Teil B

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$y = f(x)= \dfrac{2}{x^2}$ $\left(x \in D_f\right)$ und $y =g(x)= -\dfrac{1}{2}\cdot x +\dfrac{3}{2}$ $\left(x\in \mathbb{R}\right).$

Die Punkte $S_1$ und $S_2\left(2\mid \frac{1}{2}\right)$ sind die beiden gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen $f$ und $g.$

1.1

Gib den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion $f$ an.

(1 BE)

1.2

Zeige, dass der Punkt $S_1$ die Koordinaten $S_1(-1\mid 2)$ besitzt.

(2 BE)

1.3

Berechne den Abstand der Punkte $S_1$ und $S_2.$

(2 BE)

1.4

Der Punkt $A$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt $S_1$ auf die $x$ -Achse.
Der Punkt $B$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt $S_2$ auf die $x$ -Achse.

Ermittle den Flächeninhalt des Trapezes $ABS_2S_1.$

(2 BE)

1.5

Der Graph einer linearen Funktion $h$ verläuft parallel zum Graphen der Funktion $g.$
Der Punkt $C(2\mid 1)$ liegt auf dem Graphen von $h.$

Bestimme eine Gleichung dieser Funktion $h.$

(2 BE)

Ein Pfeiler ist $3,60\,\text{m}$ hoch und besitzt die Form eines geraden Prismas. Die Grundfläche dieses Prismas ist das unregelmäßige Dreieck $ABC.$
Für die Grundfläche gilt: $\overline{AB}= 0,80\,\text{m},$ $\sphericalangle BAC = 48^{\circ}$ und $\sphericalangle CBA= 30^{\circ}.$

2.1

Zeige rechnerisch, dass die Seite $\overline{AC}$ der Grundfläche die Länge $0,41\,\text{m}$ besitzt.

(2 BE)

2.2

Der Pfeiler besteht aus Stahl. Ein Kubikmeter dieses Stahls besitzt eine Masse von $7,85$ Tonnen.
Bestimme die Masse des Pfeilers.

(3 BE)

Ein rechteckiges Handballspielfeld wird von $40,00\,\text{m}$ und $20,00\,\text{m}$ langen Spielfeldlinienbegrenzt. Die $3,00\,\text{m}$ langen Torlinien liegen mittig auf den kürzeren Spielfeldlinien (siehe Abbildung).
Die Breite aller Spielfeldlinien wird vernachlässigt.

Abbildung (nicht maßstäblich)

3.1

Jeder der beiden Torräume wird von einer Torraumlinie begrenzt, die wie folgt festgelegt ist:
Um die Endpunkte der Torlinie wird jeweils ein Kreisbogen (Viertelkreis) mit einem Radius von $6,00\,\text{m}$ gezogen bis er auf eine Strecke trifft, die in einem Abstand von $6,00\,\text{m}$ parallel zur Torlinie verläuft.

Berechne den prozentualen Anteil der Fläche der beiden Torräume an der Gesamtfläche des Handballspielfeldes.

(4 BE)

3.2

Ein Torwart wirft einen Ball. Die Ausdehnung des Balls wird vernachlässigt. Um die Flugbahn dieses Balls zu beschreiben, wird ein Koordinatensystem ( $1$ Längeneinheit entspricht $1$ Meter) festgelegt.
Der Koordinatenursprung befindet sich im Mittelpunkt der in der Abbildung dargestellten linken Torlinie. Die Mittelpunkte beider Torlinien liegen auf der $x$ -Achse. Die $y$ -Achse verläuft senkrecht zum Spielfeld.
Die Flugbahn des Balls wird durch einen Teil des Graphen der Funktion $f$ mit

$y = f(x)= -0,01\cdot x^2 +0,30\cdot x +1,60$ $(x\in \mathbb{R}, x\geq 2)$

beschrieben.
Der $y$ -Wert gibt die jeweilige Höhe des Balls über dem Spielfeld an.
Der Torwart wirft den Ball im Punkt $A(2,00\mid f(2,00))$ ab.

