Prüfungsteil B: Mit Hilfsmitteln

Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4-2 \cdot x^2 +2, x \in \mathbb{R}.$

Bestimme (gerundet auf zwei Nachkommastellen) die Nullstellen der Funktion $f.$

(3 P)

Zeige rechnerisch, dass $x=2$ eine lokale Minimalstelle der Funktion $f$ ist.

(6 P)

Ausgehend von der Funktion $f$ ist eine neue Funktion $g$ mit der Gleichung

Funktion anzeigen

$g(x)=f(x)-\dfrac{3}{2}\cdot x=\, ...$

gegeben. Die Abbildung 1 auf der folgenden Seite zeigt den Graphen von $f$ , die Abbildung 2 zeigt den Graphen von $g.$

Nenne zwei Unterschiede der Graphen von $f$ und $g.$

Abbildung 1

Abbildung 2

Die Gerade $t: y=-\dfrac{3}{2}\cdot x -2$ ist die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(-2 \mid 1).$
[Hinweis: Ein Nachweis, dass $t$ die Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P$ ist, ist nicht erforderlich.]

(1)

Zeichne die Tangente $t$ in die Abbildung 2 ein.

(2)

Zeige rechnerisch, dass $t$ auch in einem weiteren Punkt $Q$ Tangente an den Graphen von $g$ ist.

(2+6 P)

Der Graph von $g$ wird nun um $2$ Einheiten nach rechts verschoben. Der verschobene Graph wird anschließend so weit nach unten verschoben, bis die Gerade $t$ in zwei Punkten Tangente an den neuen Graphen ist.

Gib an, um wie viele Einheiten der nach rechts verschobene Graph dazu nach unten verschoben werden muss, und begründe deine Angabe.

(3 P)

Aufgabe 4

Ausgehend von Daten aus einer Statistik der Vereinten Nationen kann das Durchschnittsalter der Bevölkerung in einem Land $A$ mit Hilfe der Funktion $a$ mit der Gleichung

$a(t)=\dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

modelliert werden.

Dabei ist $t$ die Zeit in Jahren seit 1950 und $a(t)$ das zugehörige Durchschnittsalter in Jahren.
Mit der Funktion $a$ können Prognosen bis zum Jahr 2030 erstellt werden.

Der Graph von $a$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

nrw zentralklausur 2017 hilfsmittel a4 analysis

Abbildung 1

Bestimme das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 1950 $(t=0)$ und den Prognosewert für das Jahr 2030 $(t=80).$

(4 P)

Ermittle rechnerisch das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030.

(8 P)

Die Entwicklung des Durchschnittsalters der Bevölkerung im Zeitraum von 2030 bis 2050 soll durch die Tangente an den Graphen von $a$ an der Stelle $t=80$ modelliert werden.

Ermittle in Abbildung 1 rechnerisch näherungsweise das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 2050.

(3 P)

In einem anderen Land $B$ stimmte für das Jahr 1950 $(t=0)$ das Durchschnittsalter der Bevölkerung nahezu mit dem Durchschnittsalter in dem Land $A$ überein. Die Rate, mit der sich das Durchschnittsalter der Bevölkerung in dem Land $B$ ändert, ist in der folgenden Abbildung 4 dargestellt.

nrw zentralklausur 2017 hilfsmittel a4 abb2

Abbildung 2

(1)

Beurteile die folgende Aussage:

Das Durchschnittsalter der Bevölkerung in dem Land $B$ wächst von 1950 bis 2030 durchgängig.

(2)

Zeichne den Graphen der Ableitungsfunktion $a‘$ in die Abbildung 4 ein und gib die Bedeutung von $a‘(t)$ im Sachzusammenhang an.

(3)

Beurteile die folgende Aussage:

Im Jahr 2020 wächst das Durchschnittsalter der Bevölkerung in dem Land $A$ schneller als in dem Land $B.$

(2+5+2 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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[3]

[4]

Lösung 3

Für die Nullstellen der Funktion $f$ folgt mit dem Grafik-Modus des CAS:

$x_1 \approx -2,61$ , $x_2 \approx -1,08$ , $x_3 \approx 1,08$ und $x_4 \approx 2,61$

Graph einer Funktion f1(x) mit einer blauen Kurve im kartesischen Koordinatensystem.

