Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= \dfrac{1}{40} \cdot x^4+ \dfrac {1}{60} \cdot x^3- \dfrac {9}{10} \cdot x^2+ \dfrac {11}{8},$ $x \in \mathbb{R}.$

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen von $f$ und die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P\left(3 \,\bigg \vert \, -\dfrac{17}{4} \right).$

Abbildung

(1)

Ermittle rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ .

[Kontrollergebnis: $t: y = -\frac{9}{4} \cdot x + \frac {5}{2}.$ ]

(2)

In der Abbildung ist ein weiterer gemeinsamer Punkt $Q$ des Graphen von $f$ und der Tangente $t$ eingezeichnet.

Ermittle die Koordinaten von $Q$ .

(3)

Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Tangente $t$ mit den Koordinatenachsen sind die Eckpunkte eines Dreiecks.

Berechne den Flächeninhalt $A$ dieses Dreiecks.

(4 + 3 + 4 Punkte)

(1)

Bestimme rechnerisch alle lokalen Extremstellen von $f.$

(2)

Weise nach, dass der lokale Hochpunkt $H\left(0 \,\bigg \vert \, \dfrac{11}{8} \right)$ kein globaler Hochpunkt des Graphen von $f$ ist.

(3)

Der Definitionsbereich von $f$ wird jetzt auf das Intervall von $x = -2$ bis $x = a$ eingeschränkt. Wählt man beispielsweise $a = 5$ , so ist der lokale Hochpunkt $H$ auch der globale Hochpunkt des Graphen von $f.$

Gesucht ist nun die größte Zahl $a \gt 5$ mit den beiden folgenden Eigenschaften:

Im Intervall von $x = - 2$ bis $x = a$ ist der lokale Hochpunkt $H$ auch der globale Hochpunkt des Graphen von $f$ .
$a$ besitzt genau eine Nachkommastelle.

Ermittle $a$ .

(8 + 2 + 3 Punkte)

Aufgabe 4:

Seit einigen Jahren wird verstärkt über die Feinstaubbelastung in Städten diskutiert. An einer Messstation in einer Stadt wurde über einen längeren Zeitraum die Feinstaubkonzentration¹ aufgezeichnet.

Zur Modellierung der gemessenen Feinstaubkonzentration im Verlauf eines Tages zwischen 0:00 Uhr und 12:00 Uhr wird für $0 \leq t \leq 12$ die Funktion $f$ mit

Funktionsgleichung anzeigen

verwendet.

Dabei gibt $t$ die Uhrzeit an ( $t = 0$ entspricht 0:00 Uhr, $t = 10,5$ entspricht 10:30 Uhr usw.).
$f(t)$ ist die Feinstaubkonzentration in $\frac{\mu g}{m^3}$ zu der durch $t$ gegebenen Uhrzeit.

Der Graph von $f$ ist in der Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Die folgenden Aufgaben beziehen sich auf die durch die Funktion $f$ modellierte Feinstaubkonzentration.

Ermittle, um wie viel $\frac{\mu g}{m^3}$ die Feinstaubkonzentration zwischen 6:00 Uhr und 10:00 Uhr zunimmt.

(3 Punkte)

Ermittle rechnerisch die maximale und die minimale Feinstaubkonzentration im Zeitraum von 0:00 Uhr bis 12:00 Uhr.

[Kontrolllösung: Die maximale Feinstaubkonzentration beträgt ca. $28,94 \frac {\mu g}{m^3}$ .]

(8 Punkte)

Der Stadtrat fordert, dass ein Wert von $20 \frac {\mu g}{m^3}$ nicht überschritten werden soll.

(1)

Berechne, um wie viel Prozent die in b) ermittelte maximale Feinstaubkonzentration den Wert von $20 \frac{\mu g}{m^3}$ überschreitet.

(2)

Bestimme rechnerisch, wie lange der Wert von $20 \frac {\mu g}{m^3}$ im Zeitraum von 0:00 Uhr bis 12:00 Uhr überschritten wird.

(3 + 4 Punkte)

Im Stadtrat werden verschiedene Maßnahmenpakete zur Verringerung der Feinstaubkonzentration diskutiert:

Maßnahmenpaket A soll die Feinstaubkonzentration zu jeder Tageszeit im Vergleich zu der bisher durch $f$ modellierten Feinstaubkonzentration um $20 \,\%$ verringern.
Maßnahmenpaket B soll die Feinstaubkonzentration zu jeder Tageszeit im Vergleich zu der bisher durch $f$ modellierten Feinstaubkonzentration um $3 \frac{\mu g}{m^3}$ verringern.