3.2.1

Gib an, in welcher Höhe über dem Spielfeld der Torwart den Ball abwirft.
Bestimme die größte Höhe des Balls über dem Spielfeld bei dieser Flugbahn.

(3 BE)

3.2.2

Untersuche, ob der Ball bei dieser Flugbahn auf dem Spielfeld auftreffen könnte.

(2 BE)

3.2.3

Ein Spieler fängt den Ball im Punkt $B(x_B | 1,29).$
Jeder Punkt der gestrichelten Freiwurflinie (siehe Abbildung) hat von der Torlinie einen Abstand von $9,00\,\text{m}.$

Zeige, dass der Spieler den Ball senkrecht über einer Freiwurflinie fängt.

(3 BE)

3.3

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Torwart Marian einen Siebenmeterwurf hält, beträgt $22\,\%.$
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

Ereignis $A:$

Marian hält einen von drei Siebenmeterwürfen.

Ereignis $B:$

Marian hält keinen von drei Siebenmeterwürfen.

(4 BE)

1.1

Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner des Bruchs darf nicht null werden. Mögliche Definitionslücken sind also die Nullstellen des Nenners.

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& 0\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x&=&0 \end{array}$

Der größtmögliche Definitionsbereich von $f$ ist $D_f = \{x\mid x\in \mathbb{R}, x\neq 0 \}.$

1.2

Für $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \dfrac{2}{(-1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{1}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Für $g$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(-1)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot (-1) + \dfrac{3}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Der Punkt $S_1$ mit den Koordinaten $S_1(-1\mid 2)$ liegt auf den Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und ist daher der zweite gemeinsame Punkt der beiden Graphen.

1.3

Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} d\left(S_1,S_2\right)&=&\sqrt{\left(x_{S_2}-x_{S_1}\right)^2+\left(y_{S_2}-y_{S_1}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(2-(-1))^2+\left(\dfrac{1}{2}-2\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \\[5pt] &\approx& 3,35 \end{array}$

Die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ haben einen Abstand von $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3,35$ Längeneinheiten.

1.4

Die beiden parallelen Seiten des Trapezes sind $\overline{S_1A}$ und $\overline{S_2B},$ deren Längen sich über die $y$ -Koordinaten der Punkte $S_1$ bzw. $S_2$ ergeben.
Aufgrund der beiden rechten Winkel, die in der Skizze eingezeichnet sind, ist die Höhe des Trapezes gerade die Länge der Strecke $\overline{AB},$ die sich wiederum über die Summe der Beträge der $x$ -Koordinaten von $A$ und $B$ ergibt.

Skizze

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABS_2S_1}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(\overline{S_1A} + \overline{S_2B} \right) \cdot \overline{AB} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left(2+\dfrac{1}{2} \right)\cdot (|2|+|-1|) \\[5pt] &=& \dfrac{15}{4} \\[5pt] &=& 3,75 \end{array}$

Das Trapez $ABS_2S_1$ besitzt einen Flächeninhalt von $3,75$ Flächeneinheiten.

1.5

Eine mögliche Gleichung der Funktion $h$ hat die Form $y = h(x)= m\cdot x +b.$

Da der Graph von $h$ parallel zu dem von $g$ verlaufen soll, muss die Steigung identisch sein, also ist $m= -\frac{1}{2}.$
Der Punkt $C(2\mid 1)$ soll auf dem Graphen von $h$ liegen. Mit einer Punktprobe ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -\dfrac{1}{2}x+b \quad \scriptsize \mid\;h(2) = 1 \\[5pt] 1&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 2 +b \\[5pt] 1&=& -1+b \quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 2&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Funktion $h$ ist $y = h(x) = -\frac{1}{2}x+2.$

2.1

Der Winkel $\sphericalangle ACB$ kann über die Winkelsumme eines Dreiecks berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} 180^{\circ}&=& 48^{\circ}+30^{\circ} +\sphericalangle ACB \\[5pt] 180^{\circ}&=& 78^{\circ}+\sphericalangle ACB \quad \scriptsize \mid\;-78^{\circ} \\[5pt] 102^{\circ}&=& \sphericalangle ACB \end{array}$

