$	$18$	$16$

(2)

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig ausgewähltes Spiel ein Heimspiel war und Lionel Messi getroffen hat.

(3)

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Lionel Messi bei einem zufällig ausgewählten Spiel kein Tor geschossen hat.

(4)

Von einem zufällig ausgewählten Spiel ist bekannt, dass Lionel Messi getroffen hat.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass es sich dabei um ein Heimspiel gehandelt hat.

(2+1+1+2 Punkte)

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Lösung 1

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit der pq-Formel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-8)} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{1+8} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{9} \\[5pt] &=& 1\pm 3 \end{array}$

Die Nullstellen sind durch $x_1=1-3=-2$ und $x_2=1+3=4$ gegeben.

(1)

Nullstellen von $\(f$ sind Extremstellen der Funktion $f.$ Mit Teilaufgabe b) oder der Tabelle folgt, dass $x_1=-2$ und $x_2=4$ lokale Extremstellen der Funktion $f$ sind.

(2)

An der Stelle $x_1=-2$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $\(f$ von $+$ nach $-$ vor. Die Funktion $f$ nimmt an dieser Stelle daher ein lokales Maximum an.

An der Stelle $x_2=4$ liegt ein Vorzeichenwechsel von $\(f$ von $-$ nach $+$ vor. Die Funktion $f$ nimmt an dieser Stelle daher ein lokales Minimum an.