Teil B

Für $x\in\mathbb{R}$ und $0\leq x\leq2\cdot\pi$ ist die Funktion $f$ mit $y=f(x)=1,5 \cdot \sin (2\cdot x)$ gegeben.

1.1

Gib die Koordinaten eines lokalen Maximumpunktes des Graphen von $f$ im vorgegebenen Definitionsbereich an.

(2 BE)

1.2

Bestimme den Abstand der beiden lokalen Maximumpunkte des Graphen von $f$ im vorgegebenen Definitionsbereich.
Gib die Bedeutung dieses Abstandes für die Funktion $f$ an.

(3 BE)

1.3

Gib den Wertebereich von $f$ an.

(1 BE)

1.4

Es gibt lineare Funktionen, deren Graph jeweils durch den Punkt $P \left(0\mid \frac{3}{2}\right)$ verläuft und mit dem Graphen von $f$ im vorgegebenen Definitionsbereich genau einen Punkt gemeinsam hat.
Gib eine mögliche Funktionsgleichung einer solchen linearen Funktion an.

(2 BE)

Eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche besitzt die Höhe $80 \, \text {cm}.$ Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt $50 \,\text {cm}.$

2.1

Berechne das Volumen dieser Pyramide.
Gib dieses Volumen in Liter an.

(3 BE)

2.2

Berechne die Größe der Oberfläche dieser Pyramide.

(4 BE)

Ein Künstler stellt im Panometer Leipzig ein $360^{\circ}$ -Panoramabild vom Wrack der Titanic aus. Das Panometer hat die Form eines geraden oben offenen Kreiszylinders mit aufgesetztem Kuppeldach.
Abbildung 1 zeigt den zur Grundfläche des Panometers senkrechten Schnitt durch den Mittelpunkt der Grundfläche des Panometers in einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit entspricht 1 Meter).

Abbildung 1 (nicht maßstäblich)

Der Mittelpunkt der Grundfläche des Panometers liegt im Koordinatenursprung $O$ .
Die Schnittlinie des Kuppeldachs kann durch den Graphen der Funktion $f$ mit $y=f(x)=-0,0124 \cdot x^2+40,0$ $(x\in D_f)$ beschrieben werden.

3.1

Ermittle die maximale Höhe des Panometers.

(2 BE)

3.2

Die Außenmauer des Panometers ist $30,0 \, \text {m}$ hoch.
Bestimme den Durchmesser der Grundfläche des Panometers.

(3 BE)

Im Inneren des Panometers befindet sich das Panoramabild. Das Panoramabild hat eine Höhe von $32,0 \, \text {m}$ und besitzt die Form der Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders mit dem Grundkreisradius $16,7 \, \text {m}$ . Abbildung 2 zeigt das Panometer mit Panoramabild im senkrechten Schnitt durch den Mittelpunkt der Grundfläche des Panometers und senkrecht von oben betrachtet.

Abbildung 2 (nicht maßstäblich)

3.3

Berechne den Flächeninhalt des Panoramabildes.

(2 BE)

3.4

Im Innenraum des Panoramabildes befindet sich im Punkt $A$ das Objektiv einer Kamera.
Die Punkte $P_1$ und $P_2$ befinden sich auf dem Panoramabild und liegen gemeinsam mit dem Punkt $A$ in gleicher Höhe über der Grundfläche des Panometers.
Es gilt: $\overline {AP_1}= 15,8 \, \text {m}$ , $\overline {AP_2}=17,1 \, \text {m}$ und $\overline {P_1 P_2}=9,7 \, \text {m}$ .

Der Öffnungswinkel des Objektivs der Kamera beträgt $37^{\circ}$ .
Untersuche, ob das Objektiv der Kamera die Punkte $P_1$ und $P_2$ gleichzeitig erfassen kann.

(4 BE)

3.5

Zum Zeitpunkt des Untergangs der Titanic waren insgesamt $2224$ Menschen an Bord. Die Tabelle stellt die Verteilung dieser Menschen auf die einzelnen Personengruppe und den prozentualen Anteil der Geretteten an der jeweiligen Personengruppe dar.