Die verringerten Feinstaubkonzentrationen im Verlauf eines Tages werden im Folgenden durch Funktionen $g_A$ (Maßnahmenpaket A) und $g_B$ (Maßnahmenpaket B) modelliert. Die Funktionen $g_A$ und $g_B$ gehen jeweils durch eine Transformation aus der Funktion $f$ hervor. Die Graphen von $f, g_A$ und $g_B$ sind in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2

(1)

Gib begründet an, welcher der Funktionsgraphen zur Funktion $g_A$ und welcher zur Funktion $g_B$ gehört.

(2)

Gib für die Funktionen $g_A$ und $g_B$ jeweils eine Funktionsgleichung an.

(3 + 3 Punkte)

^[1] Feinstaub wird, abhängig von der Partikelgröße, in die drei Klassen PM 10, PM 2,5 und Ultrafeinstaub eingeteilt. In der folgenden Aufgabe wird die Konzentration von Feinstaub der Klasse PM 10 modelliert.

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Lösung 3

(1)

Der Ansatz für die Gleichung einer Tangente lautet

$t:\, y = m_t \cdot x + b_t.$

1. Steigung der Tangente mit der 1. Ableitung berechnen

$\(f$

$\(m_t = f$ $= \dfrac{1}{10}\cdot 3^3 + \dfrac{1}{20}\cdot 3^2 - \dfrac{9}{5}\cdot 3$ $= -\dfrac{9}{4}$

2. Koordinaten einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} t: \, y &=& -\dfrac{9}{4} \cdot x + b_t \quad \scriptsize \mid\; P\left(3 \mid -\dfrac{17}{4}\right) \\[5pt] -\dfrac{17}{4} &=& -\dfrac{9}{4} \cdot 3 + b_t \\[5pt] -\dfrac{17}{4} &=& -\dfrac{27}{4} + b_t \quad \scriptsize \mid\;+\frac{27}{4} \\[5pt] \dfrac{5}{2} &=& b_t \\[5pt] \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ lautet:

$t:\, y = -\dfrac{9}{4} \cdot x + \dfrac{5}{2}$

(2)

Mit dem solve-Befehl des CAS lässt sich die Gleichung $f(x)=t(x)$ lösen und anschließend die zugehörigen $y$ -Koordinaten berechnen.

Es ergeben sich $(-7,35\mid 19,03),$ $(0,68\mid 0,97)$ und $P(3\mid -4,25).$ Da der erste Punkt im negativen Bereich liegt und es sich bei dem zweiten Punkt um $P$ handelt, lauten die Koordinaten von $Q$ ungefähr $Q(0,68\mid 0,97).$

(3)

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt:

$A= \dfrac{1}{2}\cdot g \cdot h$

Da zwei der Seiten des Dreiecks auf den Koordinatenachsen liegen, befindet sich im Koordinatenursprung ein rechter Winkel.

Daher wird die Länge der Grundseite $g$ durch die Schnittstelle der Geraden $t$ mit der $x$ -Achse definiert:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -\dfrac{9}{4} \cdot x + \dfrac{5}{2} \quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{9}{4} \cdot x\\[5pt] \dfrac{9}{4} \cdot x &=& \dfrac{5}{2} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{4}{9} \\[5pt] x &=& \dfrac{10}{9} \end{array}$

Es gilt also $g= \dfrac{10}{9}.$

Analog dazu ist $h$ durch den $y$ -Achsenabschnitt der Geraden $t$ gegeben: $h= \dfrac{5}{2}.$

Für den Flächeninhalt folgt:

$A = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{10}{9} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{18}$

Der Flächeninhalt $A$ des Dreiecks beträgt $\dfrac{25}{18}$ Flächeneinheiten.

(1)

1. Notwendiges Kriterium für lokale Extremstellen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $\(f$ wenn $x_1=0$ oder $\dfrac{1}{10}\cdot x^2 + \dfrac{1}{20}\cdot x - \dfrac{9}{5} =0$ gilt. Mit der $pq$ -Formel ergibt sich:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_2 &=& -\dfrac{9}{2} \\[5pt] x_3 &=& 4 \end{array}$

2. Vorzeichenwechselkriterium überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An den Stellen $x = -\dfrac{9}{2}$ und $x=4$ liegt ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv vor, sodass es sich bei diesen beiden Stellen um lokale Minimalstellen von $f$ handelt.
An der Stelle $x=0$ liegt ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ vor, sodass es sich bei $x=0$ um eine Maximalstelle von $f$ handelt.

