Prüfungsteil A: Ohne Hilfsmittel

Aufgabe 1: Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=-x^3+2 \cdot x^2, x \in \mathbb{R}.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f.$

Abbildung

Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $P(1 \mid 1).$

(4 Punkte)

(1)

Gib die Koordinaten eines Punktes $A$ an, in dem der Graph von $f$ die Steigung null hat.

(2)

Gib die Koordinaten eines Punktes $B(x_B \mid y_B)$ an, sodass die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_B$ negativ ist.

(1+1 Punkte)

Aufgabe 2: Stochastik

In einer Urne befinden sich schwarze (s) und weiße (w) Kugeln, die zusäzlich entweder mit dem Buchstaben A oder dem Buchstaben B beschriftet sind. Aus der Urne wird eine Kugel gezogen. Dieses Zufallsexperiment ist in dem folgenden unvollständig beschrifteten Baumdiagramm dargestellt.

Baumdiagramm

Ermittle die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und gib diese in den Rechtecken im Baumdiagramm an.

(4 Punkte)

Von der gezogenen Kugel wird zunächst nur bekannt gegeben, dass sie mit dem Buchstaben A beschriftet ist.

Stelle einen Term für die Wahrscheinlichkeit auf, dass es sich um eine schwarze Kugel handelt.

[Eine Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist nicht erforderlich.]

(2 Punkte)

Lösung 1

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Für die Gleichung einer Tangente $t$ an dem Graphen von $f$ im Punkt $P(1 \mid 1)$ gilt:

$\(t(x)=f$

2. Schritt: Steigung bestimmen

Für die Steigung wird die erste Ableitung einer Funktion bestimmt.

Für die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -x^3+2 \cdot x^2\\[5pt] f$

Die Steigung $m$ beträgt im Punkt $P(1\mid 1)$ also $1.$

Somit ergibt sich für die Tangentengleichung:

$\(\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& f$

Damit lautet die Tangentengleichung $t(x)=x.$

(1)

An dem Graphen der Funktion $f$ lässt sich erkennen, dass an dem Punkt $A(0 \mid 0)$ die Steigung des Graphen von $f=0$ ist.

Alternativ lassen sich die Punkte, an denen $f$ die Steigung null hat, auch rechnerisch ermitteln. Dafür wird die erste Ableitung der Funktion gleich null gesetzt.

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x_1=0.$ Die zweite Lösung der Gleichung ergibt sich damit wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -3x+4&=& 0 \quad \scriptsize \mid\;+3x\\[5pt] 4&=& 3x \quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] \dfrac{4}{3}&=& x_2 \\[5pt] \end{array}$

Somit ergeben sich die Stellen $x_1=0$ und $x_2=\dfrac{4}{3}$ . Um die zugehörigen $y$ -Koordinaten zu erhalten, werden die beiden $x$ -Koordinaten in die Anfangsfunktion eingesetzt.

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -0^3+2\cdot0^2 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f\left(\dfrac{4}{3}\right)&=& -\left(\dfrac{4}{3}\right)^3+2\cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 & \\[5pt] &=& \dfrac{32}{27} \end{array}$

So ergeben sich die Punkte $A_1(0|0)$ und $A_2\left(\dfrac{4}{3}\,\bigg \vert \,\dfrac{32}{27}\right).$

(2)

Ist die Ableitung der Funktion $f$ negativ, so hat der Graph von $f$ eine negative Steigung. An der Stelle $x=2$ hat $f$ eine negative Steigung. So ergibt sich der Punkt $B(2\mid 0).$

Lösung 2

Wahrscheinlichkeiten ermitteln:

Für die Wahrscheinlichkeiten folgen mit der Gegenwahrscheinlichkeit und den Pfadregeln:

Wahrscheinlichkeiten bestimmen:

Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, dass die Kugel schwarz ist und unter der Voraussetzung, dass sie mit dem Buchstaben $A$ beschriftet ist. Somit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(s \mid A)$ gesucht.

Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit folgt:

$P(s \mid A)=\dfrac{P(A \cap s)}{P(A)}$

Für die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ folgt mit dem Satz für die totale Wahrscheinlichkeit:

$P(A)= P(A \cap s)+P(A \cap w)$

Somit ergibt sich für den Term der gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit den zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{array}[t]{rll} P(s \mid A)&=&\dfrac{P(A \cap s)}{P(A \cap s)+P(A \cap w)}\\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,18+0,2}\\[5pt] &=&\dfrac{0,18}{0,38}\\[5pt] &=&\dfrac{9}{19}\\[5pt] \end{array}$

Damit lautet der Term für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(s \mid A)=\dfrac{9}{19}.$