Personengruppe	Anteil der Personengruppe in Prozent	Gerettete der Personengruppe in Prozent
Kinder	$4,9$	$51,4$
Frauen	$19,1$	$74,4$
Männer	$76,0$	$20,0$

3.5.1

Ermittle die Anzahl der Kinder an Bord der Titanic zum Zeitpunkt des Untergangs.

(2 BE)

3.5.2

Bestimme die Anzahl der geretteten Frauen beim Untergang der Titanic.

(2 BE)

1.1

Der Graph von $\sin (x)$ besitzt lokale Maximumpunkte an den Stellen $x = \frac{\pi}{2},$ $x = \frac{5\pi}{2},$ $x = \frac{9\pi}{2},$ ... mit der Periode $2\pi.$

Durch den Faktor $2$ im Funktionsterm $f(x)= 1,5\cdot \sin (2\cdot x)$ wird der zugehörige Graph entlang der $x$ -Achse gestaucht und die Periode wird auf $\pi$ verkürzt. Der erste lokale Maximumpunkt befindet sich daher schon bei $x = \frac{\pi}{4}.$

Bei der Funktion zu $\sin(x)$ beträgt der Funktionswert in jedem Maximumpunkt $1.$ Durch den Faktor $1,5$ im Funktionsterm von $f$ wird der Graph entlang der $y$ -Achse gestreckt. Der Funktionswert im lokalen Maximumpunkt muss also mit $1,5$ multipliziert werden und beträgt daher $1,5.$

Die Koordinaten eines lokalen Maximumpunktes im vorgegebenen Definitionsbereich $0\leq x \leq 2\cdot \pi$ lauten also $H\left(\frac{\pi}{4}\mid 1,5 \right).$

1.2

Die Funktion $f$ ist periodisch und besitzt die Periode $\pi.$ Der zweite lokale Maximumpunkt im vorgegebenen Definitionsbereich hat daher die Koordinaten $H_2\left(\frac{5}{4}\pi \mid 1,5\right).$ Der Abstand der beiden Maximumpunkte beträgt $\pi$ und entspricht der kleinsten Periode der Funktion $f.$

1.3

Der Wertebereich der allgemeinen Funktion $g$ mit $g(x)=\sin(x)$ ist $W_g = \{y \mid y\in \mathbb{R}, -1\leq y \leq 1\}.$ Durch den Faktor $1,5$ im Funktionsterm von $f$ erhöht sich der kleinstmögliche und der größtmögliche Funktionswert um den Faktor $1,5.$

$W_f=\{y\mid y\in \mathbb{R} , -1,5\leq y \leq 1,5\}$

1.4

Durch den Punkt $P$ ist der $y$ -Achsenabschnitt der gesuchten linearen Funktion $h$ vorgegeben:

$h: \, y = m\cdot x +\dfrac{3}{2}$

Die Steigung muss nun so bestimmt werden, dass die Gerade den Graphen von $f$ für $0\leq x \leq 2\cdot \pi$ genau einmal schneidet. Zur besseren Anschaulichkeit ist es hilfreich, sich den Graphen von $f$ zu skizzieren.

Es kann beispielsweise die Gerade verwendet werden, die durch den Punkt $\left(\frac{\pi}{4}\mid -\frac{3}{2} \right)$ verläuft. Damit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} y &=& m\cdot x +\dfrac{3}{2} \quad \scriptsize \mid\; \left(\dfrac{\pi}{4}\mid -\dfrac{3}{2} \right) \\[5pt] -\dfrac{3}{2} &=& m\cdot \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3}{2} \quad \scriptsize \mid\;- \dfrac{3}{2} \\[5pt] -3 &=& m\cdot \dfrac{\pi}{4} \quad \scriptsize \mid\;:\dfrac{\pi}{4} \\[5pt] \dfrac{-12}{\pi} &=& m \end{array}$

Eine mögliche Geradengleichung ist:

$y =\dfrac{-12}{\pi} x + \dfrac{3}{2}$

2.1

Volumen der Pyramide berechnen

1. Schritt: Größe der Grundfläche berechnen

Die Grundfläche ist quadratisch und besitzt die Seitenlänge $a = 50\,\text{cm}.$ Der Flächeninhalt der Grundfläche ist also:

