Teil B

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $y= f(x)= 3\cdot 2^x -1$ $(x\in \mathbb{R}).$

1.1

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse.
Gib den Wertebereich von $f$ an.

(3 BE)

1.2

Ermittle das Argument zum Funktionswert $47.$

(2 BE)

1.3

Der Punkt $A\left(-2\mid -\frac{7}{8}\right)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $g$ mit

$y = g(x) = a \cdot 2^x-1$ $(x\in \mathbb{R}; a\in \mathbb{R}).$

Bestimme den Wert von $a.$

(2 BE)

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB} = 6 , 8\,\text{cm} ,$ $\overline{AC} = 6 , 0\,\text{cm}$ und $\sphericalangle BAC = 43 , 0 ^{\circ}.$
Der Punkt $M$ ist Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks $ABC$ (siehe Abbildung).

Abbildung (nicht maßstäblich)

2.1

Berechne die Länge der Seite $\overline{BC}.$

(2 BE)

2.2

Die Größe des Winkels $\sphericalangle ACM$ beträgt $31,0 ^{\circ}.$
Zeige, dass gilt: $\overline{MC} \approx 3,5\,\text{cm}.$

(3 BE)

2.3

Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhaltes des Dreiecks $ABC$ am Flächeninhalt seines Umkreises.

(3 BE)

Ein Smartphonehersteller entwickelt ein neues Modell.

3.1

Ein herausragendes Produktmerkmal dieses Smartphones wird die kurze Ladedauer seines Akkus sein. Die Funktion $t$ mit $t(r)= -0,0075\cdot r^2 +75$ $(r\in \mathbb{R},0\leq r\leq 100)$ beschreibt in Abhängigkeit von der Restkapazität $r$ des Akkus zu Ladebeginn die Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus.

Dabei gilt:
$r$ ... Restkapazität des Akkus zu Ladebeginn in Prozent
$t(r)$ ... Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus in Minuten bei der Restkapazität $r$

3.1.1

Die Restkapazität eines Akkus dieses Smartphonemodells beträgt $20\,\%.$
Zeige, dass die Zeit bis zum vollständigen Aufladen dieses Akkus $72$ Minuten beträgt.

(2 BE)

3.1.2

Ein Akku dieses Smartphonemodells wird innerhalb einer halben Stunde vollständig aufgeladen.
Ermittle die Restkapazität des Akkus zu Ladebeginn.

(3 BE)

3.1.3

Bestimme die Nullstelle der Funktion $t.$
Interpretiere den Wert dieser Nullstelle im Sachzusammenhang.

(3 BE)

3.2

Das neue Smartphonemodell wird in den Farben Silber und Weiß produziert.
Eine Prognose des Herstellers besagt, dass dieses Modell in $60\,\%$ aller Käufe von weiblichen und in $40\,\%$ aller Käufe von männlichen Käufern erworben wird. $80\,\%$ der weiblichen Käufer kaufen ein weißes Smartphone, $90\,\%$ aller männlichen Smartphonekäufer ein silbernes.

Ermittle aufgrund dieser Prognose, wie hoch der Anteil weißer Smartphones an der Gesamtanzahl verkaufter Smartphones sein wird.

(3 BE)

3.3

Die Bildschirmdiagonale des neuen Smartphonemodells beträgt $4,5\,\text{Zoll}$ $(1\,\text{Zoll}$ entspricht $2,54\,\text{cm}).$

3.3.1

Zeige, dass die Bildschirmdiagonale dieses Smartphonemodells $11,43\,\text{cm}$ beträgt.

(2 BE)

3.3.2

Der rechteckige Bildschirm wird das Format $16 : 9$ haben.
Ermittle die Höhe und die Breite des Bildschirms.

(2 BE)

1.1

Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 3\cdot 2^0 -1 \\[5pt] &=& 3\cdot 1 -1\\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 2).$

Wertebereich angeben

Da $3\cdot 2^x$ niemals negativ werden kann, sich für große negative Werte von $x$ aber Null annähert, sind alle Funktionswerte von $f$ größer als $-1.$ Für große positive Werte von $x$ werden auch die Funktionswerte größer. Insgesamt ist der Wertebereich daher:

$W_f =$ $\{y\mid y\in \mathbb{R}, y\gt -1 \}$

1.2

Mit dem solve-Befehl des CAS kann die Gleichung $f(x)=47$ gelöst werden:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 47 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& 4 \end{array}$

Das Argument zum Funktionswert $47$ ist $x=4.$

1.3

Die Koordinaten von $A$ müssen die Funktionsgleichung erfüllen. Einsetzen der Koordinaten liefert:

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{7}{8}&=& g(-2) \\[5pt] -\dfrac{7}{8}&=& a\cdot 2^{-2} -1 \quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] \dfrac{1}{8} &=& a\cdot \dfrac{1}{4} \quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=& a \end{array}$

2.1

Mit dem Kosinussatz gilt:

Rechenweg anzeigen

$\overline{BC}\approx 4,7\,\text{cm}$

Die Seite $\overline{BC}$ ist ca. $4,7\,\text{cm}$ lang.

