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Lerninhalte in Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis

Quadratische Gleichungen lösen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform

Eine quadratische Gleichung in Normalform \(x^2+px+q=0\) hat die Lösungen \(x_1=-\dfrac{p}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}\) und \(x_2=-\dfrac{p}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}.\)
Die Anzahl der Lösungen hängt von der Diskriminante \(D=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q\) ab. Die quadratische Gleichung hat
  • zwei Lösungen für \(D\gt 0.\)
  • eine Lösung \(x=-\dfrac{p}{2}\) für \(D=0.\)
  • keine Lösung für \(D\lt 0.\)

Allgemeine quadratische Gleichungen lösen

Die allgemeine quadratische Gleichung der Form \(ax^2+bx+c=0\) mit \(a\neq 0\) kann gelöst werden, indem sie zunächst in Normalform \(x^2+px+q=0\) umgeformt wird. Die resultierende Gleichung \(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\) kann anschließend mit der quadratischen Ergänzung oder der Lösungsformel gelöst werden.

Strategie zum Lösen quadratischer Gleichungen

Jede quadratische Gleichung kann in die Form \(x^2+px+q=0\) gebracht werden. Dann gibt es drei verschiedene Fälle:
  • \(\boldsymbol{p=0}:\)
    \(x^2\) isolieren:
    \(\begin{array}[t]{rll} x^2&=& -q \\ x=\sqrt{-q} &\text{oder}& x=-\sqrt{-q} \end{array}\)
  • \(\boldsymbol{q=0}:\)
    Faktorisieren:
    \(\begin{array}[t]{rll} x(x+p)&=& 0 \\ x=0 &\text{oder}& x=-p \end{array}\)
  • \(\boldsymbol{p\neq 0,\, q\neq 0}:\)
    Quadratisches Ergänzen oder Lösungsformel anwenden