$G = 50\,\text{cm} \cdot 50 \,\text{cm} = 2\,500\,\text{cm}^2$

2. Schritt: Volumen berechnen

Die Höhe der Pyramide beträgt $h = 80\,\text{cm}.$ Mit der Formel für das Volumen einer Pyramide folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V &=& \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot 2\,500\,\text{cm}^2 \cdot 80\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 66\,666,67\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen in Liter angeben

$1$ Liter entspricht $1\,000\,\text{cm}^3.$

$66\,666,67\,\text{cm}^3 \approx 66,7\,l$

Die Pyramide hat ein Volumen von ca. $66,7\,l.$

2.2

Die Formel für die Oberfläche einer quadratischen Pyramide lautet:

$O=a^2+2\cdot a\cdot h_a$

1. Schritt: Höhe der Seitenfläche berechnen

Skizze

Die Grundseite der dreieckigen Seitenfläche ist $a=50\,\text{cm}$ lang. Die zugehörige Höhe $h_a$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} h^2 + \left(\dfrac{a}{2} \right)^2 &=& h_a^2 \\[5pt] \left(80\,\text{cm} \right)^2 + \left( \dfrac{50\,\text{cm}}{2}\right)^2 &=& h_a^2 \\[5pt] 7\,025\,\text{cm}^2&=& h_a^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] 83,82\,\text{cm}&\approx& h_a \end{array}$

2. Schritt: Größe der Oberfläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} O&=& a^2+2\cdot a\cdot h_a \\[5pt] &=& (50\,\text{cm})^2 + 2\cdot 50\,\text{cm}\cdot 83,82\,\text{cm} \\[5pt] &=& 10\,882\,\text{cm}^2 \end{array}$

Die Oberfläche der Pyramide ist ca. $10\,882\,\text{cm}^2$ groß.

3.1

Die maximale Höhe des Panometers entspricht dem maximalen Funktionswert von $f.$ Der Abbildung kann entnommen werden, dass sich dieser an der Stelle $x=0$ befindet.

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& -0,0124\cdot 0^2 +40,0 \\[5pt] &=& 40,0 \end{array}$

Die maximale Höhe des Panometers beträgt also $40,0\,\text{m}.$

3.2

Der Radius der Grundfläche ergibt sich aus der $x$ -Koordinate des eingezeichneten Punkts $P,$ der auf dem Graphen von $f$ in einer Höhe von $y=30,0$ liegt. Gesucht ist also $x_p$ mit $f(x_p) = 30,0.$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $f(-28,4)\approx 30,0$ und $f(28,4)\approx 30,0.$ Der Radius der Grundfläche beträgt daher ca. $28,4\,\text{m}.$ Der Durchmesser der Grundfläche beträgt folglich ca. $56,8\,\text{m}.$

3.3

Das Bild hat die Form der Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders mit der Höhe $h= 32,0\,\text{m}$ und dem Grundkreisradius $r = 16,7\,\text{m}.$
Der Flächeninhalt des Bildes lässt sich also über $A = h \cdot U$ berechnen. Dabei ist $U$ der Umfang des Grundkreises.
Mit der Formel für den Umfang eines Kreises ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} U &=& 2\cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2\cdot \pi \cdot 16,7\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 104,93\,\text{m} \end{array}$

Der Flächeninhalt ergibt sich dann zu:

$\begin{array}[t]{rll} A &=& h\cdot U \\[5pt] &\approx& 32,0\,\text{m} \cdot 104,93\,\text{m} \\[5pt] &=& 3\,357,76\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Panoramabildes beträgt ca. $3\,357,76\,\text{m}^2.$

3.4

Die drei angegebenen Punkte bilden ein Dreieck. In der Aufgabenstellung sind alle drei Seitenlängen des Dreiecks angegeben:

$a= 9,7\,\text{m}$
$b= 17,1\,\text{m}$
$c = 15,8\,\text{m}$

Skizze Dreieck $P_1P_2A$

Damit die Kamera beide Punkte $P_1$ und $P_2$ gleichzeitig erfassen kann, darf der Winkel $\alpha$ höchstens so groß sein wie der Öffnungswinkel der Kamera, also $37^{\circ}.$

Mit dem Kosinussatz kann $\alpha$ berechnet werden:

Rechenweg anzeigen