Teil A

In den Aufgaben 1 bis 6 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

$11\,\%$ von $2\,500\,€$ sind

	$110\,€$
	$220\,€$
	$250\,€$
	$255\,€$
	$275\,€$

(1 BE)

Welche Funktion besitzt keine Nullstelle?

	$y=-3\cdot x+1$ $\quad(x\in \mathbb{R})$
	$y = -x^2+1$ $\quad(x\in \mathbb{R})$
	$y = \sqrt{x}+1$ $\quad(x\in \mathbb{R}, x\geq 0)$
	$y = \dfrac{1}{x} +1$ $\quad(x\in \mathbb{R}, x\neq 0)$
	$y = \sin(x+1)$ $\quad(x\in \mathbb{R})$

(1 BE)

Welche Funktion besitzt für $x\in \mathbb{R}$ die kleinste Periode $\pi?$

	$y= \pi\cdot \sin x$
	$y = \sin(\pi\cdot x)$
	$y =2\cdot \sin x$
	$y = \sin (2\cdot x)$
	$y = \sin (x+\pi)$

(1 BE)

Im Dreieck $ABC$ (siehe Abbilung) gilt für den Winkel $\beta:$

	$\sin \beta = \dfrac{3}{4}$
	$\sin \beta = \dfrac{4}{5}$
	$\cos \beta = \dfrac{3}{5}$
	$\tan \beta = \dfrac{3}{4}$
	$\tan \beta = \dfrac{4}{3}$

(1 BE)

Die Kugel $K$ besitzt das Volumen $V_1.$ Das Volumen $V_2$ der Kugel $K_2$ mit doppelt so großem Radius wie $K_1$ beträgt:

	$V_2 = 2\cdot V_1$
	$V_2 = 3\cdot V_1$
	$V_2 = 4\cdot V_1$
	$V_2 = 8\cdot V_1$
	$V_2 = 9\cdot V_1$

(1 BE)

Eine Person wählt aus den natürlichen Zahlen von $1$ bis $25$ eine Zahl zufällig aus.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese gewählte Zahl gerade und durch $3$ teilbar ist, beträgt:

	$\dfrac{1}{25}$
	$\dfrac{4}{25}$
	$\dfrac{8}{25}$
	$\dfrac{12}{25}$
	$\dfrac{16}{25}$

(1 BE)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)= 2^x -2$ $(x\in \mathbb{R}).$

7.1

Gib die Nullstelle der Funktion $f$ an.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an.

(2 BE)

7.2

Untersuche, ob der Punkt $P\left(-2\mid -\frac{1}{4}\right)$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegt.

(2 BE)

7.3

Der Graph der Funktion $g$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $y$ -Achse.
Gib eine Gleichung der Funktion $g$ an.

(1 BE)

Die Punkte $C$ und $D$ liegen auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ (siehe Abbildung).
Berechne die Größe des Winkels $\beta.$

Abbildung (nicht maßstäblich)

(2 BE)

Löse die Gleichung $-\dfrac{3}{2}\cdot \left(2-\dfrac{4}{3}\cdot x \right) +2\cdot x = 7$ für $x\in \mathbb{R}.$

(2 BE)

$10\, \%$ von $2500 €: \dfrac{2\,500}{10}€=250 €$

$1 \,\%$ von $2500 €: \dfrac{2\,500}{100}€=25 €$

$11\,\%$ von $2500 €: 250 €+25 €=275 €$

Die letzte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

Aufgrund der Wurzel kann die dritte angegebene Funktion $y = \sqrt{x} +1$ nur Werte annehmen, die größer oder gleich $1$ sind.