Abb. 1: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 1: Nullstelle

1. Schritt: Ableitung bestimmen

Für die Ableitungsfunktion der Funktion $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 +2 \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendiges Kiterium für Extremstellen überprüfen

Mit dem notwendigen Kriterium $\(f$ für eine lokale Extremstelle folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^2-4 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x_2 &=& 2 \\[5pt] x_3 &=& -2 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f‘(1)&=& 1^3 -4 \cdot 1 \\[5pt] &=& -3 \quad \lt 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f‘(3)&=& 3^3 -4 \cdot 3 \\[5pt] &=& 15 \quad \gt 0 \end{array}$

Somit besitzt der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle $x=2$ einen Vorzeichenwechsel von negativen zu positiven Funktionswerten. Damit ist das hinreichende Kriterium für eine lokale Minimalstelle erfüllt und der Graph der Funktion $f$ besitzt an der Stelle $x=2$ eine lokale Minimalstelle.

Es können beispielsweise die folgenden beiden Unterschiede genannt werden:

Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, wobei der Graph der Funktion $g$ keine Symmetrie aufweist.
Der Graph der Funktion $f$ besitzt vier und der Graph der Funktion $g$ insgesamt zwei Nullstellen.

(1)

(2)

Für die gemeinsamen Punkte der Tangente $t$ und dem Graphen der Funktion $g$ folgt durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:

Rechenweg anzeigen

$x_1=2; \,x_2=-2$

Dadurch besitzen die Tangente $t$ und der Graph der Funktion $g$ an den Stellen $x_1=2$ und $x_2=-2$ einen gemeinsamen Punkt.

Für eine Tangente an der Stelle $x=2$ muss außerdem gelten, dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung von $g$ an der Stelle $x_2=2$ ist. Für die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 \\[5pt] g$

Damit folgt für $\(g$ :

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Somit gilt, dass die Steigung des Graphen von $g$ an der Stelle $x_2=2$ gleich der Steigung der Tangente ist. Deshalb ist die Tangente $t$ in dem Punkt $Q(2 \mid g(2))$ auch eine Tangente an den Graphen von $g.$

Die Steigung der Tangente ist durch $-\dfrac{3}{2}$ gegeben. Da der Graph der Funktion $g$ um $2$ Einheiten nach rechts verschoben wird, muss er um $3$ Einheiten nach unten verschoben werden, damit die Verschiebung entlang der Tangente verläuft.

Lösung 4

Durchschnittsalter bestimmen

Rechenweg anzeigen

$a(0)=24$

Somit beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 1950 genau $24$ Jahre.

Prognosewert bestimmen

Rechenweg anzeigen

$a(80)=43,68$

Der Prognosewert für das Jahr 2030 beträgt ungefähr $43,7$ Jahre.

Es ist das lokale Minimum des Graphen von $a$ gesucht.

1. Schritt: Ableitung bestimmen

a'(t) anzeigen

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstllen überprüfen

Mit der notwendigen Bedingung $\(a$ für eine lokale Extremstelle folgt:

Rechenweg anzeigen

$t_1\approx 95,71;\,t_2\approx 17,03$

Hierbei gilt, dass $t_1 \approx 95,71$ nicht in dem Intervall $[0;80]$ liegt und somit keine Lösung sein kann.

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium anwenden

Rechenweg anzeigen

$\( a$

Rechenweg anzeigen

$\( a$

Daraus folgt, dass an der Stelle $x=17,3$ ein lokales Minimum des Graphen von $a$ vorliegt.

4. Schritt: Durschnittsalter bestimmen

Rechenweg anzeigen

$a(17,03)=19,69$

Somit beträgt das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030 ungefähr $19,7$ Jahre.

Anhand der Zeichnung beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung im Jahr 2050 $(t=100)$ ungefähr $50$ Jahre.

(1)

Die Aussage ist falsch, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung auch negative Funktionswerte annimmt und somit das Durchschnittsalter der Bevölkerung abnimmt.

(2)

Graph einzeichnen

Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

Die erste Ableitung einer Funktion beschreibt immer die momentane Änderungsrate der Funktionswerte. Durch $\(a$ wird also die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung von Land A zum Zeitpunkt $t$ modelliert.