Skizze

Mit dem Sinussatz folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{AC}}{\sin 30^{\circ}}&=&\dfrac{0,8\,\text{m}}{\sin 102^{\circ}} \quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin 30^{\circ} \\[5pt] \overline{AC}&=&\dfrac{0,8\,\text{m}}{\sin 102^{\circ}}\cdot \sin 30^{\circ} \\[5pt] \overline{AC}&\approx& 0,41\,\text{m} \end{array}$

Die Seite $\overline{AC}$ ist also $0,41\,\text{m}$ lang.

2.2

Der Flächeninhalt der Grundfläche ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{G}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \overline{AC} \cdot \overline{AB}\cdot \sin \alpha \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Das Volumen des prismenförmigen Pfeilers ergibt sich dadurch mit der entsprechenden Formel zu:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h\quad \scriptsize \mid\;h =3,60\,\text{m} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 0,41\,\text{m} \cdot 0,8\,\text{m}\cdot \sin 48^{\circ} \cdot 3,60\,\text{m}\\[5pt] \end{array}$

Die Masse ergibt sich daher zu:

Rechenweg anzeigen

$m\approx 3,44\,\text{t}$

Der Pfeiler besitzt eine Masse von ca. $3,44$ Tonnen.

3.1

1. Schritt: Inhalt der Gesamtfläche berechnen

Der Flächeninhalt des rechteckigen Spielfeldes ergibt sich mit den beiden Seitenlängen $40,00\,\text{m}$ und $20,00\,\text{m}$ wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Gesamt}}&=&40,00\,\text{m}\cdot 20,00\,\text{m} \\[5pt] &=& 800,00\,\text{m}^2 \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt der Torräume berechnen

Beide Torräume setzen sich gemeinsam zusammen aus

vier Viertelkreisen mit dem Radius $6\,\text{m},$ die gemeinsam den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $6\,\text{m}$ haben,
und zwei Rechtecken mit den Seitenlängen $6\,\text{m}$ und $3\,\text{m}.$

Skizze

Für den Gesamtflächeninhalt der beiden Torräume gilt mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Torräume}}&=& \pi \cdot \left( 6\,\text{m}\right)^2+ 2\cdot 6\,\text{m}\cdot 3\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 149,10\,\text{m}^2 \end{array}$

3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_{\text{Torräume}}}{A_{\text{Gesamt}}}&=& \dfrac{149,10\,\text{m}^2}{800,00\,\text{m}^2}\\[5pt] &\approx&0,186\\[5pt] &=& 18,6\,\% \end{array}$

Die Flächen der beiden Torräume bilden gemeinsam ca. $18,6\,\%$ der gesamten Spielfeldfläche.

3.2.1

Höhe des Abwurfs berechnen

Der Torwart wirft den Ball im Punkt $A(2,00\mid f(2,00))$ ab. Der $y$ -Wert der Funktion $f$ gibt die Höhe des Balls über dem Spielfeld an.

Rechenweg anzeigen

$f(2,00)=2,16$

Der Torwart wirft den Ball in einer Höhe von $2,16\,\text{m}$ ab.

Größte Höhe des Balls bestimmen

Bei dem Graphen der Funktion $f$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel. Der Punkt, an dem sich der Ball am höchsten befindet, wird daher durch den Scheitelpunkt der Parabel beschrieben.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

Der CAS liefert die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(15\mid 3,85).$ Die größte Höhe des Balls über dem Spielfeld beträgt also $3,85\,\text{m}.$

3.2.2

Der Auftreffpunkt des Balls auf dem Boden wird durch den Punkt beschrieben, in dem der Graph von $f$ für $x\geq 2$ die $x$ -Achse schneidet. Gesucht ist also die passende Nullstelle der Funktion $f.$

Der solve-efehl des CAS liefert für $f(x)=0$ die Lösungen $x_0 \approx 34,62$ und $x_1 \approx -4,62.$ Aufgrund des Definitionsbereichs der Funktion ist nur $x_0$ eine zulässige Lösung.

