Teil B

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$

1.1

Gib den Funktionswert für $x=1$ sowie das Argument für den Funktionswert $2$ an.

(2 BE)

1.2

Berechne die Größe des Winkels $\alpha.$

(2 BE)

1.3

Der Graph der linearen Funktion $g$ schneidet den Graphen von $f$ senkrecht im Punkt $(4\mid 4).$

Zeichne den Graphen von $g$ in die Abbildung ein.
Gib eine Funktionsgleichung für $g$ an.

(3 BE)

1.4

Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h$ und $k$ mit $h(x)=3 \cdot x+225$ sowie $k(x)=\dfrac{3}{4} \cdot x+162.$

(2 BE)

Antons Klasse macht eine Klassenfahrt.

2.1

Zur Vorbereitung eines Spielenachmittags haben alle 24 Schüler der Klasse ihr Lieblingsspiel angegeben. Dabei nannten 12 Schüler das Spiel UNO, 8 Monopoly und 4 Skat.

Stelle die Anteile der genannten Lieblingsspiele in einem Kreisdiagramm dar.

(2 BE)

2.2

Am Spielenachmittag spielt Anton mit Freunden UNO. Ein UNO-Spiel hat insgesamt 108 Karten; davon sind 8 Farbwahlkarten. Die Karten werden einzeln nacheinander zufällig ausgeteilt.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die erste ausgeteilte Karte eine Farbwahlkarte ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Die erste ausgeteilte Karte ist keine Farbwahlkarte und die zweite ausgeteilte Karte ist eine Farbwahlkarte“.

(3 BE)

2.3

Anton hat an den vier Tagen der Klassenfahrt von seinem Taschengeld folgende Beträge ausgegeben:

1.Tag: $3,85 \,€$
2.Tag: $1,92\,€$
3.Tag: $5,76\,€$
4.Tag: $12,44\,€$

Gib die Bedeutung des Terms $\dfrac{1}{4} \cdot(3,85+1,92+5,76+12,44)$ im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Das Hotel The Westin, das City-Hochhaus und das Wintergartenhochhaus gehören zur Skyline von Leipzig.

3.1

Die Abbildung zeigt vereinfacht die Seitenfläche $A B C D$ des City-Hochhauses.

Ein Koordinatensystem wird so in diese Seitenfläche gelegt, dass der Koordinatenursprung im Punkt $A$ liegt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $10 \mathrm{~m}$ in der Realität. Die Profillinie von $D$ nach $C$ wird näherungsweise durch den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=0,2066 \cdot x^2+12,0$ $\quad(x \in \mathbb{R} ; 0 \leq x \leq 3,3)$ beschrieben.

Die Profillinie des Bodens verläuft entlang der $x$ -Achse.

Zeige, dass die maximale Höhe der Seitenfläche etwa $142,5\,\text{m}$ beträgt.

Gib die Höhe des Punktes $D$ über dem Boden an.

Ermittle einen Näherungswert für den Flächeninhalt der Seitenfläche.

(5 BE)

3.2

Das City-Hochhaus ist für seine Treppenläufe bekannt. Dabei müssen die Läufer 700 Stufen überwinden. Falk und Nina nehmen am Treppenlauf teil.

3.2.1

Die Tabelle gibt für Falk die Anzahl der überwundenen Stufen zu unterschiedlichen Zeiten an.

Zeit in Minuten	$0$	$1$	$2$
Anzahl der überwundenen Stufen	$0$	$158$	$291$

Begründe anhand der Tabellenwerte, dass die Anzahl der überwundenen Stufen nicht linear wächst.

(1 BE)

3.2.2

Die Funktion $N$ mit $N(t)=-750 \cdot \mathrm{e}^{-0,3 \cdot t}+750 \quad(t \in \mathbb{R}, t \geq 0)$ beschreibt für Nina näherungsweise die Anzahl der nach dem Start überwundenen Stufen zur Zeit $t$ ( $t$ in Minuten).

Ermittle, nach welcher Zeit Nina alle 700 Stufen bewältigt hat.