(2)

Es gilt beispielsweise:

$f(6) = \dfrac{199}{40} = 4,975$

Da $y_H = \dfrac{11}{8} = 1,375 \lt 4,975 = f(6)$ gilt, ist $H$ kein globaler Hochpunkt des Graphen von $f.$

(3)

Die erste Bedingung ist erfüllt, wenn $f(a) \leq f(0)= \dfrac{11}{8}$ gilt. Mit dem CAS ergeben sich für $f(x)= \dfrac{11}{8}$ die Lösungen $x_1 =0,$ $x_2 \approx -6,34$ und $x_3 \approx 5,68.$

Da $a\gt 5$ vorgegeben ist, wird nur $x_3$ betrachtet.

Es gilt: $f (5,6) \approx 0,66\lt 1,375$ und $f (5,7) \approx 1,61 \gt 1,375 .$

Also folgt $a = 5,6.$

Lösung 4

Mit dem CAS können die Funktionswerte von $f$ ermittelt werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(6) &\approx& 17,82 \\[5pt] f(10) &=& 28,6 \\[5pt] f(10)-f(6) &\approx& 28,6 - 17,82 \\[5pt] &=& 10, 78 \end{array}$

Zwischen 6:00 Uhr und 10:00 Uhr nimmt die Feinstaubkonzentration um ca. $10,78\,\frac{\mu \text g}{\text m^3}$ zu.

1. Notwendige Bedingung für lokale Extremstellen

$\(f$ $= -0,032\cdot t^3$ $+ 0,432\cdot t^2$ $- 0,94\cdot t$ $- 0,6$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich für $\(f$ die Lösungen $t_1 \approx -0,51,$ $t_2 \approx 3,47$ und $t_3 \approx 10,55.$

Es wird das Intervall $[0;12]$ betrachtet, das $t_1$ nicht beinhaltet. Es werden also nur $t_2$ und $t_3$ betrachtet.

Alle Stellen, an denen sich das gesuchte Maximum oder Minimum befinden können, sind die Intervallränder und $t_2$ und $t_3.$

2. Vergleich der Funktionswerte

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 17,6 \\[5pt] f(3,47) &\approx& 14,72 \\[5pt] f(10,55) &\approx& 28,94 \\[5pt] f(12) &\approx& 25,66 \end{array}$

Die maximale Feinstaubkonzentration im betrachteten Zeitraum beträgt also ca. $28,94\,\dfrac{\mu \text g}{\text m^3},$ die minimale ca. $14,72\,\dfrac{\mu \text g}{\text m^3}.$

(1)

$\dfrac{28,94}{20}= 1,447$

Die in b) ermittelte maximale Feinstaubkonzentration überschreitet den Wert von $20\, \dfrac{\mu \text g}{\text m^3}$ um $44,7\,\%.$

(2)

$f(t)=20$ lässt sich mit dem CAS lösen. Es ergeben sich:

$t_1 \approx 6,81,$ $t_2\approx 12,82$

$t_2$ liegt nicht im Intervall $[0;12].$ Es muss also überprüft werden, ob für die Intervalle $[0;t_1]$ und $[t_1;12]$ $f(t) \geq 20$ gilt.

Es lassen sich beispielsweise folgende Zwischenwerte ermitteln:

$f(3)\approx 14,81 \lt 20$

$f(9) \approx 26,62 \gt 20$

Der Wert von $20\, \frac{\mu \text g}{\text m^3}$ ist also von $t\approx 6,81$ bis $t=12$ und somit ca. 5,19 Stunden lang überschritten.

(1)

Graph I gehört zur Funktion $g_B.$

Graph II gehört zur Funktion $g_A.$

Der Graph der Funktion $g_B$ geht durch eine Verschiebung um 3 LE nach unten aus dem Graphen von $f$ hervor. Der vertikale Abstand des Graphen II zum Graphen von $f$ ist beispielsweise an der Stelle $t = 11$ größer als 4 LE. Damit kann Graph II nicht zur Funktion $g_B$ gehören, also gehört Graph I zu $g_B$ und Graph II zu $g_A.$

(2)

$g_A(t) = 0,8 \cdot f(t)$

$g_B(t) = f(t) -3$

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