(3)

Die Aussage ist wahr, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung im Jahr 2020 $(t=70)$ für das Land $A$ größer ist, als für das Land $B.$

Bildnachweise [nach oben]

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Lösung 3

Für die Nullstellen der Funktion $f$ folgt mit dem Grafik-Modus des CAS:

$x_1 \approx -2,61$ , $x_2 \approx -1,08$ , $x_3 \approx 1,08$ und $x_4 \approx 2,61$

Graph einer Funktion mit Nullstelle und Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem.

Abb. 1: Nullstellen

1. Schritt: Ableitung bestimmen

Für die Ableitungsfunktion der Funktion $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 +2 \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendiges Kiterium für Extremstellen überprüfen

Mit dem notwendigen Kriterium $\(f$ für eine lokale Extremstelle folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^2-4 &=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] x^2 &=& 4 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x_2 &=& 2 \\[5pt] x_3 &=& -2 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f‘(1)&=& 1^3 -4 \cdot 1 \\[5pt] &=& -3 \quad \lt 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f‘(3)&=& 3^3 -4 \cdot 3 \\[5pt] &=& 15 \quad \gt 0 \end{array}$

Es können beispielsweise die folgenden beiden Unterschiede genannt werden:

Der Graph der Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, wobei der Graph der Funktion $g$ keine Symmetrie aufweist.
Der Graph der Funktion $f$ besitzt vier und der Graph der Funktion $g$ insgesamt zwei Nullstellen.

(1)

(2)

Für die gemeinsamen Punkte der Tangente $t$ und dem Graphen der Funktion $g$ folgt durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen:

Rechenweg anzeigen

$x_1=2; \,x_2=-2$

Dadurch besitzen die Tangente $t$ und der Graph der Funktion $g$ an den Stellen $x_1=2$ und $x_2=-2$ einen gemeinsamen Punkt.

Für eine Tangente an der Stelle $x=2$ muss außerdem gelten, dass die Steigung der Tangente gleich der Steigung von $g$ an der Stelle $x_2=2$ ist. Für die Ableitungsfunktion der Funktion $g$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \dfrac{1}{4} \cdot x^4 -2 \cdot x^2 - \dfrac{3}{2} \cdot x +2 \\[5pt] g$

Damit folgt für $\(g$ :

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Lösung 4

Durchschnittsalter bestimmen

Rechenweg anzeigen

$a(0)=24$

Somit beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung für das Jahr 1950 genau $24$ Jahre.

Prognosewert bestimmen

Rechenweg anzeigen

$a(80)=43,68$

Der Prognosewert für das Jahr 2030 beträgt ungefähr $43,7$ Jahre.

Es ist das lokale Minimum des Graphen von $a$ gesucht.

1. Schritt: Ableitung bestimmen

a'(t) anzeigen

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstllen überprüfen

Mit der notwendigen Bedingung $\(a$ für eine lokale Extremstelle folgt:

Rechenweg anzeigen

$t_1\approx 95,71;\,t_2\approx 17,03$

Hierbei gilt, dass $t_1 \approx 95,71$ nicht in dem Intervall $[0;80]$ liegt und somit keine Lösung sein kann.

3. Schritt: Vorzeichenwechsel-Kriterium anwenden

Rechenweg anzeigen

$\( a$

Rechenweg anzeigen

$\( a$

Daraus folgt, dass an der Stelle $x=17,3$ ein lokales Minimum des Graphen von $a$ vorliegt.

4. Schritt: Durschnittsalter bestimmen

Rechenweg anzeigen

$a(17,03)=19,69$

Somit beträgt das niedrigste Durchschnittsalter der Bevölkerung im Zeitraum von 1950 bis 2030 ungefähr $19,7$ Jahre.

Anhand der Zeichnung beträgt das Durchschnittsalter der Bevölkerung im Jahr 2050 $(t=100)$ ungefähr $50$ Jahre.

(1)

Die Aussage ist falsch, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung auch negative Funktionswerte annimmt und somit das Durchschnittsalter der Bevölkerung abnimmt.

(2)

Graph einzeichnen

Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

(3)

Die Aussage ist wahr, da die Änderungsrate des Durchschnittsalters der Bevölkerung im Jahr 2020 $(t=70)$ für das Land $A$ größer ist, als für das Land $B.$

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