Prüfungsteil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1: Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x) = -x^2 + 6 \cdot x - 5.$

Abbildung

(1) Berechne die Nullstellen der Funktion $f.$

(2) Skizziere in die Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion $\(f$

(2 + 2 Punkte)

Ermittle, um wie viele Einheiten der Graph von $f$ nach unten verschoben werden muss, so dass der verschobene Graph nur einen gemeinsamen Punkt mit der $x$ -Achse besitzt.

(2 Punkte)

Aufgabe 2: Stochastik

Eine Firma hat einen neuen Wirkstoff gegen Erkältungsbeschwerden entwickelt, dessen Wirksamkeit an erkälteten Versuchspersonen getestet wurde:

$60\,\%$ der Versuchspersonen erhielten eine Tablette mit dem neuen Wirkstoff, die übrigen Versuchspersonen erhielten eine Tablette ohne Wirkstoff.

Nach einer Stunde trat insgesamt bei der Hälfte aller Versuchspersonen eine Linderung ein.

$38\,\%$ der Versuchspersonen erhielten eine Tablette ohne Wirkstoff und verspürten keine Linderung.

Stelle den oben beschriebenen Sachverhalt dar, indem du alle Prozentsätze ermittelst und in die folgende Tabelle einträgst.

	Linderung	Keine Linderung	Gesamt
Tablette ohne Wirkstoff
Tablette mit Wirkstoff
Gesamt

(3 Punkte)

Eine Versuchsperson verspürt eine Linderung.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Tablette mit Wirkstoff erhalten hat.

(3 Punkte)

Lösung 1

(1)

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 \\[5pt] -x^2+6x-5 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] x^2-6x+5 &=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-5} \\[5pt] &=& 3\pm\sqrt{9-5} \\[5pt] &=& 3\pm\sqrt{4} \\[5pt] x_1&=& 5 \\[5pt] x_2&=& 1\\[5pt] \end{array}$

Die Funktion die zwei Nullstellen $x_1=5$ und $x_2=1$ .

(2)

Damit der verschobene Graph mit der $x$ -Achse nur einen gemeinsamen Punkt hat, muss der Scheitelpunkt des Graphen auf der $x$ -Achse liegen.

Da der Graph symmetrisch ist, liegt die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen, also an der Stelle $x=3.$ Mit $f(3)=-3^2+6\cdot 3-5=4$ folgt, dass der Graph um $4$ Einheiten nach unten verschoben werden muss, um nur einen gemeinsamen Punkt mit der $x$ -Achse zu haben.

Lösung 2

	Tabletten ohne Wirkstoff	Tablette mit Wirkstoff	Gesamt
Linderung	$2\,\%$	$38\,\%$	$40\,\%$
Keine Linderung	$48\,\%$	$12\,\%$	$60\,\%$
Gesamt	$50\,\%$	$50\,\%$	$100\,\%$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Tablette mit Wirkstoff handelt, unter der Bedingung, dass die Versuchsperson eine Linderung verspürt. Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit folgt:

$P(\text{Tablette mit Wirkstoff}\mid\text{Linderung})$

$\begin{array}[t]{rll} &=& \dfrac{P(\text{Wirkstoff} \cap\text{Linderung})}{P(\text{Linderung})} \\[5pt] &=& \dfrac{0,48}{0,5} \\[5pt] &=& \dfrac{0,96}{1} \\[5pt] &=& 0,96 \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $96\,\%$ hat eine Versuchsperson, die eine Linderung verspürt, eine Tablette mit Wirkstoff erhalten.