2.2

Da $A$ und $C$ auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ liegen, gilt $\overline{AM} = \overline{MC}$ und das Dreieck $AMC$ ist folglich gleichschenklig.
Nach dem Basiswinkelsatz gilt daher auch $\sphericalangle ACM=\sphericalangle MAC=31,0^{\circ}.$
Weiter folgt $\sphericalangle CMA =180^{\circ}-2\cdot 31,0^{\circ}=118,0^{\circ}.$

Skizze

Mit dem Sinussatz gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\sin \sphericalangle CMA}&=& \dfrac{\overline{MC}}{\sin \sphericalangle MAC} \\[5pt] \dfrac{6,0\,\text{cm}}{\sin 118,0^{\circ}}&=& \dfrac{\overline{MC}}{\sin 31^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin 31^{\circ} \\[5pt] \dfrac{6,0\,\text{cm}}{\sin 118^{\circ}}\cdot \sin 31^{\circ}&=& \overline{MC} \\[5pt] 3,5\,\text{cm} &\approx& \overline{MC} \\[5pt] \end{array}$

Es gilt also $\overline{MC}\approx 3,5\,\text{cm}.$

2.3

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

Verwende die alternative Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Damit erhältst du im vorliegenden Fall:

$\begin{array}[t]{rll} A_D&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin \sphericalangle BAC \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 6,8\,\text{cm} \cdot 6,0\,\text{cm}\cdot \sin 43^{\circ} \\[5pt] &=& 20,4\cdot \sin 43^{\circ}\,\text{cm}^2 \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt des Kreises berechnen

Der Radius des Umkreises beträgt $r=\overline{MC}\approx 3,5\,\text{cm}.$ Mit der Flächenformel eines Kreises folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_K&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &\approx& \pi \cdot (3,5\,\text{cm})^2 \\[5pt] &=& 12,25\cdot \pi\,\text{cm}^2 \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_D}{A_K}&=& \dfrac{20,4\cdot \sin 43^{\circ}\,\text{cm}^2 }{12,25\cdot \pi\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 0,36 \\[5pt] &=& 36\,\% \\[5pt] \end{array}$

Der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks $ABC$ am Flächeninhalt seines Umkreises beträgt ca. $36\,\%.$

3.1.1

Die Funktion $t$ beschreibt die Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus in Minuten bei der Restkapazität $r.$ Für $r=20$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t(20)&=& -0,0075\cdot 20^2 +75 \\[5pt] &=& 72 \end{array}$

Also benötigt ein Akku des Smartphonemodells mit einer Restkapazität von $20\,\%$ noch $72$ Minuten.

3.1.2

Gesucht ist $r$ mit $t(r)=30,$ da die Zeit bis zum vollständigen Aufladen $30$ Minuten beträgt.

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t(r)&=& 30 \quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] r&\approx& 77,5 \end{array}$

Ein Akku, der noch eine halbe Stunde bis zum vollständigen Aufladen benötigt, hat eine Restkapazität von ca. $77,5\,\%.$

3.1.3

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t(r)&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] r&=& 100 \end{array}$

Die Nullstelle von $t$ ist $r=100.$ Wenn der Akku also eine Restkapazität von $100\,\%$ hat, und damit voll aufgeladen ist, beträgt die Zeit bis zum vollständigen Aufladen des Akkus $0$ Minuten, da der Akku bereits voll aufgeladen ist.

3.2

Zur Übersicht kann es hilfreich sein, ein Baumdiagramm zu zeichnen. Mit den Pfadregeln folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Weiß})&=& 0,6\cdot 0,8 + 0,4\cdot 0,1 \\[5pt] &=& 0,52 \\[5pt] &=& 52\,\% \end{array}$

Laut Prognose beträgt der Anteil der weißen Smartphones an der Gesamtzahl aller verkauften Smartphones $52\,\%.$

3.3.1

Die Bildschrimdiagonale des Smartphones beträgt $4,5\,\text{Zoll}.$ Ein Zoll entspricht laut Aufgabenstellung $2,54\,\text{cm}.$

$4,5\cdot 2,54\,\text{cm} = 11,43\,\text{cm}$

Die Bildschirmdiagonale beträgt also $11,43\,\text{cm}.$

3.3.2

Das Format $16:9$ gibt an, dass wenn die Breite des Bildschirms $9x$ beträgt, die Höhe des Bildschirms dann $16x$ beträgt. Die Bildschirmdiagonale beträgt $11,43\,\text{cm}$ nach Teilaufgabe 3.3.1. Aufgrund des Sachverhalts ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck.

Skizze

Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$\begin{array}[t]{rll} (11,43\,\text{cm})^2&=& (9x)^2 +(16x)^2 \\[5pt] 11,43^2\,\text{cm}^2&=& 337x^2 \quad \scriptsize \mid\; : 337 \\[5pt] \dfrac{11,43^2}{337}\,\text{cm}^2&=& x^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm}&=& x \\[5pt] \end{array}$

Für die Breite und die Höhe folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} b&=& 9x \\[5pt] &=& 9\cdot \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 5,6\,\text{cm} \\[10pt] h&=& 16x \\[5pt] &=& 16\cdot \sqrt{\dfrac{11,43^2}{337}}\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 10,0\,\text{cm} \\[10pt] \end{array}$

Die Breite des Smartphonebildschirms beträgt ca. $5,6\,\text{cm},$ die Höhe ca. $10,0\,\text{cm}.$