Bestimme die Anzahl der von Nina überwundenen Stufen 6 Sekunden nach dem Start.

(4 BE)

3.3

Die Abbildung zeigt die Fußpunkte vom Hotel The Westin $(T),$ vom City-Hochhaus $(H)$ und vom Wintergartenhochhaus $(W)$ auf dem ebenen Boden.

3.3.1

Berechne die Größe des Winkels $\sphericalangle W H T.$

(2 BE)

3.3.2

Senkrecht über dem Fußpunkt des Wintergartenhochhauses (W) befindet sich auf dem Dach in $95\,\text{m}$ Höhe über dem Boden der Punkt $P.$ Von $P$ aus sieht man in einer Entfernung von $233\,\text{m}$ die höher gelegene Spitze $S$ der Antenne des City-Hochhauses, welche sich senkrecht über dem Fußpunkt des City-Hochhauses $(H)$ befindet.

Berechne die Höhe der Spitze $S$ über dem Boden.

(3 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

$f(1)=-2,$ der Funktionswert an der Stelle $x=1$ beträgt also $y=-2.$

$f(3)=2,$ das Argument für den Funktionswert $y=2$ ist folglich durch $x=3$ gegeben.

1.2

Hilfsskizze

Mithilfe eines Steigungsdreiecks wie in der Skizze oben kann der Winkel $\alpha$ wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& \dfrac{a}{c} \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{6}{3} \\[5pt] \tan(\alpha)&=& 2\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 63,4^{\circ} \end{array}$

1.3

Graph von $g$

Die Steigung der Geraden $g$ kann mit Hilfe eines Steigungsdreiecks bestimmt werden:

$m_g = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Der $y$ -Achsenabschnitt kann abgelesen werden: $b_g = 6$

Die Funktionsgleichung von $g$ lautet $g(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x+6.$

1.4

Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:

$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& k(x) \\[5pt] 3\cdot x+225 &=& \dfrac{3}{4}\cdot x+162 \quad \scriptsize \mid\; -225 \\[5pt] 3\cdot x &=& \dfrac{3}{4}\cdot x -63 \quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{3}{4}\cdot x \\[5pt] \dfrac{9}{4}\cdot x &=& -63 \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{4}{9}\\[5pt] x &=& -28 \end{array}$

Mit $h(-28)=3\cdot (-28)+225=141$ ergeben sich die Koordinten des Schnittpunkts: $(-28\mid 141)$

2.1

2.2

Wahrscheinlichkeit angeben, dass die erste ausgeteilte Karte eine Farbwahlkarte ist

$P(\text{Farbwahlkarte})=\dfrac{8}{108}=\dfrac{2}{27}$

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bestimmen

$P(\text{Ereignis})=\dfrac{100}{108}\cdot \dfrac{8}{107}=\dfrac{800}{11556}=\dfrac{200}{2889}$

2.3

Der Term gibt den Wert an, den Anton an einem Tag im Durchschnitt ausgegeben hat.

3.1

Zeigen, dass maximale Höhe $\boldsymbol{142,5}$ m beträgt

Der höchste Punkt der Seitenfläche wird durch den Punkt $C$ beschrieben. Die $x$ -Koordinate von $C$ ist $3,3.$ Für den zugehörigen Funktionswert gilt:

$f(3,3)=0,2066\cdot 3,3^2+12,0\approx 14,25$

Da eine Längeneinheit im Koordinatensystem $10\,\text{m}$ in der Realität entspricht, beträgt die maximale Höhe der Seitenfläche $142,5\,\text{m}.$

Höhe des Punktes $\boldsymbol D$ über dem Boden angeben

$f(0)=12,0$

Der Punkt $D$ befindet sich somit $120\,\text{m}$ über dem Boden.

Näherungswert für den Flächeninhalt ermitteln

Die Seitenfläche kann wie in der Skizze unten unterteilt werden.