Der Ball würde also nach $34,62\,\text{m}$ aufkommen. Addiert man die $2\,\text{m},$ die der Torwart vor der Linie steht, so würde der Ball trotzdem noch im $40\,\text{m}$ langen Spielfeld aufkommen.

3.2.3

Der Mittelpunkt der linken Torlinie wird durch den Punkt $(0\mid 0)$ beschrieben, der Mittelpunkt der rechten Torlinie durch $(40\mid 0).$ Die beiden Freiwurflinien sind in jedem Punkt genau $9$ Meter von der jeweiligen Torlinie entfernt. Auf jeder Freiwurflinie gibt es genau einen Punkt, der senkrecht unterhalb der Flugbahn des Balls liegt. Diese beiden Punkte haben im Koordinatensystem die Koordinaten $(9\mid 0)$ und $(31\mid 0).$

Der Ball wird in einer Höhe von $1,29\,\text{m}$ gefangen. Gesucht ist also der $x$ -Wert zum $y=1,29.$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x_B=31.$ Die zweite Lösung $x=-1$ liegt außerhalb des Spielfeldes.

Der Ball wird also in dem Punkt gefangen, der im Koordinatensystem durch $(31\mid 1,29)$ beschrieben wird. Dieser Punkt liegt senkrecht über dem Punkt $(31\mid 0),$ der den Punkt auf der rechten Freiwurflinie senkrecht unterhalb der Flugbahn des Balls beschreibt.

Der Ball wird also senkrecht über der Freiwurflinie gefangen.

3.3

Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass Marian einen Siebenmeterwurf hält, beträgt $22\,\% = 0,22,$ dafür dass er einen Siebenmeterwurf nicht hält also $78\,\% = 0,78.$

Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& 3\cdot 0,22\cdot 0,78\cdot 0,78 \\[5pt] &\approx& 0,402\\[5pt] &=& 40,2\,\%\\[10pt] P(B)&=& 0,78\cdot 0,78\cdot 0,78 \\[5pt] &\approx& 0,475\\[5pt] &=& 47,5\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,15\,\%$ hält Marian genau einen von drei Siebenmeterwürfen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $47,46\,\%$ hält er keinen von drei Siebenmeterwürfen.

1.1

Bei $f$ handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner des Bruchs darf nicht null werden. Mögliche Definitionslücken sind also die Nullstellen des Nenners.

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& 0\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x&=&0 \end{array}$

Der größtmögliche Definitionsbereich von $f$ ist $D_f = \{x\mid x\in \mathbb{R}, x\neq 0 \}.$

1.2

Für $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-1)&=& \dfrac{2}{(-1)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{2}{1}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Für $g$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g(-1)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot (-1) + \dfrac{3}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Der Punkt $S_1$ mit den Koordinaten $S_1(-1\mid 2)$ liegt auf den Graphen der beiden Funktionen $f$ und $g$ und ist daher der zweite gemeinsame Punkt der beiden Graphen.

1.3

Mit der Formel für den Abstand zweier Punkte ergibt sich:

Die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ haben einen Abstand von $\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\approx 3,35$ Längeneinheiten.

1.4

Skizze

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes ergibt sich:

Das Trapez $ABS_2S_1$ besitzt einen Flächeninhalt von $3,75$ Flächeneinheiten.

1.5

Eine mögliche Gleichung der Funktion $h$ hat die Form $y = h(x)= m\cdot x +b.$

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -\dfrac{1}{2}x+b \quad \scriptsize \mid\;h(2) = 1 \\[5pt] 1&=& -\dfrac{1}{2}\cdot 2 +b \\[5pt] 1&=& -1+b \quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] 2&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Funktion $h$ ist $y = h(x) = -\frac{1}{2}x+2.$

2.1

Der Winkel $\sphericalangle ACB$ kann über die Winkelsumme eines Dreiecks berechnet werden:

Skizze

Mit dem Sinussatz folgt dann:

Die Seite $\overline{AC}$ ist also $0,41\,\text{m}$ lang.