Die dritte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

Eine Funktion der Form $y = a\cdot \sin\left(b\cdot (x+c)\right) + d$ besitzt die Periode $p = \dfrac{2\pi}{\left|b\right|}.$

Die vierte angegebene Funktion $y= \sin(2x)$ besitzt die Periode $\dfrac{2\pi}{ 2} = \pi.$ Dies entspricht der Funktion mit der kleinsten Periode $\pi.$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

Das angegebene Dreieck ist rechtwinklig. Dafür gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{5}\\[10pt] \cos \beta&=& \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{5}\\[10pt] \tan \beta &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4}\\[10pt] \end{array}$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

Bezeichnen wir den Radius der Kugel $K_1$ mit $r_1$ und den von $K_2$ mit $r_2,$ dann gilt $r_2= 2\cdot r_1.$ Mit der Volumenformel einer Kugel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_1 ^3 \\[10pt] V_2&=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_2^3 \quad \scriptsize \mid\; r_2 = 2\cdot r_1 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(2\cdot r_1\right)^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot 8\cdot r_1^3 \\[5pt] &=& 8\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi \cdot r_1^3 \\[5pt] &=& 8\cdot V_1 \end{array}$

Die vierte Antwortmöglichkeit ist die richtige.

Von den natürlichen Zahlen von $1$ bis $25$ sind folgende Zahlen gerade und durch $3$ teilbar:

$6,$ $12,$ $18$ und $24$

Die Wahrscheinlichkeit, eine solche Zahl zu ziehen, beträgt also:

$p = \dfrac{4}{25}$

Die zweite Antwortmöglichkeit ist die richtige.

7.1

Nullstellen angeben

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] 2^x-2&=&0 \quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 2^x&=& 2 \\[5pt] x&=& 1 \end{array}$

Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x=1.$

Koordinaten des Schnittpunkts angeben

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2^0 -2 \\[5pt] &=&1-2 \\[5pt] &=&-1 \\[5pt] \end{array}$

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid -1).$

7.2

$\begin{array}[t]{rll} f(-2)&=& 2^{-2}-2 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2^2}-2\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4}-2\\[5pt] &=& - \dfrac{7}{4} \\[5pt] &\neq & -\dfrac{1}{4} \end{array}$

Der Punkt $P$ liegt also nicht auf dem Graphen von $f,$ da $f(-2) \neq -\frac{1}{4}$ ist.

7.3

Eine Spiegelung des Graphen von $f$ entsteht durch ein negatives Vorzeichen vor dem $x:$

$g(x)= f(-x) = 2^{-x}-2$

Eine mögliche Funktionsgleichung von $g$ lautet $g(x)= 2^{-x}-2.$

Da die Winkelsumme eines Dreiecks immer $180^{\circ}$ beträgt, folgt für $\alpha:$

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=& 90^{\circ}+40^{\circ} +20^{\circ} +\alpha \\[5pt] 180^{\circ}&=& 150^{\circ} +\alpha \quad \scriptsize \mid\; -150^{\circ}\\[5pt] 30^{\circ}&=& \alpha\\[5pt] \end{array}$

Wegen des Satz des Thales besitzt das Dreieck $ABC$ bei $C$ ebenfalls einen rechten Winkel. Mit der Winkelsumme ergibt sich daher:

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=& 90^{\circ}+30^{\circ} +20^{\circ} +\beta \\[5pt] 180^{\circ}&=& 140^{\circ} +\beta \quad \scriptsize \mid\; -140^{\circ}\\[5pt] 40^{\circ}&=& \beta\\[5pt] \end{array}$

Der Winkel $\beta$ ist $40^{\circ}$ groß.

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{3}{2}\cdot \left(2-\dfrac{4}{3}\cdot x \right)+2\cdot x &=& 7 \\[5pt] -\dfrac{3}{2}\cdot 2 -\dfrac{3}{2} \cdot \left(- \dfrac{4}{3}\cdot x\right)+2\cdot x&=&7 \\[5pt] -3 +2\cdot x+2\cdot x&=& 7 \\[5pt] -3 +4\cdot x&=&7 \quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] 4\cdot x&=& 10 \quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] x&=&\dfrac{5}{2} \end{array}$

Die Lösung der Gleichung ist $x =\frac{5}{2}.$