Hilfsskizze

Der Flächeninhalt des Rechtecks $ABDE$ lässt sich wie folgt berechnen:

$A_{ABDE}=120\,\text{m}\cdot 33\,\text{m}=3960\,\text{m}^2$

Die Fläche $CDE$ kann näherungsweise als Dreieck betrachtet werden. Für den Flächeninhalt gilt dann:

$\begin{array}[t]{rll} A_{CDE}&\approx& \dfrac{1}{2}\cdot 33\,\text{m}\cdot (142,5\,\text{m}-120\,\text{m}) \\[5pt] &=& 371,25\,\text{m}^2 \end{array}$

Der Flächeninhalt der gesamten Seitenfläche kann näherungsweise wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{ABDE}+A_{CDE} \\[5pt] &\approx& 3960\,\text{m}^2+371,25\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 4331,25\,\text{m}^2 \end{array}$

3.2.1

Würde die Anzahl der überwundenen Stufen linear wachsen, müsste in jeder Minute die gleiche Anzahl an Stufen überwunden werden. Nach zwei Minuten entspräche dies $158+158=316$ Stufen und damit mehr als tatsächlich überwunden wurden.

3.2.2

Ermitteln, nach welcher Zeit Nina $\boldsymbol{700}$ Stufen bewältigt hat

Gesucht ist die Lösung der Gleichung $N(t)=700:$

$\begin{array}[t]{rll} -750\cdot \mathbb e^{-0,3\cdot t}+750&=& 700 \quad \scriptsize \mid\; -750 \\[5pt] -750\cdot \mathbb e^{-0,3\cdot t}&=& -50 \quad \scriptsize \mid\; :(-750) \\[5pt] \mathbb e^{-0,3\cdot t}&=& \dfrac{1}{15} \quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] -0,3\cdot t&\approx& -2,7 \quad \scriptsize \mid\; :(-0,3) \\[5pt] t&\approx& 9 \end{array}$

Nach $9$ Minuten hat Nina alle $700$ Stufen bewältigt.

Anzahl überwundender Stufen nach $6$ Sekunden ermitteln

$6$ Sekunden entsprechen $\dfrac{1}{10}$ Minuten.

$N\left(\dfrac{1}{10}\right)=-750\cdot \mathbb e^{-0,3\cdot \frac{1}{10}}+750\approx 22,2$

$6$ Sekunden nach dem Start hat Nina $22$ Stufen überwunden.

3.3.1

Mit dem Sinussatz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{380}{\sin(98^{\circ})}&=& \dfrac{275}{\sin(\sphericalangle WHT)} \quad \scriptsize \mid\; ()^{-1} \\[5pt] \dfrac{\sin(98^{\circ})}{380}&=& \dfrac{\sin(\sphericalangle WHT)}{275} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 275 \\[5pt] \dfrac{\sin(98^{\circ})}{380}\cdot 275&=& \sin(\sphericalangle WHT)\\[5pt] 0,72&\approx& \sin(\sphericalangle WHT) \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] 46^{\circ}&\approx& \sphericalangle WHT \end{array}$

Der Winkel $\sphericalangle WHT$ beträgt ungefähr $46^{\circ}.$

3.3.2

Gesucht ist die Länge der Strecke $\overline{HS}$ in der Abbildung unten.

Hilfsskizze

Die Länge der Strecke $\overline{HQ}$ beträgt dabei $95\,\text{m}.$ Die Länge der Strecke $\overline{QS}$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 225^2+\overline{QS}^2&=& 233^2 \quad \scriptsize \mid\; -225^2 \\[5pt] \overline{QS}^2&=& 233^2-225^2 \\[5pt] \overline{QS}^2&=& 3664 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \overline{QS}&\approx& 60,5 [\text{m}] \end{array}$

Damit gilt für die Länge der Strecke $\overline{HS}:$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{HS}&=& \overline{HQ}+\overline{QS} \\[5pt] &=& 95\,\text{m}+ 60,5\,\text{m} \\[5pt] &=& 155,5\,\text{m} \end{array}$

Die Spitze $S$ befindet sich auf einer Höhe von ungefähr $155,5\,\text{m}.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?