2.2

Der Flächeninhalt der Grundfläche ergibt sich mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks wie folgt:

Das Volumen des prismenförmigen Pfeilers ergibt sich dadurch mit der entsprechenden Formel zu:

Die Masse ergibt sich daher zu:

Rechenweg anzeigen

$m\approx 3,44\,\text{t}$

Der Pfeiler besitzt eine Masse von ca. $3,44$ Tonnen.

3.1

1. Schritt: Inhalt der Gesamtfläche berechnen

Der Flächeninhalt des rechteckigen Spielfeldes ergibt sich mit den beiden Seitenlängen $40,00\,\text{m}$ und $20,00\,\text{m}$ wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Gesamt}}&=&40,00\,\text{m}\cdot 20,00\,\text{m} \\[5pt] &=& 800,00\,\text{m}^2 \end{array}$

2. Schritt: Flächeninhalt der Torräume berechnen

Beide Torräume setzen sich gemeinsam zusammen aus

vier Viertelkreisen mit dem Radius $6\,\text{m},$ die gemeinsam den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius $6\,\text{m}$ haben,
und zwei Rechtecken mit den Seitenlängen $6\,\text{m}$ und $3\,\text{m}.$

Skizze

Für den Gesamtflächeninhalt der beiden Torräume gilt mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Torräume}}&=& \pi \cdot \left( 6\,\text{m}\right)^2+ 2\cdot 6\,\text{m}\cdot 3\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 149,10\,\text{m}^2 \end{array}$

3. Schritt: Prozentualen Anteil berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{A_{\text{Torräume}}}{A_{\text{Gesamt}}}&=& \dfrac{149,10\,\text{m}^2}{800,00\,\text{m}^2}\\[5pt] &\approx&0,186\\[5pt] &=& 18,6\,\% \end{array}$

Die Flächen der beiden Torräume bilden gemeinsam ca. $18,6\,\%$ der gesamten Spielfeldfläche.

3.2.1

Höhe des Abwurfs berechnen

Der Torwart wirft den Ball im Punkt $A(2,00\mid f(2,00))$ ab. Der $y$ -Wert der Funktion $f$ gibt die Höhe des Balls über dem Spielfeld an.

Rechenweg anzeigen

$f(2,00)=2,16$

Der Torwart wirft den Ball in einer Höhe von $2,16\,\text{m}$ ab.

Größte Höhe des Balls bestimmen

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Analyse $\to$ Grafische Lösung $\to$ Maximum

Der CAS liefert die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(15\mid 3,85).$ Die größte Höhe des Balls über dem Spielfeld beträgt also $3,85\,\text{m}.$

3.2.2

Der solve-efehl des CAS liefert für $f(x)=0$ die Lösungen $x_0 \approx 34,62$ und $x_1 \approx -4,62.$ Aufgrund des Definitionsbereichs der Funktion ist nur $x_0$ eine zulässige Lösung.

3.2.3

Der Ball wird in einer Höhe von $1,29\,\text{m}$ gefangen. Gesucht ist also der $x$ -Wert zum $y=1,29.$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x_B=31.$ Die zweite Lösung $x=-1$ liegt außerhalb des Spielfeldes.

Der Ball wird also senkrecht über der Freiwurflinie gefangen.

3.3

Die Wahrscheinlichkeit, dafür dass Marian einen Siebenmeterwurf hält, beträgt $22\,\% = 0,22,$ dafür dass er einen Siebenmeterwurf nicht hält also $78\,\% = 0,78.$

Mit den Pfadregeln ergibt sich:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $40,15\,\%$ hält Marian genau einen von drei Siebenmeterwürfen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $47,46\,\%$ hält er keinen von drei Siebenmeterwürfen.